东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第06章 多自由度体系的微振动

第六章多自由度体系的微振动 s61振动的分类和线性振动的概念 (1)按能量分类 自由振动、阻尼振动、强迫振动 (2)按自由度或(非线性分类 线性振动 非线性振动 单自由度 有限多自由度 ⅣV 无限多自由度 Ⅲ

第六章 多自由度体系的微振动 §6.1 振动的分类和线性振动的概念 (1) 按能量分类 自由振动、阻尼振动、强迫振动 (2) 按自由度或(非)线性分类 线性振动 非线性振动 单自由度 Ⅰ Ⅳ 有限多自由度 Ⅱ Ⅴ 无限多自由度 Ⅲ Ⅵ

(3)按平衡位置分类 稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡 稳定平衡:如果在某一位置,保守体系的势能有 严格的极小值,则此位置是体系的稳定平衡位置 (勒襄·狄里赫里定理) 不稳定平衡:如果势能在平衡位置取极大值, 是不稳定平衡。 随遇平衡:如果势能是常数,则是随遇平衡

(3)按平衡位置分类 稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡 稳定平衡：如果在某一位置，保守体系的势能有 严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置。 （勒襄·狄里赫里定理） 不稳定平衡：如果势能在平衡位置取极大值，则 是不稳定平衡。 随遇平衡：如果势能是常数，则是随遇平衡

§62两个自由度保守体 系的谐振子系统 假设y1,y2很小,水平受力分析n ∫my=-(mg/Dy-k(y-y2) k my2=-(mg /Dy2+k(y,-y2) 引入K=mg/1 y1 2 my=-Ky-k(yi-y2) → mg mg my2=-Ky2tky-y2 K+k k 1 y1 y2 0 K k K K+k V,+ M 2 y1=0 m m

mg mg l l y1 y2 k θ1 θ2 K k K m m      − = + + − = + +     = − + − = − − −  =    = − + − = − − − y 0 m k y m K k y y 0 m k y m K k y my Ky k(y y ) my Ky k(y y ) K mg / l my (mg / l)y k(y y ) my (mg / l)y k(y y ) y , y 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2       引 入 假 设 很小，水平受力分析： §6.2 两个自由度保守体 系的谐振子系统

K+kk ay1-y2=0设复数解形式:y=A,eam m K+k k y2--y =0 K+kk K+k A102+A1 A,-=0 m20 K+kk A,02+A K+k A,一=0 A,+ 02|A2=0 K+k-0 K+k A → =0→ m K+k K+ 0 m m m

0 m K k m k m k m K k 0 A A m K k m k m k m K k A 0 m K k A m k A 0 m k A m K k 0 m k A m K k A A 0 m k A m K k A A y 0 y A e m k y m K k y y 0 : y A e m k y m K k y 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 i t 2 2 1 2 2 i t 1 1 2 1 1 = −  + − −  − +   =                    −  + − −  − +          =      −  + − +  − =      −  +       − = + −  + − = + −  +       − = = + + − = = + +     设复数解形式

K+k k Au 0 K+k K+k → 0 m K+kk →0 m K+2k 2k

       = + +  =  = =  = +   =  =       −      −  +  = −  + − −  − + m 2k l g m K 2k l g m K m k m K k 0 m k m K k 0 m K k m k m k m K k 2 1 2 2 2 2 2

§63多自由度保守体系的谐振子系统 考虑理想稳定约束的俐力体系 、拉格朗日函数 在平衡位置q1=0(j=1,2,…s)附近势能的泰勒展开 aU 02U U=U.+ ∑ q;+ ∑ qqk+高阶项 了(aq 2(aq, aqk aU 平衡位置: 02U =0,记 =常数 0q) ag, dqk) →U=∑qq12,T=∑t1q/2

§6.3 多自由度保守体系的谐振子系统 U u q q /2 , T t q q / 2 q q U 0 u q U : q q q q U 2 1 q q U U U q 0 (j 1,2, s ) j,k jk j k j,k jk j k o j k 2 jk o j j,k j k o j k 2 j j o j o j      = = =            = =           +            +           = + = =    平衡位置 ， 记 常 数 高阶项 在平衡位置 附近势能的泰勒展开： 一、拉格朗日函数 考虑理想稳定约束的保守力体系

L=T-U=2(kqk-uk*)/2 二、特征频率和振动程 d OLOL ∑(t1q+u1q)=0(j=,2…s) dt(aq;aq 设解的形式为:q1=A;cos(ot+φ)(j=1,2…s) 代入运动方程得线性差程组: ∑(-0t+u1)A=0(j=1,2… 非零解的充要条件是Ak系数行列式为零,即 02t1+u1=0(j=1,2…s)∈本征方程 本征值:o,O2,g…,(正的实数;

: ( ) t u 0 j 1 2 s A ( t u )A 0 j 1 2 s q A cos( t ) j 1 2 s (t q u q ) 0 j 1 2 s q L q L dt d L T U (t q q u q q )/ 2 1 2 3 s jk jk 2 k k jk jk k 2 j j k jk k jk k j j j,k jk j k jk j k 本征值 ， ， ， 正的实数； （ ， ） 本征方程 非零解的充要条件是 系数行列式为零，即 （ ， ） 代入运动方程得线性方程组： 设解的形式为： （ ， ） （ ， ） 二、特征频率和振动方程     −  + = =  − + = = =  +  = = + = =   −           = − = −            

线性方程组:∑(02t1k+u1)Ak=0(j=1,2…s) 本征方程:0t+u=0(j=12…s) 特解:q= A! cos(ot+q) 将o1代入线性方程组,把A看作已知,可得 AW,A A,…A 2A0(1=1,2…s) 这些都是常数,共有s(s-1)个 通解:q1=∑Acos(aot+q)(j=1,2…s A共有s2个,但有s(s-1)个比值,因此A独立的只有 s2-s(s-1)=s个,再加上s个相角q,q2,…φ,共有2s 个待定常数,它们可由始条件决定

个待定常数，它们可由初始条件决定。 个，再加上 个相角 ， ， ，共有 共 有 个，但有 个比值，因 此 独立的只有 通 解 （ ， ） 这 些 都是常数，共有 个 。 ， ， （ ） 将 代入线性方程组，把 看作已知，可得 特解： 本征方程 （ ， ） 线性方程组： （ ， ） s s(s-1) s s 2s A s s(s-1) A : q A cos( t ) j 1 2 s s(s-1) A A A A A A l 1,2 s ω A q A cos( t ) : t u 0 j 1 2 s ( t u )A 0 j 1 2 s 1 2 s 2 (l) j (l) 2 j s l 1 l l (l) j j (l) j (l) 1 (l) s (l) s (l) 1 (l) 3 (l) 3 (l) 1 (l) 2 (l) 2 (l) l 1 l l (l) j (l) j jk jk 2 k jk jk k 2 − =    =  +  =  =  =  =  = =  +  −  + = = − + = =   =       

例:求振动方程见图) 解:选取广义坐标θ1,θ2 T=ml(61+02)/2 0 重=mgl(1-cos61) +mgl(1-cos 02) 2 ≈mgl(01+02)/2 mg mg U弹=k(x2-x1)2/2≈k12(2-01)2/2 k(61-26162+62)/2 U=(mgl+kl)1/2-kl6162/2 k021/2+(mgl+kl2)02/2

mg mg l l y1 y2 k θ1 θ2 kl / 2 (mgl kl ) / 2 U (mgl kl ) / 2 kl / 2 kl ( 2 )/ 2 U k(x x ) / 2 kl ( ) / 2 mgl( )/ 2 mgl(1 cos ) U mgl(1 cos ) T ml ( )/ 2 : : ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 −   + +  = +  −   =  −   +  = −   −    +  + −  = −  =  +    弹 重 解 选取广义坐标 ， 。 例 求振动方程见 图  

T=m12(02+02)/2 U=(mgl+k2)1/2-k612/2 kI2O1/2+(mgl+k2)02/2 mgl +kl-o'ml kIt 0 - KIZ mgl+kI-@ ml →(mgl+k2)-02ml2=±k2 01=g/I g ①2=g/l+2k/m Q2=g/1+2K/m

     = +  =      = +  =   + −  =  = − + −  + −  − −   + +  = +  −   =  +  g / l 2k / m g / l g / l 2k / m g / l (mgl kl ) ml kl 0 kl mgl kl ml mgl kl ml kl kl / 2 (mgl kl ) / 2 U (mgl kl ) / 2 kl / 2 T ml ( )/ 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2  