东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第08章 哈密顿理论在物理学中的应用

第八章哈密顿理论在物理学中的应用 s8.1连续体系的拉格朗日方程 设m是第个质点偏离平衡位置的位移,则 体系的动能:T=∑mn22 第i个质点所受的力: im imim im im i+1 : )(ni --)-iW k k k k 体系的势能: U=∑k(n+-m1)2/2 a 于是体系的拉格朗日: HAi ∑mn2+k(m+1-n 2 n-2 un-1 n 1

k k k m m k m m m un -2 un -1 un un+1 a                             i 2 i 1 i 2 i i 2 i 1 i i i 1 i i i 1 i 2 i i [m k( ) ] 2 1 L U k( ) / 2 F k( ) k( ) i T m / 2 i   于是体系的拉格朗日： 体系的势能： 第 个质点所受的力： 体系的动能： 设 是第 个质点偏离平衡位置的 位移，则

分离体系的拉氏函数:L= 2 ∑mn2+k(m11-n)21 改写为L=,∑叫计+M/n-n) ∑al a 令弹性棒单位长度的质量为λ,则m/a→>λ,a→>dx 胡克定律:F=Eξ,其中:E为弹性模量,ξ为单位棒 长的伸长ξ= an ni-n ax a n+1-n 而分离体系的胡克定律为F=ka 比较可得:k→E,n-n→,且∑n→」∫x

比较可得： ， ，且 。 而分离体系的胡克定律 为 长的伸长 。 胡克定律： ，其中： 为弹性模量， 为单位棒 令弹性棒单位长度的质 量为 ，则 ， 改写为 分离体系的拉氏函数： a dx a x ka E a F ka x a F E E m / a a dx aL a ka a m a 2 1 L [m k( ) ] 2 1 L i i 1 i i 1 i i 1 i i i i 2 2 i 1 i i i 2 i 1 i 2 i                                                              

分离体系的拉氏函数为: 2 ∑ ani+ ka i+1 ∑ a 因此弹性棒的拉格朗日函数为 an 入n2-E dx= Ldx dx 2 E 其中:C=-=7A2(ax人。C、、分别 2 称为体系的拉格朗日密度、动能密度、势能密度。 对于每个x,n(x,t)是广义坐标,对于三维的连续 体系,广义坐标为n(x1,x2,x3,t),L Ldx dxdx

体系，广义坐标为 ， 。 对于每个 ， 是广义坐标，对于三维 的连续 称为体系的拉格朗日密 度、动能密度、势能密 度。 其中： 。 、 、 分别 因此弹性棒的拉格朗日 函数为 分离体系的拉氏函数为 ：                                                       (x , x , x ,t) L dx dx dx x (x,t) x E 2 1 2 1 dx dx x E 2 1 L aL a ka a m a 2 1 L 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 i i i 2 2 i 1 i i L L T - V L T V L   

对于弹性棒,拉格朗日密度只是η=0n/ot和 0n/ax的函数,而x和t参数。在某些问题中C还可 以是η或x、t的显函数,因此三维L的一般形式为 C=C(n/x12On/Ot,n,x,t),2(j=1,2,3) 由哈密顿原理,体系的拉格朗日方程由下式给出 6S=6 sso cdx, dx,dx dt=0 注意变分运算:8x,=0,8t=0 aL aL δC= 80 δi+∑ 008 an

                                                      j 3 j 1 j j 1 2 3 j x x x 0 t 0 S dx dx dx dt 0 / x / t, , x,t ( j 1 2 3 ) x t / x x t / t L L L L L L L L L    注意变分运算： ， 。 由哈密顿原理，体系的 拉格朗日方程由下式给 出 ，， 以是 或 、 的显函数，因此三维 的一般形式为 的函数，而 和 参数。在某些问题中 还可 对于弹性棒，拉格朗日 密度只是 和 ( , )

∫J ar ar aL 6m+-δ们+ dx, dx, dx, dt=0 aan/ax ( ax 8n1=8n2=0, laLonde d ar andt I dt( an aL 01(dy ar d(on) dx 1 alan/ax:ax 1o(m/ax川(dx d ar dx alan/Ox ndx ar d aL ar n dt(an ∑ dx, a(an/Ox, dx, dx dx, dt=0 由于8m是任意的,要使上式恒为零,必须8n的系数为零, d aL d ar or 即: 0(k=1,2,…) dt( an ∑ dx: a nk / ax

            0 (k 1,2, ) dx / x d dt d dx dx dx dt 0 dx / x d dt d dx dx / x d dx dx d( ) / x dx / x x dt dt d 0, dt dx dx dx dt 0 / x x k 3 k j 1 j k j 1 2 3 3 j 1 j j 2 1 j j j 2 1 j j j 2 1 j j j 2 1 2 1 1 2 1 2 3 3 j 1 j j                                                                                                                                                          L L L L L L L L L L L L L L 即： 由于 是任意的，要使上式恒 为零，必须 的系数为零

例:弹性棒纵振动的运动方程。 解:弹性棒的拉格朗日密度为 C=NAn-E 2 ax 0C=1 d0L=九n =先 dt a at2 因此得: ar E an d aL E a(an /ax) Ox dx a(an /ax) ax 0C=0 代入: d aL +∑ C or ,得 )红dx1nax)an 波动方程:元nE30=0,波速v at2 ax

  波动方程： ，波速 。 代入 ，得 ， 因此得： 解：弹性棒的拉格朗日 密度为 例：弹性棒纵振动的运 动方程。 E 0 v x E t 0 dx / x d dt d : 0 x E dx ( / x) d , x E ( / x) dt t d x E 2 1 2 1 2 2 2 2 3 j 1 j j 2 2 2 2 2 2                                                                                 L L L L L L L L L      

§8.2电磁场的拉格朗日方程 真空中的电磁场规律由麦克斯韦方程给出: VE=P/8o 广义坐标为矢势A和标势φ V×E+OB/ot=0 V.V×A=0,V×Vq=0 V·B=0 E=-Vop-aA/at V×B-HEOE/t=pj B=V×A 拉格朗日密度 L=(EE-B/1/2-pop+j. A =|e(Vq-0A/at)2-(V×A)2/p2-p+j·A

[ ( A / t) ( A) / ]/ 2 j A ( E B / )/ 2 j A B A E A / t A 0 0 A B E/ t j B 0 E B / t 0 E / o 2 2 o o 2 2 o o o o o                                                                                      L 拉格朗日密度 ， 广义坐标为矢势 和标势 真空中的电磁场规律由 麦克斯韦方程给出：

d aL ar 0 dt(onk 'si dx l a(ank /Ox, ank/Ox: ) On C=|E(Vq-OA/t)2-(V×A)2/p。/2-p+jA 1、考虑广义坐标φ所对应的拉格朗日方程 aL aL a(a/x) E(V9-0A/0)·i=-8E aL 0,代入拉格朗日方程得:=8∑ OE +p=0 ax 将上式写成矢量形式就是V.E=p/8

    o i i i o o o j i o 2 2 o k 3 k i 1 j k i k i E / 0 x E 0 ( A / t) i E / x , 1 [ ( A / t) ( A) / ]/ 2 j A 0 dx ( / x ) / x d dt d                                                                                    将上式写成矢量形式就 是 ，代入拉格朗日方程得 ： ， 、考虑广义坐标 所对应的拉格朗日方程 L L L L L L L

d ac +∑ aL or 0 dt(oik)台dx[OOnx)Onk L=(EE4-B7u)/2-p+j. A 1、考虑广义坐标A所对应的拉格朗日方程 aL aL OE aA aA aA 19 aL OB 3 B 3 0(OA1/ax2)μa。a(aA1/ax2)μ or B 9 (0A1/0x3)μ 1 aB, aB OE 代入拉格朗日方程得 0 j1=0 Ox at 0 2 3

j 0 t E x B x 1 B B ( A / x ) B ( A / x ) B B 1 ( A / x ) E , A E E A j A 1 A ( E B / )/ 2 j A 0 dx ( / x ) d dt d 1 1 o 3 2 2 3 o o 2 1 3 o 3 1 2 3 3 1 2 o o 1 1 1 o 1 1 1 1 1 o 2 2 o k 3 k j 1 j k j                                                                              代入拉格朗日方程得： ， ， ， 、考虑广义坐标 所对应的拉格朗日方程 L L L L L L L L     

1 aB OB FE =0 Ox at 1 aB, aB OE 0 ax ax °at 1 aB, aB AE 3 0 ax ax ot 将它们结合起来写成矢量形式: AE V×B at 这就证明了电磁场的运动方程确定可纳入到 拉格朗日方程的理论体系中去

拉格朗日方程的理论体 系中去。 这就证明了电磁场的运 动方程确定可纳入到 将它们结合起来写成矢 量形式 j t E B : j 0 t E x B x 1 B j 0 t E x B x 1 B j 0 t E x B x 1 B o o o 3 3 o 2 1 1 2 o 2 2 o 1 3 3 1 o 1 1 o 3 2 2 3 o                                                                  