第四章刚体 §41刚体运动的自由度和广义坐标 刚体运动的自由度:6 刚体运动分类: (1)平动 (2)定轴转动 (3)平面平行运动 (4)定点转动 (5)一般运动
第四章 刚体 §4.1 刚体运动的自由度和广义坐标 刚体运动的自由度: 6 刚体运动分类: (1) 平动 (2) 定轴转动 (3) 平面平行运动 (4) 定点转动 (5) 一般运动
欧勒角 当刚体作定点转动时, y y 选此定点为坐标系原点取 两组正交坐标系,它们的原 点都在定点O上 固定不动坐标系:0-2n2 固定在刚体上动坐标系O-xyz (其中瞬时转动轴为z轴) 节线ON一8Om平面和xOy平面的交线; 进动角φ—ON和O2间的夹角 自转角y-0N和Ox间的夹角 章动角0—0和Oz间的夹角
x y z y” N O 章动角 — 和 间的夹角。 自转角 — 和 间的夹角； 进动角 — 和 间的夹角； 节 线 — 平面和 平面的交线； 其中瞬时转动轴为 轴 固定在刚体上动坐标系： 固定不动坐标系： 点都在定点 上 。 两组正交坐标系，它们的 原 选此定点为坐标系原点。 取 当刚体作定点转动时， 欧勒角 O Oz ON Ox ON O ON O xOy ( z ) O - xyz O - O
942刚体的角速度 角位移为△n 位移为△r=△n×r △q 角速度定义: △ 0=dn/dt r+ Ar
§4.2 刚体的角速度 角位移为 n 位移为 r = n r 角速度定义： ω = dn /dt r r r + r
刚体的定点转动角速度 O=6N°+q+V。,0 y y =xi+o、j+2k 欧勒运动学方程 x=(sin esin y+e cos y O=(psin e -esin y 02=qc0s6+v
x y z y” N O i j k N z x y z o o o = + + = + + 刚体的定点转动角速度： = + = − = + cos sin cos sin sin sin cos : zyx 欧勒运动学方程
§43刚体上任一点的线速度和加速度 1、无平动的转动 线位移:dr=dn×r 线速度:v=dr/(dt=(dn/dt)×r -OXr 加速度:a=dv/t=d(o)/dt =(do/dt)×r+0×(0×r) 任一常模矢量A对时间的微商为: dA/dt=0×A
§4.3 刚体上任一点的线速度和加速度 1、无平动的转动 线位移: dr = dn r 线速度: v = dr /dt = (dn /dt) r = ω r 加速度： a = dv /dt = d(ω r)/dt = (dω/dt) r + ω (ω r ) 任一常模矢量 A 对时间的微商为: dA /dt = ω A
§43刚体上任一点的线速度和加速度 2、平动+转动 (1)固定基点法(C为刚体上固定基点) 线速度:w=vc+oxr 加速度:a=ac+(do/dt)xr+x(oxr) 运算公式:A×B×C=B(A·C)-(A·B)C 0×(o×r)=0(or)-02r a=ac+(do/dtxr+o(or)-O2r 对平面平行运动⊥r a=ac+do/dt)×r-02r
§4.3 刚体上任一点的线速度和加速度 2、平动+ 转动 (1) 固定基点法 ( C 为刚体上固定基点) 线速度: v = vC + ω r 加速度： a = aC + (dω/dt) r +ω(ω r ) 运算公式：A × B ×C = B (A · C ) – (A · B) C ω×(ω×r ) = ω(ω·r ) - ω2 r a = aC + (dω/dt) r + ω(ω·r ) - ω2 r 对平面平行运动 ω ⊥ r , a = aC + (dω/dt) r - ω2 r
证明:刚体角速度与参考点无关。 证:以A为参考点,角速度o A 以A为参考点,角速度o A VP=VA,+O'XAP VA,+0”×A”P vA”,=VA,+3×AA O参考原点 。VA,+0XAP=vA+03×AA”+0”XA”P →03×(AP-AA”)=03”×A”P 03×AP=0”×AP
证明：刚体角速度与参考点无关。 证: 以A’为参考点, 角速度ω’; 以A’’为参考点, 角速度ω’’。 vP = vA’+ ω’ ×A’P = vA’’+ ω’’ × A’’P ∵ vA’’ = vA’+ ω’ ×A’A’’ ∴ vA’+ω’×A’P = vA’+ω’×A’A’’+ω’’ ×A’’P → ω’ ×( A’P - A’A’’) = ω’’ × A’’P → ω’× A’’P = ω’’ × A’’P → ω’ = ω’’ O 参考原点 A’’ A’ P
(2)瞬时转轴法 ①平面平行运动 已知刚体的角速度和刚体上某一点P的线 速度v,总可过P点作一条和vp垂直的直线PQ, 并使Q点的位置满足条件: P-o P Q 取Q点为基点。 基点Q的特点: Q点是转动轴线和运动平面的交点,速度为 零,Q点的位置不固定,所以Q点称为瞬时转动 中心或瞬时转心
(2) 瞬时转轴法 ① 平面平行运动 已知刚体的角速度ω和刚体上某一点 P的线 速度vP ，总可过 P点作一条和 vP 垂直的直线PQ， 并使 Q 点的位置满足条件： vP = ω rPQ 取Q 点为基点。 基点Q 的特点： Q点是转动轴线和运动平面的交点，速度为 零，Q点的位置不固定，所以Q点称为瞬时转动 中心或瞬时转心
确定瞬时转心的方法 (1)刚体上瞬时速度为零的 点必为瞬时转心; B (2)已知刚体上A点和B点 的速度方向,分别过A点 和B点作v和v的垂线, 其交点Q必为瞬时转心。 Q ②一般运动 也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在 刚体上找到两个速度为零的点,则此两点的连 线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴,刚 体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式
确定瞬时转心的方法 (1) 刚体上瞬时速度为零的 点必为瞬时转心； (2) 已知刚体上A 点和 B 点 的速度方向，分别过A 点 和 B 点作 vA 和 vB 的垂线， 其交点Q 必为瞬时转心。 ② 一般运动 也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在 刚体上找到两个速度为零的点，则此两点的连 线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴，刚 体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式。 A B Q vA vB
例1:半径为R的轮子在直线轨道上无滑滚动, 质心C的速度为常数v求轮子边缘上任一点P 的速度和加速度。 解:1、固定基点法 o×rCP P C Q
例1：半径为R 的轮子在直线轨道上无滑滚动， 质心 C 的速度为常数vo 求轮子边缘上任一点 P 的速度和加速度。 解：1、固定基点法 O yo xo C Q P vo vC vP ω rCP