且录 第3章 第三章 能量守恒定律
目 录 第3 章 第三章 能量守恒定律
且录 第3章 §3.1功和能 3.1.1动能定理 已知力是位矢函数F(r),试求质点从A点 (r=r)经过路径到B点(r=rB)的速率v(rB) 牛顿第二定律:F(r)=mdv/lt f(rodr=(mdv/dt dr=mdv dr/dt moody =m(dvx+ vidvy+v,dv,) mvdy 经过路径L:A→>B F(rdr Vb mvd =ma2/2-mⅴA2/2
目 录 第3 章 §3.1 功和能 3.1.1 动能定理 已知力是位矢函数 F(r),试求质点从A点 (r = rA)经过路径L到B点(r = rB )的速率v(rB ) 牛顿第二定律： F(r) = mdv/dt F(r)dr = (mdv/dt)dr = mdvdr/dt = mvdv = m(vxdvx + vydvy + vzdvz ) = mvdv 经过路径L: A→B LF(r)dr = Va Vb mvdv = mvB 2 /2 - mvA 2 /2
且录 第3章 LF(r)dr =mvB2/2-mvA2/2 1、功:dA=F(r)dr= Fds cost=Fds A=JF(dr= f,ds 功率:P=dAdt=F(r)dr/lt=F(r)v 2、动能:E=mv2/2=P2/2m(与参考系有关) 在SI制中功单位焦耳(J),功率单位瓦特(W) 动能和功的单位是一样的,但意义不同 。功Work反映力的空间积累,其大小取决 于过程,是个过程量;动能 Kinetic Energy 表示物体的运动状态,是个状态量
目 录 第3 章 LF(r)dr = mvB 2 /2 - mvA 2 /2 1、功： dA = F(r)dr = Fds cos = Ft ds A = LF(r)dr = L Ft ds 功率：P = dA/dt = F(r)dr/dt = F(r) v 2、动能：Ek= mv 2 /2 = P2 /2m (与参考系有关) 在SI制中功单位焦耳(J)，功率单位瓦特(W) 动能和功的单位是一样的，但意义不同 。功 Work 反映力的空间积累，其大小取决 于过程，是个过程量；动能 Kinetic Energy 表示物体的运动状态，是个状态量
动能定理 第3章 质点: A= EKB-EkA 质点系:A外力+A内力=Ek-E1o 其中E和E分别表示质点系的初态和 末态总动能
目 录 第3 章 3、动能定理 质点： A = EkB - EkA 质点系： A外力+ A内力 = Ek - Eko 其中 Eko 和 Ek 分别表示质点系的初态和 末态总动能
例2一弹簧放在水平位置上,如图所示3章 把质量为m的质点向右移动一距离L,然后 释放。当质点离平衡位置的距离为x时,试 求它的动能。 A∧∧ 解:当弹簧伸长一距离x时,弹簧对质点的 作用力 F=-kx (k为倔强系数 当质点被释放时,x=L,F=-kL,vo=0 ,因而初动能为零
例目 录 第3 章 3-2 一弹簧放在水平位置上，如图所示， 把质量为 m的质点向右移动一距离 L，然后 释放。当质点离平衡位置的距离为 x 时，试 求它的动能。 解：当弹簧伸长一距离 x 时，弹簧对质点的 作用力： F = - kx ( k为倔强系数 ) 当质点被释放时，x=L，F= - kL，v0= 0 ，因而初动能为零。 F m 0 X k x
且令v表示在中间位置x上的速率,把质章 点从L移至x时对质点所作的功为 A=JXFdx=Jx-kx dx =k(L2-x2)/2 根据动能定理可得: mv2/2-0=k(L2-x2)2 因此 k (E2-x2) 上式表明,只要x的绝对值相同,速率便具 有相同的值;也就是说,质点的运动对称于 O点。在x处的速度v=士v,说明该处的质 点可向左或向右运动。同时表明质点的运动 将限于在x=-L和x=+L的范围内
目 录 令 第3 章 v 表示在中间位置 x上的速率，把质 点从 L 移至 x 时对质点所作的功 A = L x Fdx = L x - kx dx = k(L2 - x 2 )/2 根据动能定理可得： mv2 /2 - 0 = k(L2 - x 2 )/2 ( ) 2 2 L x m k v = − 上式表明，只要 x 的绝对值相同，速率便具 有相同的值；也就是说，质点的运动对称于 O点。在 x 处的速度 vx =±v，说明该处的质 点可向左或向右运动。同时表明质点的运动 将限于在 x = -L 和 x = +L 的范围内
目录 第3章 例3-2一链条总长为L,质量为m,放在 桌面上,并使其下垂,下垂一端的长度为a 。设链条与桌面之间的摩擦系数为μ,令链 条由静止开始运动,则(1)链条离开桌面的 过程中,摩擦力对链条作了多少功?(2)链 条离开桌面时的速率是多少? 解:设链条线密度为p=m/L 1、建立坐标OX轴,链条下 垂一端的长度为x,则 摩擦力:f=μpg(L-x) X
目 录 第3 章 例 3-2 一链条总长为 L，质量为 m，放在 桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 a 。设链条与桌面之间的摩擦系数为μ，令链 条由静止开始运动，则 (1) 链条离开桌面的 过程中，摩 擦力对链条作了多少功 ？(2) 链 条离开桌面时的速率是多少 ？ 解：设链条线密度为ρ= m/L 1、建立坐标 OX 轴，链条下 垂一端的长度为 x ，则 摩擦力：f =μρg（L - x） L - x O x X
且录 f=umg (L-X)/L 第3章 摩擦力作功:Ar=-∫Lfdx =-∫apmg(L-x)/Ldx 卩mg(L-a)2/2L 2、重力作功:AG=Jmgx/Ldx mg (L2-a2)/ 2L 动能定理:Ar+Ac=mv2/2-mv2/2 因为v=0 ImlA+Agl VL[L-a2-u(L-a)I g X
目 录 第3 章 f = μmg（L - x）/ L 摩擦力作功：Af = -∫a L f dx = -∫a L μmg（L-x）/ Ldx = -μmg（L-a）2 / 2L 2、重力作功：AG =∫a L mgx/Ldx = mg（L2 -a 2 ）/ 2L 动能定理：Af + AG = mv2 / 2 - mvo 2 / 2 因为 vo = 0 [L a (L a) ] L g [A A ] m 2 v 2 2 2 f G = − − − = + L - x O x X
例1一对作用与反作用力所作的功第3章 设质点质量位矢位移作用力 dr 12 m dr 21 其中F12.为质点2对1的作用力 F21为质点1对2的作用力 F12和F是一对作用和反作用力,由牛 顿第三定律可知:F12=-F21 这对作用和反作用力所作的功为: dA=F12°dr1+F21·dr2 F12°(dr1-dr2) F 12 ●dr 12
例目 录 第3 章 3-1 设 质点 质量 位矢 位移 作用力 1 m1 r1 dr1 F12 2 m2 r2 dr2 F21 其中 F12 为质点 2 对 1 的作用力 F21 为质点 1 对 2 的作用力 F12 和F21是一对作用和反作用力，由牛 顿第三定律可知： F12 = - F21 dA = F12 dr1 + F21 dr2 = F12 ( dr1 - dr2 ) = F12 dr12
且录 第3章 dA=F12°dr12 上式表明: 对作用和反作用力所作的功只与 F12和相对位移dr12有关,而这两者都是 不随参考系而变化的,由此得出结论: 任何一对作用力所作的功与参考系选 择无关,而一般单个力所作的功与参考系 有关
目 录 第3 章 dA= F12 dr12 上式表明： 一对作用和反作用力所作的功只与 F12 和相对位移 dr12 有关，而这两者都是 不随参考系而变化的，由此得出结论： 任何一对作用力所作的功与参考系选 择无关，而一般单个力所作的功与参考系 有关