解直角三角形应用举例
解直角三角形应用举例
例1如图1,某海防哨所O发现在它的北偏西30°,距离500m的A处 有一艘船该船向正东方向航行,经过3分到达哨所东北方向的B处 求这船的航速是每时多少k项取17)? 北 解:设AB与正北方向线交于点C,则OC⊥AB. 在Rt△AOC中OA=500m,∠AOC=30° A oB ∴AC= OAsin∠AOC=500sin30°=500×2=250(m) 3 OC= ACos∠AOC=500c0s30°=500×2=2503(m 5 东 在Rt△COB中,∠BOC=45° ∴BC=OC=2503(m) ∴AB=AC+BC=250+2503=2501+√3) 图1 ≈250(1+1.7=675 675÷3×60=13500(m) 答这船的航速是每时135km
例1 如图1,某海防哨所O发现在它的北偏西30° ,距离500m的A处 有一艘船.该船向正东方向航行,经过3分到达哨所东北方向的B处. 求这船的航速是每时多少km( 3 取1.7)? 图1 解: 设AB与正北方向线交于点C,则OC⊥AB. 在Rt△AOC中,OA= , 500m ∠AOC= , 30° ∴AC=OAsin∠AOC=500sin30°=500× 2 =250(m). 1 OC=OAcos∠AOC=500cos30°=500× =250 (m). 2 3 3 在Rt△COB中, ∠BOC= 45°, ∴BC=OC=250 (m). 3 ∴AB=AC+BC= 250+250 =250(1+ ) 3 3 675÷3×60＝13500 (m) 答:这船的航速是每时13.5km. ≈250(1+1.7)=675
练一练如图2,建筑物B在建筑物A的正北方向在O地测得A在O 地的东南方向60m处,B在O地的北偏东30°方向求O,B的距离和 A,B的距离 答O,B的距离为602m, pB AB的距离为(306+302)m 602 306 30 302C O45° 东 302 60 oA 图2
练一练 如图2,建筑物B在建筑物A的正北方向.在O地测得Ａ在O 地的东南方向60m处,Ｂ在O地的北偏东30º方向.求O,B的距离和 A,B的距离. 图2 30 2 C 30 2 60 2 (30 6＋30 2) 答:O,B的距离为 m, A,B的距离为 m. 60 2 30 6 60
引例如图3,在高为100米的山顶A测得地面C处的俯角为45°,地面 D处的俯角为30°(BC,D三点在一条直线上,那么 E 1)∠ACB=∠CAE=45°, 30° ∠ADB=∠DAE=30° (2)在Rt△ABC中,BC=100米, 452309 在Rt△ABD中,BD=1003米; B D(CD=BD-BC=(1003-100)米 图3 NEXT
引例 如图3,在高为100米的山顶A测得地面C处的俯角为45° ,地面 D处的俯角为30°(B,C,D三点在一条直线上),那么 图3 ⑴∠ACB＝ ＝45° , ∠ ＝∠ ＝30° ; ⑵在Rt△ABC中,BC＝ 米, 在Rt△ABD中,BD＝ 米; ⑶ CD＝ －BC＝ 米. 100 3 BD 100 (100 3 －100 ) NEXT ADB DAE 30º ∠CAE 45º
仰角、俯角的定义: 视线 仰角和俯角: 指视线和水平线所成的角 铅∠仰角 垂线一 俯角 水平线 (1)仰角视线在水平线上方时 视线 (2)俯角:视线在水平线下方时 BACK
仰角、俯角的定义: 仰角和俯角: 指视线和水平线所成的角. ⑴仰角:视线在水平线上方时 ⑵俯角:视线在水平线下方时 BACK
例2如图河对岸有水塔AB在c处测得塔顶A的仰角为3向塔前进12m到 达D在D处测得A的仰角为45,求塔高 解:在Rt△ADB中, BD= ARcot∠ADB= ABot45° 在Rt△ACB中 BC= ABot∠ACB= ABot30° BC-BD=CD, CD=12m, 即 ABot30°- ABot45°=12, 12 B AB= 12 cot3o-cot45 v31=63+6 图4 ○ 答塔高为6√3+6)m 评注:因CD不是可解直角三角形的一边 想一想: 还可以怎 这时通常可考虑用线段的和或差 这一间接方法 么解?
例2 如图4,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30º,向塔前进12m到 达D,在D处测得A的仰角为45º,求塔高. 解: 在Rt△ADB中, BD= ABcot∠ADB=ABcot45°. 在Rt△ACB中, BC= ABcot∠ACB=ABcot30°. ∵ BC －BD=CD,CD = 12m, 即 ABcot30º － ABcot45º = 12, 6 3 6 3 1 1 2 cot30 cot45 1 2 A B = + − = − ∴ = 答:塔高为( )m. 6 3＋6 想一想 : 还可以怎 么解? C D B A 30° 45° 12m 图4 评注: 因CD不是可解直角三角形的一边, 这时通常可考虑用线段的和或差 这一间接方法
例2如图4河对岸有水塔AB在C处测得塔顶A的仰角为30塔前进12m到 达D在D处测得A的仰角为45,求塔高 另解:若设AB=x,则易得 BD=x BC=x+12 "n…………∵4 在Rt△ACB中,由∠ACB=309,得 AB =tan30°,即 BC x+123 解得x=6、3+6h 图4 小结本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时,一般要先画 出测量示意图,然后借助示意图利用直角三角形中角、边之间的 数量关系求出所要求的距离或角度
例2 如图4,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30º,向塔前进12m到 达D,在D处测得A的仰角为45º,求塔高. C D B A 30° 45° 12m (6 3＋6)m. 另解: 若设AB＝x , 则易得 BD= x. BC= x＋12. ∴在Rt△ACB中,由∠ACB=30º ,得 ＝tan30 , B C A B . 3 3 ＝ x＋12 x 即 解得x＝ 小结:本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时,一般要先画 出测量示意图, 然后借助示意图,利用直角三角形中角、边之间的 数量关系求出所要求的距离或角度. 图4
例3如图6,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有 所中学,AP=160米,假设拖拉机行驶时周围100米内会受到噪声的 影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪 声影响?说明理由;如果受影响,已知拖拉机速度为18千米时,那么学 校受到影响的时间为多少秒? 解:作AB⊥MN于B 在Rt△ABP中, ∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160 Q AB=2. AP=80 ∵点A到直线MN的距离小于100米 A ∴这所中学会受到噪声的影响 (中学) ∴学校受噪声影响的时间t=0.12千米 18千米/小时 小时=24秒 150 图6
例3 如图6,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30º,点A处有 一所中学,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米内会受到噪声的 影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪 声影响?说明理由;如果受影响,已知拖拉机速度为18千米/时,那么学 校受到影响的时间为多少秒? B A Q N M P 30º 图6 C D 解: 作AB⊥MN于B, 在Rt△ABP中, ∵ ∠ABP=90º, ∠APB=30º,AP=160 ∴ AB= ·AP=80 ∵点A到直线MN的距离小于100米 ∴这所中学会受到噪声的影响. . 2 1 ∴学校受噪声影响的时间t＝ ＝ 18千米/小时 0.12千米 小时＝24秒 150 1 图6 （中学）
课堂点睛】 1解直角三角形就是在直角三角形中,知道除直角外的其他 五个元素中的两个(其中至少有一个是边,求出其它元素的 过程 2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度 或物体的长度;航行航海问题等解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题结合示意图,运用解直角三角 形的知识 3.当遇到3045°,60°等特殊角时常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题 4.应用解直角三角形知识解应用题时可按以下思维过程进行 (1)寻找直角三角形若找不到,可构造; (2)找到的直角三角形是否可解若不可直接求解,利用题中 的数量关系,设x求解
1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他 五个元素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的 过程. 2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度 或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角 形的知识. 3.当遇到30º,45º,60º等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题. 4.应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行: ⑴寻找直角三角形,若找不到,可构造; ⑵找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,利用题中 的数量关系,设x求解. 【课堂点睛】 :