东华大学：《力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 角动量守恒刚体力学

且录 第4章 第四章 角动量守恒 刚体力学

目 录 第4 章 第四章 角动量守恒 刚体力学

且录 §4.1角动量守恒 第4章 41质点的角动量 Angular momentum 1、质点的角动量 质量为m的质点相对O点的位矢r,以 速度v绕O点运动,其角动量L定义 L=rxp=r×(mv) L 大小:L= mvr sin0 若质点作圆周运动 因r与v垂直,v=or, my 故L=mrv=mr2o 引入角速度矢量o, 其方向垂直于运动平面,指向由右手定则

目 录 第4 章 §4.1 角动量守恒 4.1.1 质点的角动量Angular momentum 1、质点的角动量 质量为m的质点相对O点的位矢 r ，以 速度 v 绕 O 点运动，其角动量 L 定义: L = rp= r （mv） 大小：L = mv r sin 若质点作圆周运动， 因 r 与 v 垂直，v=ωr， L=mrv=mr2ω 引入角速度矢量ω， 其方向垂直于运动平面，指向由右手定则。 mv r o L  L ω

且录 第4章 ■■■

目 录 第4 章 ω ω’ ω ω’ v v’ v v’

是质点的角动量定理 第4章 类比力的定义对角动量求时间变化率 dl/dt=d(rxp)/dt =rdp/dt+dr/dt×p (因为dr/d=平行p,故dr/dt×p=0) dL/dt=r×dp/dt 在惯性系中f=dp/dt→dL/dt=rxf 定义对参考点O的力矩 Torque:M=rxf 故 M=rxf=d/dt 质点角动量的时间变化率等于作用于 该质点上的力矩,这就是质点的角动量定理

目 录 第4 章 2、质点的角动量定理 类比力的定义对角动量求时间变化率 dL/dt = d(rp) /dt = r dp/dt+dr/dt p ( 因为 dr/dt =v 平行 p，故 dr/dt p = 0 ) dL/dt = r dp/dt 在惯性系中 f = dp/dt  dL/dt = r f 定义对参考点O的力矩 Torque ：M = r f 故 ： M = r f = dL/dt 一质点角动量的时间变化率等于作用于 该质点上的力矩，这就是质点的角动量定理

且录 习题4-1一质量为m的质点自由降落,在某时 閡 具有速度v,此时它相对于A、B、C三参考点的 距离分别为d1,d2,d3。求:(1质点对三个点 的角动量;(2)作用在质点上的重力对三个点的 力矩。 解:(1)LA=d1×mv,方向,LA=mvd LB=d2xmv,方向, LB=mvd2sin(0+90)=mvq d d3×mv=0。 (2)MA=d1Xmg,方向, m MA= mg d, 3 MB=d2×mg,方向, bB=mgds sin(0+90 )=mgdl; B

目 录 第4 章 习题 4-1 一质量为m 的质点自由降落，在某时刻 具有速度 v，此时它相对于A、B、C 三参考点的 距离分别为 d1，d2，d3 。求：(1) 质点对三个点 的角动量；(2) 作用在质点上的重力对三个点的 力矩。 解： (1) LA = d1  mv，方向 ， LA = mvd1 ； LB = d2  mv ，方向 ， LB = mvd2 sin(  + 90o ) = mvd1 ； LC = d3  mv = 0 。 (2) MA = d1  mg ，方向 ， MA = mg d1 MB = d2  mg ，方向 ， MB = mgd2 sin(  + 90o ) = mgd1 ； MC = d3  mg = 0 。 d1 d2 d3 v mg A B C  m

号题42一质量为m的粒子位于(x,y)处,速度 为ⅴ=vxi+vj,并受到一个沿-x方向的力f, 求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力 矩 解:r=x计+yj,v=vi+vj,f=-fi+0j L=rx mv=mx y 0=m(xvy-yvx)k 0 i j k M=r×f=xy0=yfk -f00

目 录 第4 章 习题4-2 一质量为 m 的粒子位于 ( x , y )处，速度 为 v = vx i + vy j，并受到一个沿 - x 方向的力 f ， 求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力 矩。 解： r = x i + y j，v= vx i + vy j，f = - f i + 0 j。 i j k L = r  mv = m x y 0 = m ( x vy - y vx ) k vx vy 0 i j k M = r  f = x y 0 = y f k -f 0 0

质点角动量守恒定律 第4章 如果一质点对某点的力矩为零的话,它 对该点的角动量是一恒矢量,这就是质点角 动量守恒定律。 因为L为恒矢量,又L垂直于r和v所 形成的平面,因此,L为恒矢量时,质点只 限制在一平面内运动。讨论两种特殊情况: (1)F=0(自由质点ⅴ不变) 因M=r×F=0,L为恒矢量。 即:L= my sine=mvd 0 因d= sine是恒量, 故其路径沿一直线

目 录 第4 章 3、质点角动量守恒定律 如果 一质点对某点的力矩为零的话，它 对该点的角动量是一恒矢量，这就是质点角 动量守恒定律。 因为 L 为恒矢量，又 L 垂直于 r 和 v 所 形成的平面，因此，L 为恒矢量时，质点只 限制在一平面内运动。讨论两种特殊情况: v r O d  (1) F=0（自由质点 v 不变） m 因 M = r×F= 0，L为恒矢量。 即：L = mv rsin =mv d 因 d= rsin是恒量， 故其路径沿一直线

钙F∥r,或F方向通过O点 第4章 M=r×F=0 力的方向永远通过一个固定点,被称 为有心力 Central force,这固定点称为力 所以当一物体在一个有心力作用下运动 时,该物体的角动量保持恒定;反之亦然。 例如,地球在一个有心力作用下绕太阳 运行,这有心力的方向永远通过太阳的中心 。所以地球相对太阳的角动量是恒定的

目 录 第4 章 (2) F // r，或 F 方向通过O点 则 M = r×F = 0 一力的方向永远通过一个固定点，被称 为有心力 Central force ，这固定点称为力 心。 所以当一物体在一个有心力作用下运动 时，该物体的角动量保持恒定；反之亦然。 例如，地球在一个有心力作用下绕太阳 运行，这有心力的方向永远通过太阳的中心 。所以地球相对太阳的角动量是恒定的

咧4-1一质量为m的质点系在绳子的一端, 绳的另一端穿过水平光滑桌面中央的小洞, 起初下面用手拉着不动,质点在桌面上绕O 作匀速圆周运动,然后,慢慢地向下拉绳子 ,使它在桌面上那一段缩短。质点绕O的角 速度O如何随半径r变化? 解:质点受到的是一个有 心力,故其角动量守恒 F v=ro L=mry= mro 角速度反比于半径的平方 o∞1/r2

目 录 第4 章 例 4-1 一质量为 m 的质点系在绳子的一端， 绳的另一端穿过水平光滑桌面中央的小洞， 起初下面用手拉着不动，质点在桌面上绕 O 作匀速圆周运动，然后，慢慢地向下拉绳子 ，使它在桌面上那一段缩短。质点绕 O 的角 速度ω如何随半径 r 变化? 解：质点受到的是一个有 心力，故其角动量守恒 v = rω L = mrv = mr2ω 角速度反比于半径的平方 ω  1 / r2 vo ro r F

例:P为一水平面,一小球系于长度为的 细绳的一端,绳的另一端固定于O点,开始时 绳子是松弛的,球位于A点,速度为υ,其 方向与AO垂直,球与O点的距离为d 试求:当绳子到达B点(此时绳子被拉紧 时的速度。 解:由角动量守恒得 mud= mud O d

目 录 第4 章 试求：当绳子到达B点（此时绳子被拉紧） 时的速度。 例： P为一水平面，一小球系于长度为 l 的 细绳的一端，绳的另一端固定于O点，开始时 绳子是松弛的，球位于A点，速度为 ，其 方向与AO垂直，球与O点的距离为d 。 v 0 解：由角动量守恒得 mv0d= mvd l = v0 d v v0 v O A d