第七章经典力学的哈密顿理论 §71正则共轭坐标 §72哈密顿函数和正则方程 §73变分问题的欧拉方程 §74哈密顿原理 §7.5正则变换 §7.6泊松括号和泊松定理 §77哈密顿-雅科毕理论 §7.8用哈密顿理论解开普勒问题
第七章 经典力学的哈密顿理论 §7.1 正则共轭坐标 §7.2 哈密顿函数和正则方程 §7.3 变分问题的欧拉方程 §7.4 哈密顿原理 §7.5 正则变换 §7.6 泊松括号和泊松定理 §7.7 哈密顿-雅科毕理论 §7.8 用哈密顿理论解开普勒问题
第七章经典力学的哈密顿理论 §71正则共轭坐标 在拉氏理论中,广义坐示q对应的广义动 量是p,aa OL ,若拉氏函数是唯一的,那么, q1对应的p也是唯一的,两者一对应。由于 OL L(q,q,t)和df(q,t)/d中都含有q1,因此,和 dq OL 将是两个不同的力学量由于f(q,t)是任 q 意的,因此q1对应的p,可以有无穷多个,用 数学的术语来说,p是与q1完全独立的
第七章 经典力学的哈密顿理论 §7.1 正则共轭坐标 数学的术语来说， 是 与 完全独立的。 意的，因此 对应的 ，可以有无穷多个，用 将是两个不同的力学量。由于 是 任 和 中都含有 因 此 和 对应的 也是唯一的，两者一一对应。由于 量 是 ，若拉氏函数 是唯一的，那么， 在拉氏理论中，广义坐标 对应的广义动 i i i i i 2 i 1 i i i i i i p q q p f(q,t) q L q L L(q,q,t) df (q,t)/ dt q , q p L q L p q =
§71正则共轭坐标 本章所要讨论的哈密顿理论,其使 用的坐标(共有s对p;、q;,其中p;完全 独立于q1)称为正则共轭坐标,或正则 共轭变量
§7.1 正则共轭坐标 本章所要讨论的哈密顿理论，其使 用的坐标（共有s 对pi 、qi ，其中pi完全 独立于qi）称为正则共轭坐标，或 正则 共轭变量
§72哈密顿函数和正则方程 哈密顿函数 拉格朗日函数:广义坐标q;广义速度q; 方程为二阶微分方程组 哈密顿函数:广义坐标qp广义动量p1o 方程化为一阶微分方程组。 OL 定义广义动量:Pa4 ;q;P称为正则共轭 拉氏方程变为: al d OL =p;(=1,2,…s) aq i dt( aq
§7.2 哈密顿函数和正则方程 一、哈密顿函数 p (j 1 2 s) q L dt d q L q p q L p q p : q q j j j j j j j j j j j 拉氏方程变为： ，， 定义广义动量： ； ， 称为正则共轭。 方程化为一阶微分方程组 。 哈密顿函数：广义坐标 ，广义动量 。 方程为二阶微分方程组。 拉格朗日函数 广义坐标 ，广义速度 。 = = = =
二、正则方程 H(q,p,t)=2P, q-L(q;,q;,t) 左边微分:dHq4p,)=∑ aH OH OH da+ ap:j +2.dt 右边微分:=∑(P1+qdp)-dL 其中d=∑ OL OL OL do d q +—dt =l aq at ∑(pdg;+p4q)+dt
dt t L p dq p dq dt t L dq q L dq q L dL dH p dq q dp dL dt t H dp p H dq q H dH(q,p,t) H(q,p,t) p q L(q ,q ,t) s j 1 j j j j s j 1 j j j j s j 1 j j j j s j 1 j j j j j j s j 1 j j = + + + + = = + − + + = = − = = = = = （ ） 其 中 右边微分： （ ） 左边微分： 二、正则方程
d文p4+4)-uL,d=(p向,+p)+ad dH=∑(-p;+q中 OL dt=∑ aH oH oH da: +d at q op j/+edt at 因为d,d独立,故得:oHoL t=aN海森条件; aH ap s、o(=1,2…s)∈正则方程 dq
（ ， ） 正则方程 因 为 ， 独立，故得： 海森条件； （ ） （ ） （ ） j 1 2 s q H p p H q t L t H dq dp dt t H dp p H dq q H dt t L dH p dq q dp dt t L dH p dq q dp dL,dL p dq p dq j j j j j j s j 1 j j j j s j 1 j j j j s j 1 j j j j s j 1 j j j j = = − = = − + + = = − + − = + − = + + = = = =
、哈密顿函数的物瓛义 OL aT OT 2T ∑pq1=∑ (稳定约束 q 2T2+T1(非稳定约束 「2T-(T-U) H(p)=pA1=121+-(T+T+:D) T+u (稳定约東)←机械能 r2-+U(非稳定约刺←广义能量积分
− + + = + − + + − − − = − = + = = = = = = = 非稳定约束 广义能量积分 稳定约束 机械能 （ ） （ ） 非稳定约束 稳定约束 三、哈密顿函数的物理意 义 T T U ( ) T U ( ) 2T T T T T U 2T T U H(q,p,t) p q L 2T T ( ) 2T ( ) q q T p q q T q L p 2 o 2 1 2 1 o s j 1 j j 2 1 s j 1 j j s j 1 j j j j j
四、能量积分和循环穊 dH ∑ aH OH OH 十 dt dq i ap at s OH aHaHaHaHaH ∑ (aq: Op; ap aqi at at OH dH 若H不显含t,即=0,则 0 at → H=h=常数<能量积分; aH 若H不出现q1,则p1=常数 循环(动量)积分
循环（动量）积分。 若 不出现 ， ， 则 常 数 常 数 能量积分； 若 不显含 ， 即 ， 则 四、能量积分和循环积分 = = = − = = = = = + − = + + = = = j j j j s j 1 j j j j s j 1 j j j j 0 p q H H q p H h 0 dt dH 0 t H H t t H t H q H p H p H q H t H p p H q q H dt dH
例:在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别 写出自由质点在势场U()中运动的哈密顿函数 解:(1)直角坐标系 L=m(x2+y2+z)/2-U(x,y,z) OL OL OL -lx, p =my, pz =Z aX y a dz H=∑p-L 2 2 2 2 -2+U(x,y,z) mmm 2m 2m 2m p2+p2+p2)+U(x,y,z) 2m
p p p U(x, y, z) 2m 1 U(x, y, z) 2m p 2m p 2m p m p m p m p H p q L mz z L my p y L mx p x L p L m(x y z )/ 2 U(x, y, z) (1) 2 z 2 y 2 x 2 z 2 y 2 x 2 z 2 y 2 x i i x y z 2 2 2 = + + + = + + − − − + = − = = = = = = = + + − （ ） ， ， ， 解 ： 直角坐标系 例：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别 写出自由质点在势场U(r) 中运动的哈密顿函数
(2)柱坐标系 L 2 2 m(r+r (P+z-U(r, (p, z) 2 OL OL OL -mr, p =mr p, p =mz, ar ai H=m(r+r p4+Z)+U(r, (p, z) 2 (p=+p 2 /r2+p2)+U(r,q,z) 2m (3)球坐标系(作业) H +p/r2+p2/r2sin20)+U(r, 0, p) 21
(p p / r p / r sin ) U(r, , ) 2m 1 H (3) ( ) (p p / r p ) U(r, , z) 2m 1 m(r r z ) U(r, , z) 2 1 H mz z L mr p L mr p r L p m(r r z ) U(r, , z) 2 1 L (2) 2 2 2 2 2 2 r 2 z 2 2 2 r 2 2 2 2 z 2 r 2 2 2 2 = + + + = + + + = + + + = = = = = = = + + − 球坐标系 作 业 ， ， ， 柱坐标系
