第6章机械的平衡 、填空题: 1、不平衡质量所产生的惯性力的矢量和等于零、不平衡质量所产生的惯性力和 惯性力矩的矢量都等于零: 定是;3、许用偏心距l]:4、回转轴线上、轴 心正下方:5、1、2;6、惯性力、动压力;7、静平衡、动平衡、完全平衡、部 分平衡 、选择题 l、C;2、A;3、C:4、C;5、C 三、计算题 解 1)将各重径积分解到平衡基面I和Ⅱ 平衡基面I中各重径积的分量为 Qir=er L=100×10×60 =66667N·cm 60-30 02r2'=O2r2 =150×8 600N·cn L-L 0-40 Or=o3 r3 =200×10× =66667N·cm L 平衡基面Ⅱ中各重径积的分量为 Q"=Q-QHr1=1000-6667=3333Ncm Q"r2=Q2n2-Qn=1200-60=400Ncm gy3=Q33-r=2000-6667=13333y.cm 2)平衡基面I中的平衡重量Q 在平衡基面I中加了平衡重量Q’达到平衡,应使 ∑r:=r1+gr2+gr+gr=0 因上式中的重径积不是同向,就是反向,故得 gr’=1+Qy3-Q2n2=66667+66667-600=73334N·cm 已知r=10m,则Q=34=734=73N Qr'位于Qv相同的方向上
1 第 6 章 机械的平衡 一、填空题： 1、不平衡质量所产生的惯性力的矢量和等于零、不平衡质量所产生的惯性力和 惯性力矩的矢量都等于零；2、一定是；3、许用偏心距 [] e ；4、回转轴线上、轴 心正下方；5、1、2；6、惯性力、动压力；7、静平衡、动平衡、完全平衡、部 分平衡 二、选择题 1、C；2、A；3、C；4、C；5、C 三、计算题 1、解 1）将各重径积分解到平衡基面Ⅰ和Ⅱ 平衡基面Ⅰ中各重径积的分量为 N cm L L L Q r Q r = − = − = 666.67 60 60 20 100 10 1 1 1 1 1 N cm L L L Q r Q r = − = − = 600 60 60 30 150 8 2 2 2 2 2 N cm L L L Q r Q r = − = − = 666.67 60 60 40 200 10 3 3 3 3 3 平衡基面Ⅱ中各重径积的分量为 Q1 r1 = Q1 r1 −Q1 r1 =1000 − 666.67 = 333.33N cm Q2 r2 = Q2 r2 −Q2 r2 =1200 −600 = 400N cm Q3 r3 = Q3 r3 −Q3 r3 = 2000 − 666.67 =1333.33N cm 2）平衡基面Ⅰ中的平衡重量 Q 在平衡基面Ⅰ中加了平衡重量 Q 达到平衡，应使 Qi ri = Q1 r1 +Q2 r2 +Q3 r3 +Qr = 0 因上式中的重径积不是同向，就是反向，故得 Q r = Q1 r1 + Q3 r3 − Q2 r2 = 666.67 + 666.67 − 600 = 733.34N cm 已知 r =10cm， 则 733.34 733.34 73.334 10 Q N r === Q r 位于 2 2 Q r 相同的方向上
3)平衡基面Ⅱ中的平衡重量O 在平衡基面Ⅱ中加了平衡重量Q”达到平衡,应使 ∑'=r+Q2r2+g"+r"=0 因上式中的重径积不是同向就是反向,故得 Q"r"=""+Q""-Q""=333+133333-600=106666N·cm 已知r"=10m,则O"=10666”=106666/10=106666N Q"”位于Q272相同的方向上。 2、解:根据动平衡的平衡条件,有 在平衡基面I上 -ml1×(b-a)=m×b 故有:[m (b-a)xm方向向上, 在平衡基面Il上 -ml1x(b-a)=m×a 故有 方向向下 3、解:将各个质量的质径积分解到两个平衡平面中: 在平衡平面I-I中有: l20 mh o (a) I-I 2
2 3）平衡基面Ⅱ中的平衡重量 Q 在平衡基面Ⅱ中加了平衡重量 Q 达到平衡，应使 Qi ri = Q1 r1 +Q2 r2 +Q3 r3 +Qr = 0 因上式中的重径积不是同向就是反向，故得 Q r = Q1 r1 + Q3 r3 − Q2 r2 = 333.33+1333.33− 600 =1066.66N cm 已知 r =10cm， 则 Q r N = = = 1066.66/ 1066.66/10 106.666 Q r 位于 2 2 Q r 相同的方向上。 2、解：根据动平衡的平衡条件，有 在平衡基面 I 上： −[mr]I (b − a) = mr b 故有： mr b a b mr − = − ( ) [ ] I 方向向上， 在平衡基面 II 上： −[mr]II (b − a) = mr a 故有： mr (b a) a mr − [ ] II = − 方向向下。 3、解：将各个质量的质径积分解到两个平衡平面中： 在平衡平面Ⅰ--Ⅰ中有：
六(_m(300-100)60gm 300 2(=m2F2120=240gm 300 各个质径积分量如图(b)所示 在平衡平面Ⅱ-Ⅱ中有: m10=男100 m=m(30+120)=840gm 各个质径积分量如图(c)所示。 确定在各个平衡平面中应加平衡质量的质径积 在平衡平面I-I中 m,0x=-m1r1cos(-909)+m2zcos(1800+45)]=169718mm m(,=-{m1rsn9)+m22sn(180+459)=29718mn m,b=mB b r +m, Ib (D2=28560gmm 6, = arctan( )=5354° 如图(b)所示 在平衡平面Ⅱ-I中 m,"x=-[m, ri(cos(-900)+m, ; cos 450]=-593.96gmm mr6y=-[m;rsn(-90°)+m2n2sm45°]=-563,96gm 2+m,")y2=81905gmm 0,=arctan mbb 2)=43.570 如图(c)所示。 解:转速为o=2n=2×300=3142rad 偏心质量1产生的离心惯性力为 F1=mRO2=2×0025×31422=49.36N 偏心质量2产生的离心惯性力为 F2=m2R2O2=1.5×0035×31422=5183N
3 gmm m r m r gmm m r m r 240 300 120 60 300 (300 100) (I) 2 2 2 2 (I) 1 1 1 1 = = = − = 各个质径积分量如图（b）所示。 在平衡平面Ⅱ--Ⅱ中有： gmm m r m r gmm m r m r 840 300 (300 120) 30 300 100 (II) 2 2 2 2 (II) 1 1 1 1 = + = = = 各个质径积分量如图（c）所示。 确定在各个平衡平面中应加平衡质量的质径积： 在平衡平面Ⅰ--Ⅰ中 0 (I) (I) 1 (I) (I) 2 (I) 2 (I) 0 0 2 2 (I) 0 1 1 (I) (I) 0 0 2 2 (I) 0 1 1 (I) arctan( ) 53.54 285.60 [ sin( 90 ) sin(180 45 )] 229.71 [ cos( 90 ) cos(180 45 )] 169.71 = = = + = = − − + + = = − − + + = x b b y b b y b b x b b b b y b b x b b m r m r m r m r m r gmm m r m r m r gmm m r m r m r gmm 如图（b）所示。 在平衡平面Ⅱ--Ⅱ中 0 (II) (II) 2 (II) (II) 2 (II) 2 (II) 0 2 2 (II) 0 1 1 (II) (II) 0 2 2 (II) 0 1 1 (II) arctan( ) 43.57 819.05 [ sin( 90 ) sin 45 ] 563.96 [ cos( 90 ) cos 45 ] 593.96 = = = + = = − − + = − = − − + = − x b b y b b y b b x b b b b y b b x b b m r m r m r m r m r gmm m r m r m r gmm m r m r m r gmm 如图（c）所示。 4、解：转速为 s rad n 300 31.42 60 2 60 2 = = = 偏心质量１产生的离心惯性力为 F m R 2 0.025 31.42 49.36N 2 2 1 = 1 1 = = 偏心质量２产生的离心惯性力为 F m R 1.5 0.035 31.42 51.83N 2 2 2 = 2 2 = =
偏心质量3产生的离心惯性力为 F3=m2R3o2=3×0.04×31422=118.47N F2=F1cos90°+F2cos195°+F3cos285°=-1940N F,=F1sn900+F2sn195°sn2856=-7849N 所以总的离心惯性力为F=√F+F=V=1940+(-7849=8085N 对轴承A取矩,有1000Nn=200F 所以轴承B处的轴承反力为N=200F=1617N 1000 而轴承A处的轴承反力为N4=F-NB=6468N 设平衡质量为m,方位用与x轴正向之间的夹角为a表示 在x方向上:m1Rcos90°+m2R2cosl95°+m2R3cos285°+m2 R cosa=0 在y方向上:m1Rsn90°+m2R2sin195°+m3Rsn285°+m2Rsna=0 所以由以上两式可得 tan a m1R1sn90°+m2R2sn195°+m3R3sn285 =4.0452 m1R1cos90°+m2R2cos195°+m2R3cos285 最后得平衡质量mb的方位a= arctan40452=76.11° 平衡质量mb的大小m=1.64kg 5、解: WaI=m,A=0.1(kg m) W1=W2/=W=m21=0.1(kgm) Wn=形(1+l)/=2W=02(kgm) 由下图解得 WB=0.1414(kgm) m===707kg,方位在左下角45° Wn=0.2(kg·m)
4 偏心质量３产生的离心惯性力为 F m R 3 0.04 31.42 118.47N 2 2 3 = 3 3 = = Fx = F1 cos90+ F2 cos195+ F3 cos285 = −19.40N Fy = F1 sin 90 + F2 sin 195 + F3 sin 285 = −78.49N 所以总的离心惯性力为 F Fx Fy ( 19.40) ( 78.49) 80.85N 2 2 2 2 = + = − + − = 对轴承 A 取矩，有 1000NB = 200F 所以轴承 B 处的轴承反力为 NB F 16.17N 1000 200 = = 而轴承Ａ处的轴承反力为 NA = F − NB = 64.68N 设平衡质量为 mb ，方位用与 x 轴正向之间的夹角为 表示 在 x 方向上： m1R1 cos90+ m2R2 cos195+ m3R3 cos285+ mbRb cos = 0 在 y 方向上： m1R1 sin 90+ m2R2 sin 195+ m3R3 sin 285+ mbRb sin = 0 所以由以上两式可得 4.0452 cos90 cos195 cos285 sin 90 sin 195 sin 285 tan 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 = + + + + = m R m R m R m R m R m R 最后得平衡质量 mb 的方位 = arctan 4.0452 = 76.11 平衡质量 mb 的大小 mb =1.64kg 5、解： W m r 0.1 kg m ( ) = = Ⅰ W W l l W m r / 0.1 kg m ( ) = = = = Ⅰ W W l l l W ( )/ 2 0.2 kg m ( ) = + = = Ⅱ 由下图解得： ( ) 1 W = 0.1414 kg m 1 7.07kg WB m r = = Ⅰ ，方位在左下角 0 45 ( ) 2 W = 0.2 kg m
m1=一=10kg,方位在水平线右侧 B I Wan 6、由下图解得: n=20 0 2)为了求解支撑A和B中的动压力,可以找出各偏心质量在支撑A和B两平 面中的代替质量,这些代替质量产生的离心惯性力的向量和就是作用在支撑中的 动压力 (l2+1)10×32 517(kg) L m1×2110×24 429(kg) (L+4)4×68 M L 在支撑平面A 5.71×300×c0s60°+4.29×100cos225°=553.15 5.71×300×sin60°+4.29×100sin225°=1180.15 F=√553152+1180152×(20n)2=514544(kN) 6. = arctan =6489 553.15 在支撑平面B 0.86×300×cos60°+486×100×cos225°=-47265 0.86×300×sin60°+4.86×100×sin225°=-567.09 F=291443(kN)
5 2 10kg Wb m r = = Ⅱ ，方位在水平线右侧 a) b) a) b) 6、由下图解得： 1） 20 30 n = = 2）为了求解支撑 A 和 B 中的动压力，可以找出各偏心质量在支撑 A 和 B 两平 面中的代替质量，这些代替质量产生的离心惯性力的向量和就是作用在支撑中的 动压力 ( ) ( ) 1 2 3 1 10 32 5.17 kg 56 m l l M L + = = = ( ) 1 1 1 2 10 24 4.29 kg 56 m l M L = = = ( ) 2 4 2 4 12 0.86 kg 56 m l M L = = − = − ( ) ( ) 2 2 4 4 68 4.86 kg 56 m M L L l = = = + 在支撑平面 A 5.71 300 cos 60 4.29 100cos 225 553.15 + = 5.71 300 sin 60 4.29 100sin 225 1180.15 + = ( ) ( ) 2 2 2 F = + = 553.15 1180.15 20 5145.44 kN 1180.15 arctan 64.89 553.15 = = 在支撑平面 B − + = − 0.86 300 cos 60 4.86 100 cos 225 472.65 − + = − 0.86 300 sin 60 4.86 100 sin 225 567.09 F = 2914.43 kN( )
6=50.19 校正平面I m=375×300=1125(kgmm) m22=7×100=700(kgmm 图解得: mibr=480(kg.mm) m=m=150=32(kg) 校正平面I 61=6=81 m1=625×300=1875(kgmm) m2=3×100=300kgm) 图解得: mibr=480(kg mm) 2136 ==1424(kg) n=O"=58.5 h1:2 h171 7" m/ bbi n22 校正平面I 校正平面Ⅱ 7、解 B=m23=0042(N)(方向向上) P=mQ3h=00602(N)(方向向下)
6 50.19 = 校正平面Ⅰ m r1 1 = = 3.75 300 1125 kg mm ( ) m r2 2 = = 7 100 700 kg mm ( ) 图解得： m rb b = 480 kg mm ( ) ( ) 480 3.2 kg 150 m mb = = = Ⅰ 校正平面Ⅱ 81 b b = = Ⅰ m r1 1 = = 6.25 300 1875 kg mm ( ) m r2 2 = = 3 100 300 kg mm ( ) 图解得： m rb b = 480 kg mm ( ) ( ) 2136 14.24 kg 150 m mb = = = Ⅱ 58.5 b b = = Ⅱ 校正平面Ⅰ 校正平面Ⅱ 7、解： 1） ( ) 2 2 P m r = = 0.04 N （方向向上） ( ) 2 2 P m r = = 0.06 N （方向向下）
∑M=P·l1D-B(1b+1n)+R2(1+h1n+lhc)=0 Ro PB(D+hu)-P ID 0.016a (1+41m+lnc) 0.016 2)因为m1与m位于同一轴截面上,P+P=P,P=0.022,方向向上;又因 为 所以 0.5kg PA(n+hc)-Phuc +P(huc -hum)=0 lm=400(m) 截面Ⅲ在Ⅱ面与C之间,距Ⅱ面400mm 8、解:不平衡质径积: mclc =mDD =mErE 分别分解到平衡平面A和 (mt)=200m9120=4m5(mt)2=50mr/250=m/5 (mb)4=125m/250=m12{(mb)2=125m/250=m/2 (m)=50m/250=m15(m)2=20m1250=4m/5 动平衡条件 (m)4+(mE)4+(mnb)+(mE)1=0 (m,bB+(mcc)B+(mD DB+(mEEB=0 A面上进行静平衡计算 (m25)+(mE)+(mD)n+(m 0 m5)+(m)n+(m)+(mn)n=0 (m1)4Cosb+-mr-= mycos60-÷ mycOS60°=0 (m,')a sin e- mrsin 60+=mrsin 60=0
7 ( ) ( ) 0 = − + + + + = M P l P l l R l l l D A D B D C D Ⅰ Ⅰ ⅠⅡ Ⅰ ⅠⅡ ⅡC ( ) ( ) 2 0.016 B D A D C D P l l P l R l l l + − = = + + Ⅰ ⅠⅡ Ⅰ Ⅰ ⅠⅡ ⅡC max max 100(rad / s) 0.016 RC = = 2）因为 mA 与 mB 位于同一轴截面上， P P P b A B + = ， 2 0.02 Pb = ，方向向上；又因 为 2 P m r b b b = ，所以 2 2 0.02 0.5kg 0.04 mb = 。 0 = MC ， ( ) ( ) 0 P l l Pl P l l A b ⅠⅡ ⅡC B ⅡC ⅡC ⅡⅢ + − + − = l mm ⅡⅢ = 400( ) 截面Ⅲ在Ⅱ面与 C 之间，距Ⅱ面 400mm 。 8、解：不平衡质径积： m r m r m r mr C C = = = D D E E 分别分解到平衡平面 A 和 B ( ) ( ) ( ) 200 / 250 4 / 5 125 / 250 / 2 50 / 250 / 5 C C A D D A E E A m r mr mr m r mr mr m r mr mr = = = = = = ( ) ( ) ( ) 50 / 250 / 5 125 / 250 / 2 200 / 250 4 / 5 C C B D D B E E B m r mr mr m r mr mr m r mr mr = = = = = = 动平衡条件 ( b b ) ( C C ) ( D D E E ) ( ) 0 A A A A m r m r m r m r + + + = ( b b ) ( C C ) ( D D E E ) ( ) 0 B B B B m r m r m r m r + + + = A 面上进行静平衡计算 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b 0 0 Ax C C Ax D D E E Ax Ax Ay C C Ay D D E E Ay Ay m r m r m r m r m r m r m r m r + + + = + + + = 0 0 b 0 0 b 4 1 1 ( ) cos cos60 cos60 0 5 2 5 1 1 ( ) sin sin 60 sin 60 0 2 5 b A b A m r mr mr mr m r mr mr + − − = − + =
9 I (m,b),cos0 (m b)4 Sing 3 3 (m)4 √3 (m) imrs 根据对称关系可知:(m)2=(mn)=4
8 b b 9 ( ) cos 20 3 3 ( ) sin 20 b A b A m r mr m r mr = − = 2 2 b 9 3 3 27 1 ( ) ( ) ( ) 20 20 100 2 m r mr mr mr mr b A = − + = ( ) b b 1 1 2 2 4 b A b mr m r m m r r = = = 根据对称关系可知：( b b ) ( ) 1 4 B A m m m = =