2章时域离散信号和系统的频域分析 第2章时域离散信号和系统的频域分析 2,1引宣 22序列的傅里叶变换的定义及性质 23周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 24时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 25序列的Z变换 2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性 ac
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2章时域离散信号和系统的频域分析 21引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种,即时域 分析方法和频率分析方法。在模拟领域中,信号一般 用连续变量时间t的函数表示,系统则用微分方程描述 为了在频率域进行分析,用拉普拉斯变换和傅里叶变 换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和 系统中,信号用序列表示,其自变量仅取整数,非整 数时无定义,而系统则用差分方程描述
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种， 即时域 分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中， 信号一般 用连续变量时间t的函数表示， 系统则用微分方程描述。 为了在频率域进行分析， 用拉普拉斯变换和傅里叶变 换将时间域函数转换到频率域。 而在时域离散信号和 系统中， 信号用序列表示， 其自变量仅取整数， 非整 数时无定义， 而系统则用差分方程描述
2章时域离散信号和系统的频域分析 频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中 傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换,它和模拟域中 的傅里叶变换是不一样的,但都是线性变换,很多性 质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换,以及利用Z 变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书 也是数字信号处理这一领域的基础。 ac
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中 傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换， 它和模拟域中 的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性 质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换， 以及利用Z 变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书 也是数字信号处理这一领域的基础
2章时域离散信号和系统的频域分析 2,2序列的傅里叶变换的定义及性质 221序列傅里叶变换的定义 定义 (e")=∑x(n)e (2.2.1) n=-00 为序列x(n)的傅里叶变换,可以用FT( Fourier Transform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是 序列x(n)满足绝对可和的条件,即满足下式: ∑ x(n)<∞ (22.2)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义 ( ) ( ) j j n n X e x n e − =− = (2.2.1) 为序列x(n)的傅里叶变换， 可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是 序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式： ( ) n x n =− (2.2.2)
2章时域离散信号和系统的频域分析 为求FT的反变换,用el0m.(22.1)式两边,并在 兀~π内对o进行积分,得到 X(e/o eomc ∑x(m)em"jema 丌 n=-00 ∑xm)」2 n三-00 式中 ejo(m-ndo=2I( (22.3) 因此x(m) X(e ) om 22.4)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 为求FT的反变换， 用e jωn乘(2.2.1)式两边， 并在 -π~π内对ω进行积分， 得到 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 j j m j n j n n j m n n j m n j j m X e e d x n e e d x n e d e d n m x n X e e d − − − =− − − =− − − − = = = − = (2.2.3) (2.2.4) 式中 因此
2章时域离散信号和系统的频域分析 上式即是FT的逆变换。(22.1)和(224)式组成一对 傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件, 如果引入冲激函数,一些绝对不可和的序列,例如周 期序列,其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来, 这部分内容在下面介绍
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 上式即是FT的逆变换。 (2.2.1)和(2.2.4)式组成一对 傅里叶变换公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要条件， 如果引入冲激函数， 一些绝对不可和的序列， 例如周 期序列， 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来， 这部分内容在下面介绍
2章时域离散信号和系统的频域分析 例22.1设x(n)=RN(n),求x(n)的FT 解: X(e)=∑R、(n)em=∑em n=0 ceos.eow/ JON JON/2 N/2 e e JoN/2 J e/(N-1)o/2 sin(aN /2) sino /2 设N=4,幅度与相位随o变化曲线如图22.1所示
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT 1 0 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 ( 1) / 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) sin( / 2) sin / 2 N j j n j n N n n j N j N j N j N j j N j j j N X e R n e e e e e e e e e e N e − − − =− = − − − − − − = = − − = = − − = 解： (2.2.5) 设N=4， 幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示
第章时域离散信号和系统的频域分析 123 X(e 12 J gX (c~ 图22.1R4(n)的幅度与相位曲线
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图 2.2.1 R4 (n)的幅度与相位曲线
2章时域离散信号和系统的频域分析 222序列傅里叶变换的性质 1.FT的周期性 在定义(2,2.1)式中,n取整数,因此下式成立 X(e)=∑x(mn)e(0+2M),M为整数(26) 因此序列的傅里叶变换是频率o的周期函数,周期 是2π。这样X(e)可以展成傅里叶级数,其实(22.1)式 已经是傅里叶级数的形式,x(n)是其系数
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立 ( 2 ) ( ) ( ) , j j M n n X e x n e − + =− = M为整数(2.2.6) 因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期 是2π。 这样X(ejω)可以展成傅里叶级数， 其实(2.2.1)式 已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数
2章时域离散信号和系统的频域分析 cos ( n coso n 0=2I M O=(2M+1)兀 101234 a (b) 图222 coson的波形
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图 2.2.2 cosωn的波形 … … － 1 0 1 2 3 4 1 － 1 … … 0 1 2 3 4 5 6 n n ( a ) ( b ) 1 = 2π = (2M +1)π cos M cos n n