东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第03章 两体问题

第三章两体问题 §31两体问题化为单粒子问题 相对坐标r=r1-E2,内力F2=-F21,外力F,F2 F,+ r 12 r 上21 11 十 12 十 m 2 2 引入"折合质量': m (1)式重写成:μF=F12+叫 若F=F2=0或F1/m1=F2/m 12 或μr=F(r)n(若F2=F(r)en)

r F(r)e ( F F(r)e ) r F F F 0 F / m F / m m F m F (1) : r F m 1 m 1 1 " ": m F m F F m 1 m 1 m F F m F F r r - r r r - r , F F , F F . r 1 2 r 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2                                       = =  = = = =          = +  − = +          + −         = + + − + = = = = − 或 若 若 或 式重写成 引 入 折合质量 相对坐标 内 力 外 力 ， 第三章 两体问题 §3.1 两体问题化为单粒子问题

假设外场势能U只与体系的质心位置有关, 相互作用势能只与两粒子间的相对r有关。 体系的拉格朗日函数为 L=T-Ⅴ=(m1+m2)rC+ 3r2-U(r)-U(r) =L1+L2 其中:L1=(m1+m2)2-U(rc) 2 山2-U(r) 这样,两体问题分解为两个单粒子问题

r U (r) 2 1 L (m m )r U (r ) 2 1 :L L L r U (r ) U (r) 2 1 (m m )r 2 1 L T V U r U r 2 i 2 C 2 e 1 1 2 C 1 2 i C 2 2 e 1 2 C i C e =  − = + − = + = − = + +  − −     其 中 ， 体系的拉格朗日函数为： 相互作用势能 只与两粒子间的相对位置 有关。 假设外场势能 只与体系的质心位置 有关， 这样，两体问题分解为两个单粒子问题

32有心力场中单粒子的运动 在有心力势场中,因觔量守恒,作平面运动 选取平面极坐标系(,θ) 拉格朗日函数:m(r2+r22)/2-U(r) 因拉格朗日函数不含时间t,因此粒子能量守恒: E=m(r2+r202)/2+U(r)=常数 因拉格朗日函数不含坐示0,因此粒子角动量守恒 L=mrv=mr20→0=L/mr2 mF2+r(/mrH H +U(r) 2 mr+ 2 2mr2 +U(r)

§3.2 有心力场中单粒子的运动  ( )  U(r) 2mr L mr 2 1 m r r L/ mr U(r) 2 1 E L mrv mr L/ mr E m(r r )/ 2 U(r) t m(r r )/ 2 U(r) r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = =    =  = +  + = +  −           因拉格朗日函数不含坐标 ，因此粒子角动量守恒： 常 数 因拉格朗日函数不含时间 ，因此粒子能量守恒： 拉格朗日函数： 选取平面极坐标系（， ） 在有心力势场中，因角动量守恒，作平面运动

运动方程 2 L2 mr +U(r) 2 2 dr 2 →r E-U( dt 2mr 2 m 2 dt=dr/ -e-u(r) 21 2 mr r(t) dr → →r=r(t) r(0) 2 E-U(r) m 2mr

运动方程 r r(t) 2mr L E U(r) m 2 dr t 2mr L E U(r) m 2 dt dr / 2mr L E U(r) m 2 dt dr r U(r) 2mr L mr 2 1 E r(t) r(0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2  =       − −  =       = − −        = = − − = + +   

2 2 dt=dr /E-U(r) m 2m 角动量守恒:L=mr6→6dL dt mr dr →de dt mr mr 2 2 E-U(r) 2mr 2 L/rdr e(t)-6(0)= r(0) 2mE-U(r 2mr 2 由r(t)和θ(t)消去t,则可得轨道方程c

由 和 消 去 则可得轨道方程。 角动量守恒： r(t) (t) t , 2mr L 2m E U(r) L/ r dr (t) (0) 2mr L E U(r) m 2 dr mr L dt mr L d mr L dt d L mr 2mr L E U(r) m 2 dt dr / r(t) r(0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2        − −  −  =       − −   = = =  =    =       = − −   

运动定性讨论 r的变化范围:有效势能Uar(r)=U(r)+L2/2mr2 L2/2mr2称为离心势能 r的变化范围由=0的条件决定 即:U(r)+L2/2mr2=E (1)若r≥ mIn 则粒子从∞来,到处后又向离去 (2)若rmn≥r≥rm,轨道位于两圆=rm和r=rm 之间。从→r→r,矢径转过角度0为: r max L/rdr △=2 V2mE-U(r)-L2/2mr 2 轨道闭合的条件是0=2mm/n(m、n是整数)

  轨道闭合的条件是 （ 、 是整数）。 之间。从 ，矢径转过角度 为 ： （ ） 若 ，轨道位于两圆 和 （ ） 若 ，则粒子从 来，到 处后又向 离去； 即 ： 的变化范围由 的条件决定。 称为离心势能 的变化范围 有效势能 2 m / n m n 2m E U(r) L / 2mr L/ r dr 2 r r r 2 r r r r r r r 1 r r r U(r) L / 2mr E r r 0 L / 2mr r : U (r) U(r) L / 2mr max min r r 2 2 2 max min max max min min max min min 2 2 2 2 2 2 eff  =  − −  = → →    = =    + = = = +   运动定性讨论

讨论粒子在吸引势U=-a/r3中的运动情况 解:粒子的有效势能:Um=L2/2mn2-a/r3 (1)曲线渐近行为 r→0,ter→0;e L2/2mr2 r->0,Ue→-∞。 (2)曲线零点: eff/max Uer=0→r=rn=2ma/L2 E (3)曲线极值: dUer/dr=0 ro r r2 →r=rm=3ma/L2 a/r qUefrmax=L6 /54 m3 a

讨论粒子在吸引势U = - a / r3中的运动情况 解：粒子的有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3 (1) 曲线渐近行为 r → ∞， Ueff → 0； r →0， Ueff → - ∞ 。 (2)曲线零点： Ueff = 0→r = ro = 2ma/L2 (3)曲线极值： dUeff / dr = 0 → r = rm = 3ma/L2 (Ueff )max = L6 / 54 m3 a 2 - a / r3 L2 / 2mr2 O E (Ueff )max r Ueff rm ro r1 r2

§33与距离成反比的有心力场 吸引势:U(r)=-a/r 有效势能:Um=L2/2mr2-a/r (1)r→0,Um→+∞;Ufl,2/2mr2 9 ef→ 0 (2)曲线极值:dUem/dr=0 →r=r=L2/ma 2 qUer)min=m a2/2L2 E (3)曲线零点: e丿max Uer=0→r=ro=L2/2ma a/r

§3.3 与距离成反比的有心力场 吸引势：U(r) = - a / r 有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r (1) r →0 ，Ueff → + ∞； r → ∞， Ueff → 0。 (2)曲线极值：dUeff / dr = 0 → r = rm = L2 / ma (Ueff )min = m a 2 / 2L2 (3)曲线零点： Ueff = 0→r = ro = L2 / 2ma - a / r L2 / 2mr2 O E (Ueff )max r Ueff ro r1 rm r2

比耐公式轨道方程 运动方程:m(-r03)=Fr)() m(re+2r0)=F(r)(2) 因为有心力F(r)=0→r6+2r0=0 1 d →-(r2()=0→h≡r20守恒量 r dt 由(1)式得: mr= F(r+mre=f(r)+mh /r 3)

比耐公式——轨道方程     +  = −  =  m(r r ) F (r) (2) m(r r ) F (r) (1) : r     2 2 运动方程 守恒量 因为有心力 (r ) 0 h r dt d r 1 F (r) 0 r 2r 0 2 2   =     =   +  =     mr F(r) mr F(r) mh /r (3) (1) : 2 2 3 = +  = +   由 式 得

比耐公式轨道方程 守恒量:h≡r2,m=F(r)+h2/r3(3) 引入u=1/r,由0=hr2,我们得 0=h2/m dr dr de d(1 1 du du hu h dt de dt de、u u de de F、drd d du du (-h (-h)=-hu dt dt dede de 2 d (4)试式代入3)式得: h2u2(2+u)=-F(r)/m比耐公式(5) de

比耐公式——轨道方程 引 入 由 我们得 守恒量 u 1/r , h/r , : h r , mr F(r) h /r (3) 2 2 2 3 =  =   = +    (4) d d u ) h u d du ( h d d ) d du ( h dt d dt dr r d du hu h d du u 1 u 1 d d dt d d dr dt dr r h /m 2 2 2 2 2 2 2   = −  −  =  = = −  = −   = −       =   = =  =       u) F(r)/ m (5) d d u h u ( (4) (3) : 2 2 2 2 比耐公式 式代入 式 得 + = − 