第四章静定拱(实体三铰拱) §4-1概述 拱的概念 拱的轴线一般是曲线形状,实体拱指由充满密实 材料的杆构成的拱。拱的受力特征是,在竖向荷载 作用下可产生水平支座反力(水平推力)。具有这类 受力特征的结构称为有推力结构。 Fp A A B sA FAy F
第四章 静 定 拱（实体三铰拱） §４－１ 概 述 一、 拱的概念 拱的轴线一般是曲线形状，实体拱指由充满密实 材料的杆构成的拱。拱的受力特征是，在竖向荷载 作用下可产生水平支座反力（水平推力)。具有这类 受力特征的结构称为有推力结构
二、拱的分类 1、按具有的铰的数量分类 铰拱、两铰拱、无铰拱。 2、按几何组成(或计算方法)分类 静定拱:三铰拱、带拉杆三铰拱 超静定拱:两铰拱、无铰拱。 §4-2三铰拱的内力计算 三铰拱的构造及各部名称,及相应于拱的简支梁 (相应筒支梁)。 三铰拱的支座反力 (一)、三铰拱的支座反力 4三锬拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方 法完全相同,即以其中两个铰分别建立力矩平衡方 程,集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法
二、拱的分类 １、按具有的铰的数量分类： 三铰拱、两铰拱、无铰拱。 ２、按几何组成（或计算方法）分类： 静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱； 超静定拱： 两铰拱、无铰拱。 §4-2 三铰拱的内力计算 三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁 （相应简支梁）。 一、 三铰拱的支座反力 （一）、三铰拱的支座反力 三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方 法完全相同，即以其中两个铰分别建立力矩平衡方 程，集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法
a3 b 当三铰拱的两个底 a1 铰在一条水平线上时, 其支座反力的计算常 采取如下步骤: 1、由拱的整体平衡 条件求两个竖向支座 A B 反力; Ay FE 2、由拱顶铰C任一侧 的平衡条件,求在这 侧上的水平支座反 力 3、再由拱的整体平 Fo1 Fp2 F 衡条件,求另一水平 支座反力
当三铰拱的两个底 铰在一条水平线上时， 其支座反力的计算常 采取如下步骤： １、由拱的整体平衡 条件求两个竖向支座 反力； ２、由拱顶铰C任一侧 的平衡条件，求在这 一侧上的水平支座反 力； ３、再由拱的整体平 衡条件，求另一水平 支座反力
a3 ∑MA=0 ByPI1P22P33 a1 FB(FPa+Fp2a2+Fp3a3)/ B B PI P2021P303 FA(FPb+Fp2b2+Fp3b3)/ F->3A BEF=0 Fp1 FR BxAX 0 F A F B H (d) Ay
1、∑MA=0 FByl–FP1a1 –FP2a2 –FP3a3 =0 FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3 )/l FBy= F0 By (↑) (a) ∑MB=0 FAyl– FP1b1 –FP2b2FP3b3=0 FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3 )/l FAy = F0 Ay (↑) (b) ２、∑MC=0 FByl 2 –FBxf –FP3(l2 –b3 )=0 FBx=[FByl 2 –FP3(l2 –b3 )]/f FH=M0 C /f 。 (←) (c) ３、∑Fx=0 FBx–FAx=0 FAx=FBx=FH (d)
说明:上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支 座反力的方法和步骤,适用于任意荷载作用下的 情况。但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖 向荷载作用的情况下。 (二)、三锬拱与相应简支梁的几个关系式: 相应简支梁,指与拱的跨度、荷载相同的简支 梁。容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关 系式 FREFBy F=MO/f (4-2-1) 这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立 由第三式分析,在拱上作用的荷载和拱的跨度 不变的条件下,M°c是一个常数,此时拱的推力 FH与它的高跨比f/1有关,即当高跨比f/1越小 (越大),则水平推力F越大(越小)
说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支 座反力的方法和步骤，适用于任意荷载作用下的 情况。但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖 向荷载作用的情况下。 （二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式： 相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支 梁。容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关 系式： FAy = F0 Ay FBy= F0 By FH=M0 C /f 。 (4-2-1) 这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立。 由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度 不变的条件下，M0 C是一个常数，此时拱的推力 FH与它的高跨比 f / l 有关，即当高跨比f / l越小 （越大）, 则水平推力FH越大（越小）
、拱的内力计算 拱的任一截面上一般有三个内力(M,Fo,FN), 内力计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同 的是拱轴为曲线时,截面法线角度不断改变,截 面上内力(Fo,F)的方向也相应改变 例4-2-1已知图示三锬拱的拱轴方程为 y(x)=4fx(-x)/2,求支座反力及K截面的内力。 解:(1)求支座反力 由拱的整体平衡条件: ∑MA=0FB、×16-10×12-2×8×4=0 FBy=115kN(↑) 4∑MB=0FA×16-10×4-2×8×12=0 FAv=14.5kN(↑)
二、拱的内力计算 拱的任一截面上一般有三个内力（M, FQ, FN）， 内力计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同 的是拱轴为曲线时，截面法线角度不断改变，截 面上内力（FQ , FN）的方向也相应改变。 例4-2-1 已知图示三铰拱的拱轴方程为 y(x)=4fx(l－x)/l2 ，求支座反力及K截面的内力。 解：（１）求支座反力 由拱的整体平衡条件： ∑MA = 0 FBy×16 –10×12–2×8×4= 0 FBy = 11.5 kN (↑) ∑MB = 0 FAy×16 –10×4–2×8×12= 0 FAy = 14.5 kN (↑)
y q=2kN/ 10KN q=2kN/m C FN 4m yk FH=13KN →+A x B&oE 3m FH=13KN 13kN Q FAy=14.5kN4m 4m FBy=11.5kN 8m 8m 14.5kN =16m q=2kN/m MK FAy=14.skI 取铰C以右部分的平衡条件: ∑Mc=0FH×4-FB×8+10×4=0 FH=13kN()
取铰Ｃ以右部分的平衡条件： ∑MC = 0 FH ×4–FBy×8 + 10×4= 0 FH = 13 kN (←)
(2)求K截面的内力 取K截面以左部分:截面各内力均按正方向画 (注意:规定拱的轴力以受压为正;剪力和弯矩的 规定仍同前)。 确定K截面位置参数yk和aK: 将K截面坐标x=4m代入:y(x)=4fx(-x)/2和 ank=dydx=4-2x)/2得: 3m K tank=0.5则有 k=2657° SIno=0.447c0sk=0.894 建立隔离体的平衡方程,求K截面的内力 以截面K的外法线n和切向τ的方向分别建立投影 方程,求FN和FQx
（２）求Ｋ截面的内力 取Ｋ截面以左部分：截面各内力均按正方向画 （注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的 规定仍同前）。 确定Ｋ截面位置参数yK和αK： 将Ｋ截面坐标 x = 4m 代入: y(x)=4fx(l－x)/l2和 tanαK=dy/dx=4f(l－2x)/l2 得： yK=3m tanαK=0.5 则有: αK=26.57° sinαK=0.447 cosαK =0.894 建立隔离体的平衡方程，求Ｋ截面的内力： 以截面Ｋ的外法线n和切向τ的方向分别建立投影 方程，求FNK和FQK：