东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第01章 牛顿动力学方程

理论力学 何国兴 东华大学应用物理系

理论力学 何国兴 东华大学应用物理系

第一章牛顿动力学方程 §1经典力学基础《原理》 牛顿三大定律 §12牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F=dP/dt=d(mv)/dt 若m为常数,F=mdv/dt=ma 1、直角坐标系 F= mdv dt= ma F= mdv dt= ma F= mdv/dt= ma

第一章 牛顿动力学方程 §1.1 经典力学基础——《原理》 牛顿三大定律 §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt 若m 为常数， F = mdv /dt = ma 1、直角坐标系 Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz

例题:假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧 毁时,有一质量为m的碎片以水平方向的初速v 抛出,已知空气阻力与速度成正比,即f=-kv (k为常数),试求碎片的运动方程和轨迹方程。 解:牛顿第二定律:mg+f=mg-kw= mdv/dt 建立坐标系:x轴—V方向; y轴—垂直向下方向 初始条件:t=0,x=0, 0, 0 0 0 XO 0 yO zO 0: 运动微分方程:-kv=mdv,/dt mg-kv,= mdv/dt 0=mdv/dt

例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧 毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv （ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。 解：牛顿第二定律：mg + f = mg - kv = mdv/dt 建立坐标系：x 轴 —— vo方向; y 轴 —— 垂直向下方向。 初始条件： t = 0， xo = 0 ， yo = 0 ， zo = 0； vxo = vo ， vyo = 0 ， vzo = 0; 运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt

运动微分方程:-kv=mdv、/dt mg -kvv=mdv/dt 0= mdv/d Z x方向:dx/vx=-(k/m)dt V=ve kt/ y方向:-kdv√(mgkv)=1(k/m)dt V=(mg/k( l-e-kt/m z方向: dv.=0 0 Z z0 kt/m X v=(mg/k(1-ekt/m 0

运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt x方向： dvx / vx = - (k/ m) dt → vx = vo e - kt/m y方向： - kdvy /(mg-kvy ) = -(k/ m)dt → vy = (mg/k)(1-e - kt/m ) z方向： dvz = 0 → vz = vzo = 0 vx = vo e - kt/m vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) vz = 0

Vvoe-kt/m, y=(mg /k)(l-e-ktm),V,=0 →x-x。=v,e-kmdt=(mvg)(1-ekm) y-yo=t(mg/k)(1-e-kt/m )dt = mg t/k-m2g/k2(1-e-kt/m) →z-zn=「t0dt=0 运动方程:x=(mvg)(1-ekm) y=mg t/k-mg/k(1-e-ktm) z=0 kt/m=-In( 1-kx/mvo) 轨迹方程:y=-gln(1-kx/mv)-mgx/kv z=0

vx = vo e - kt/m ，vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ，vz = 0 → x - xo = ∫o t vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) → y - yo = ∫o t (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) → z - zo = ∫o t 0 dt = 0 运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) z = 0 → kt/m = - ln( 1-kx/mvo ) 轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo z = 0

§12牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 2、平面极坐标系(rp) 与直角坐标系关系: (1)(x,y)→(ryp) X-r cosgp y=r sinop Vx= Vr cosφVpsφ c0sφ-sinφ Rain+ v cosφ SIn vx=rcosφ- ro sinφ c0sφ-sind)i rsinφ+rφcosφ sinφcosp人r

§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 2、平面极坐标系 (r,φ) 与直角坐标系关系: (1) (x , y) → (r ,φ) x = r cosφ y = r sinφ vx= vr cosφ-vφ sin φ vy= vr sinφ+ vφ cosφ r v φo x y r o φ =  +   =    v r sin r cos v r cos - r sin y x                         −  =           r r sin cos cos sin v v y x                    −  =          v v sin cos cos sin v v r y x

§1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 2、平面极坐标系(rq) (2)(vx,Vy)-(Vr,v,) v,=i cos p-ripsind v,=rsin中+rcos dr V =r dt do as- cos -sinoi-rd r r dt )( sin o cos人2r+r (3)(ax, ay)-(ar, a,) a,=r-rdp 4=2P+r

§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 2、平面极坐标系 (r,φ) (2) ( vx , vy ) → ( vr , vφ ) dt d v r r dt dr v r r  =  = = =             +  −             −  =              r r r r sin cos cos sin a a y x 2 2 =  +  = −        a r r a r r r 2 2 =  +   =    v r sin r cos v r cos - r sin y x     (3) ( ax , ay ) → ( ar , aφ )

作业 已知球坐标系与直角坐标系关系: X=r sine coSP y=r sine sinp z=r cos e 推导球坐标系(r,θ,q)中的 (1)速度分量(v,,v,v); (2)加速度分量(a,a,a0)

作 业 已知球坐标系与直角坐标系关系: x = r sin cos y = r sin sin z = r cos  推导球坐标系（r，，φ）中的 （1）速度分量（ v r ，v，vφ ）； （2）加速度分量（ a r ，a，aφ ）

3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式

y x z q1 q2 q3 e1 e2 e3 o 3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式

x=x(q1,q2,q3),y=y(q1,q2,q3),Z=Z(q1q2,q3 r=r(, 92, 3)=xi+yj+zk ar ax ay j+。k(i=1,2,3) aq aq aq aq 2 拉密系数:0了 Ox az 十 十 q 与q坐标线在P点的切线单位向量同向 aq O 1 ar =Hc;或c;= gi q

x = x(q1 , q2 , q3 ), y = y(q1 , q2 , q3 ), z = z(q1 , q2 , q3 ) i i i i i i i i i 2 i 2 i 2 i i i i i i i 1 2 3 q r H 1 H e e q r q P e q r q z q y q x q r : H k ( i 1 2 3 ) q z j q y i q x q r r r(q ,q ,q ) x i y j z k   = =                +           +           =   = =   +   +   =   = = + +                  或 与 坐标线在 点的切线单位向量 同 向 拉密系数