东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第05章 非惯性参考系

第五章非惯性参考系 §5.1不同参考系之间速度和加速度的变换 固定坐标—惯性系 动坐标系—非惯性系 动坐标系:A=A、i+Aj+A2k 固定坐标:dAdt= dA_ /dt i+ dAy /dtj+dA/dtk 动坐标 +Adi/dt+Ay dj/dt +Aidk/dt 动相对固定

第五章 非惯性参考系 §5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换 固定坐标 —— 惯性系 动坐标系 —— 非惯性系 动坐标系： A = Ax i + Ay j + Az k 固定坐标： dA/dt = dAx /dt i + dAy /dt j + dAz /dt k 动坐标 + Axdi/dt +Aydj/dt +Azdk /dt 动相对固定

动坐标系:A=A3i+Aj+A2k 固定坐标:dAdt= dA/dt i+dA/dtj+ dA/dt k +Adi/dt+Ay dj/dt +Aidk/dt 讨论(1)仅有转动(角速度o相对固定坐标系) dr/dt=0×r:。di/dt=0×i, dj/dt=0×j, dk/dt=0×k 记δA/dt=dA、dti+ dAy/dt j+dA/dtk dδ 则有:dA/dt=6A6t+o×A → dt st 转动参考系算符变换:d/dt=8/6t+0×

动坐标系：A= Ax i + Ay j + Az k 固定坐标：dA/dt = dAx /dt i + dAy /dt j + dAz /dt k + Axdi/dt +Aydj/dt +Azdk /dt 讨论 (1) 仅有转动(角速度ω相对固定坐标系） ∵ dr/dt =ω× r ∴ di /dt = ω× i , dj /dt = ω× j , dk /dt = ω× k . 记 δA/dt = dAx /dt i + dAy /dt j + dAz /dt k 则有: dA/dt = δA /δt +ω×A 转动参考系算符变换：d/dt = δ/δt +ω× dt t d ~   

例:质点的位置矢量r,求v,a。 解:v=dr/dt=6r/6t+0×r=V相十V牵 a=d2r/dt=d(8r/8t +oXr)/dt =6(6r/6t+0×r)/6t +ω×(6r/6t+0×r) 62r/6t2+6(0×r)/6t +×(6r/6t)+0×(0×r =62r/6t2+(60/6t)×r+0×(×r) +20×(6r/16)=a相+a牵+a科 a相 82r/6t a牵=(/6t)×r+0×(xr) 科=20×(Gr/16)

例: 质点的位置矢量r ，求 v ， a 。 解： v = dr /dt = δr /δt +ω×r = v 相+ v 牵 a = d2r /dt2 = d(δr /δt +ω×r ) /dt = δ(δr/δt +ω×r) /δt +ω×(δr /δt +ω×r) =δ2r /δt2 +δ(ω×r) /δt +ω×(δr /δt) + ω×(ω×r ) =δ2r /δt2 +(δω/δt )×r + ω×(ω×r ) + 2ω×(δr /δt) = a 相 + a 牵 + a 科 a 相 = δ2r /δt2 a 牵 = (δω/δt )×r + ω×(ω×r ) a 科 = 2ω×(δr /δt)

dA/dt=6A/6t+o×A 运算公式:AXB×C=B(A·C)-(A·B)C 0×(o×r)=0(or)-2r =2(OB-OP)=-02R 对于角速度o,角加速度为β R 阝=do/dt=6o/6t+×o B P =6o/6t 说明角加速度与坐标系无关

dA /dt = δA /δt +ω×A 运算公式：A × B ×C = B (A · C ) – (A · B) C ω×(ω×r ) = ω(ω·r ) - ω2 r = ω2 (OB - OP) = -ω2 R 对于角速度ω，角加速度为β β = dω/dt = δω/δt +ω×ω = δω/δt 说明角加速度与坐标系无关。 R ω r B P O

例:一等腰直角三角形OAB在 y A 其自身平面内以匀角速o绕O转 动。P点以匀相对速度沿AB边 运动,当三角形转一周时,P点 P 走过AB,如AB=b,试求P点在 A时的绝对速度与绝对加速度。z B 解:rA=bi+bj,o=-0k, A相对 δt 2兀 j,aA相对=0 or b A 0×r j-k×(bi+bj) δt 2兀 =abi-ob 1+ 2兀

j 21 b i b 1 j k b i b j 2b r tr v j a 0 2b tr v r b i b j k A A A A A A A                      =  −  + −   +  +   = −  = =  = −  == +  = −  （ ） ， 。 解 ： ， ， 相 对 相 对 例： 一等腰直角三角形OAB 在 其自身平面内以匀角速 ω 绕 O 转 动。P 点以匀相对速度沿AB 边 运动，当三角形转一周时， P 点 走过AB，如AB=b，试求 P点在 A 时的绝对速度与绝对加速度。 PA B y z x O ω

解:r=bi+b =-0k, δI b A相对 St 2nJ,a相=0 aA=aA相对+20×v相对+(0A)-02r oe rj+okok(b i+bD1-o(b i+b j) =20kx boj-0(bi+bj=-1ob+ui-o2bj T

i b j b i (b i b j) b b j k[ k (b i b j)] (b i b j) 2 b 2 k a a 2 v ( r ) r j a 0 2 b t r v r b i b j k 2 2 2 2 2 2 A 2 A A A A A A A A                               −            −  + = −  +   = − +    + −  +   =   = +  +   −  =   = −   = = +  = − 相 对 相 对 相 对 ， 相 对 。 解 ： ，

(2)平动+转动 固定坐标系中位矢r与动坐标系r之间关系: r=r+r d2r/dt2=d2R/dt2+d2r/dt2 d2R/dt2+62r/6t2+(6o/6t)×r +0×(0×r)+20×(6r/6t) 或a=温平+a相+B×r-02R+20×v相 若等角加速度转动p0,无平动加速度a平=0, a=a”-02R+20×y

(2) 平动 + 转动 固定坐标系中位矢rI 与动坐标系 r 之间关系: rI = R + r d 2rI /dt2= d2R /dt2 + d 2r /dt2 = d2R /dt2 + δ 2r /δt2 + (δω/δt ) ×r +ω×(ω×r ) +2ω×(δr /δt) 或 a = a平 + a相 +β×r -ω2 R + 2ω×v相 若等角加速度转动β= 0，无平动加速度 a平 = 0， 则：a = a’ -ω2 R + 2ω×v’

§52非惯性系中的动力学方程惯性力 惯性系中:md2r1/dt2=F 非惯性系: m2r/6t2=F-md2R/dt2+×r+o×(o×r)+20×y F 1、平移力 md2R/dt←动系平动加速 2、方位力 mBxr 动系转动加速 3、惯性离心力 m|ox(o×r)←动系相对固定系转动 科里奥利力 2mo×y 质点相对动系运动

§5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力 惯性系中： m d2rI /dt2 = F 非惯性系： m 2r/t 2 =F -m[d2R /dt2+βr +ω(ωr) +2ωv’] = Feff 1、平移力 - md2R /dt2 ← 动系平动加速 2、方位力 - mβ  r ← 动系转动加速 3、惯性离心力 - m[ω  (ω  r ) ← 动系相对固定系转动 4、科里奥利力 - 2mω  v’ ← 质点相对动系运动

例:在光滑水平直管中 有一质量为m的小球。O 此管以匀角速o绕通过其 一端的竖直轴转动。开 始时,球距转动轴的距 V X o 离为a,球相对管的速率2 为零,而的总长为2a。 mg 求:(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; (2)球从开始运动到离开管口时所需时间 解:F=x,下相=xi,=0j,=可x=-0xk。 受力:重力-mgj,反约束力:NN2 惯性离心力-mo(·r)-03v]=mo2xi 科氏力FC=-2m0xv相=-2 moxx i=2mok

例：在光滑水平直管中 有一质量为 m 的小球。 此管以匀角速ω绕通过其 一端的竖直轴转动。开 始时，球距转动轴的距 离为 a , 球相对管的速率 为零，而的总长为 2a 。 o x y z mg Nz Ny Fc mω2x v vz vx ω 求：(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度； (2) 球从开始运动到离开管口时所需时间。 -m[ ( ) ] - F m v m j x i m x k r r m x i mg j N N r x i v x i j v r x k C y z                          = −  = −   =    −  =  = =  =  =  = − 2 2 2 2 2 相 相 牵 科氏力 惯性离心力 受力：重 力 ，反约束力： ， 解 ： ， ， ，

(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; mx=mo X 动力学方程:{m=N,-mg(2) mz= 2max-N(3) dx dx dx 由(1)得:这 X=O X dx dt dx →xdx=o2xdx(4 「刘dx=J,03xdk→x2=3o2 → x=√3a0 绝对速度:ⅴ=√v 相+V牵=√302a2+4o02a2 √7ao

=  = + =  +   =  =   =   =  = = =       =  − = − =    7a v v v 3 a 4 a x 3a xdx xdx x 3 a xdx xdx (4) x x dx dx dt dx dx dx (1) : x mz 2m x N (3) my N mg (2) mx m x (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a 2 x 0 2 2 z y 2 绝对速度： 相 牵 由 得 动力学方程：                (1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；