第3章离散傅里叶变换(DFT) 31离散傅里叶变换的定义 32离散傅里叶变换的基本性质 33频率域采样 34DFT的应用举例
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 第3章 离散傅里叶变换(DFT)
31离散傅里叶变换的定义 3.1.1DFT的定义 设x(m)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为 X(k)=DF[x(m)=∑xn),k=0,1,&,N1(311) X(k)的离散傅里叶逆变换为 X(k)=DFT[x(m)=1∑Y(mn),k=0,1,&,N1(312)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为 1 0 ( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, &, N-1 (3.1.1) N kn N n X k DFT x n x n W − = = = X(k)的离散傅里叶逆变换为 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, &, N-1 (3.1.2) N kn N n X k DFT x n X n W N − − = = =
式中,eN,N称为DFT变换区间长度N>M, 通常称(3.1.1)式和(31.2)式为离散傅里叶变换对。下面 证明IDFT[X(k)]的唯一性。 把(31.1)式代入(3,1,2)式有 IDFTIX(K) ∑x(m)W -kn N ∑ k(m-n) x(m ∑WA(m=(o k(m-n)= m=n+MN,MM为整数 mn+MN,MM为整数 k=0
式中， ， N称为DFT变换区间长度N≥M， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面 证明IDFT［X(k)］的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 2 j N e 1 1 0 0 1 1 ( ) 0 0 1 [ ( )] [ ( ) ] 1 ( ) N N mk kn N N k m N N k m n N m k IDFT X k x m W W N x m W N − − − = = − − − = = = = 1 1 , ( ) 0 , 0 1 { N k m n m n MN M N m n MN M k W N − − = + + = = M为整数 M为整数
所以,在变换区间上满足下式: IDFT LX(k)J=x(n) 0<n<N-1 由此可见,(3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例3.1.1x(n)=R4(n),求xn)的8点和16点DFT 设变换区间N=8,则 X(k)=∑x(m)W如=∑ 3. sInt k=0 sin( k) 8
例 3.1.1 x(n)=R4 (n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则 所以， 在变换区间上满足下式： IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1 由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 2 , 0,1, ,7 sin( ) 8 j kn kn n N j k X k x n W e k e k k − = = − = = = =
设变换区间N=16,则 2 X()=∑x(m)W=∑ Sint 04元 k) ,k=0,1,…,15 sin(k) 16
设变换区间N=16， 则 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 4 , 0,1, ,15 sin( ) 16 j kn kn n N j k X k x n W e k e k k − = = − = = = =
3.1.2DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DFT分别为: X()=Z[x(m)=∑x(n)=n X(k)=DF[x(m)=∑x(n)W0≤ksN 比较上面二式可得关系式 X(k)=X(=) 0<k<N-1 (31.3) =e X(k)=X(=) 2丌 0≤k≤N-1(3.1.4) k
3.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为： 1 0 1 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) 0 k N-1 N n n N kn N n X z ZT x n x n z X k DFT x n x n W − − = − = = = = = 比较上面二式可得关系式 2 2 ( ) ( ) , 0 k N-1 (3.1.3) ( ) ( ) , 0 k N-1 (3.1.4) j k N z e j k N X k X z X k X z = = = =
e X(K N=8 23 567 X(k N=16 k 0246810121415 图3.11X(k)与X(e)的关系
图 3.1.1 X(k)与X(e jω)的关系
3.13DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长 序列,但由于W的周期性,使(3.1.1)式和(3.1.2)式 中的ⅹ(k)隐含周期性,且周期均为N。对任意整数m, 总有 W=W+mN)k,m,N均为整数 所以(31.1)式中,X(k)满足 X(+mN)=∑ (k+mN)n =∑x(n)W=X(k) 同理可证明(31.2)式中 x(n+mN)=x(n)
3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长 序列， 但由于Wkn N的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式 中的X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有 ( ) , , , k k mN W W k m N N N + = 均为整数 所以(3.1.1)式中， X(k)满足 1 ( ) 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) N k mN n N n N kn N n X k mN x n W x n W X k − + = − = + = = = 同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n)
实际上,任何周期为N的周期序列x都可以看 作长度为N的有限长序列x(m)的周期延拓序列,而x(n) 则是 x 的一个周期,即 x(n)=∑x(n+m)(31.5) m=-0 x(n=x(n). R(n (3.1.6) 为了以后叙述方便,将(3.1.5)式用如下形式表示: x(m)=x(n)(3.1.7)
实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n) 则是 的一个周期， 即 ~ x ~ x ~ ~ ( ) ( ) (3.1.5) ( ) ( ) ( ) (3.1.6) m N x n x n mN x n x n R n =− = + = 为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示： ~ ( ) ( ) (3.1.7) N x n x n =
xin) 01234567 xIn 图3.1.2有限长序列及其周期延拓
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓