福建工程学院：《电路》课程教学课件（讲稿）第11章 线性动态电路的复频域分析

第11章线性动态电路的复频域分析第11章线性动态电路的复频域分析11.13拉普拉斯变换与反变换11.2运算电路11.3用拉普拉斯变换法分析线性电路11(2)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(2) 第11章 线性动态电路的复频域分析 11.1 拉普拉斯变换与反变换 11.2 运算电路 11.3 用拉普拉斯变换法分析线性电路

第11章线性动态电路的复频域分析本章首先介绍拉普拉斯变换及与电路分析有关的一些基本性质，介绍复频域中运算形式的电路定律、运算阻抗、运算导纳及运算电路，最后介绍用拉普拉斯变换法分析线性动态电路。通过学习，重点掌握运算法在分析线性动态电路中的应用。11.1拉普拉斯变换与反变换拉普拉斯变换是一种数学积分变换，其核心是通过数学变换，将时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程将时间域的微积分运算变换为复频域的代数运算，由此使得线性动态电路的分析变得简单。11(3)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(3) 11.1 拉普拉斯变换与反变换 本章首先介绍拉普拉斯变换及与电路分析有关的一些基 本性质，介绍复频域中运算形式的电路定律、运算阻抗、运 算导纳及运算电路，最后介绍用拉普拉斯变换法分析线性动 态电路。通过学习，重点掌握运算法在分析线性动态电路中 的应用。 拉普拉斯变换是一种数学积分变换，其核心是通过数学 变换，将时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程， 将时间域的微积分运算变换为复频域的代数运算，由此使得 线性动态电路的分析变得简单

第11章线性动态电路的复频域分析11.1.1 拉普拉斯变换的定义1.拉氏正变换的定义对于定义在[0，+)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为F(s) = L[f(t)] = (t f(t)e-s dt式中s=α+jo为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称为拉氏变换。2.拉氏反变换的定义由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称为拉氏反变换，它的定义为F(s)est dtf(t) = L-'[F(s)] =式中。为正的有限常数。11(4)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(4) 式中s= +jω为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函 数。拉普拉斯变换简称为拉氏变换。 2. 拉氏反变换的定义 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称为拉氏反 变换，它的定义为 11.1.1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉氏正变换的定义 对于定义在[0，+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式 F(s)定义为 F s L f t f t dt st    ( )  [ ( )]  ( )e 0 f t L F s F s dt st ( )e 2 j 1 ( ) [ ( )] j j 1            式中 为正的有限常数

第11章线性动态电路的复频域分析【例11.1.1】求以下函数的象函数：（1）单位阶跃函数f(t)-(α(t);（2）冲激函数f(t)=8(t) ；（3）指数函数f(t)=e-α为实数）；（4）斜坡函数f(t)=t1解 (1) F(s)= L[e(t)]= (。ε(t)e-s dt =e-stdt37sS0.（2）根据冲激函数的筛分性质，有F(s) = L[8(t)] = [~ s(0)e-s dt = [*s(t)e-st dt = [*s(0)e°dt = [ s(0)dt = 1(3)1(α+s)t-(α+s)tdt:F(s)= L[e-α]= ["e-ale-st dt =s+αs+α011(5)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(5) （2）根据冲激函数的筛分性质，有 【例11.1.1】 求以下函数的象函数：（1）单位阶跃函数f(t)= (t)；（2）冲激函数f(t)=(t) ；（3）指数函数f(t)=e-t （ 为实数）；（4）斜坡函数f(t)=t （3） 解 （1） s s F s L t t dt dt st st st 1 e 1 ( ) [ε( )] ε( ) e e 0 0 0                  ( ) [δ          ] δ δ δ 1 0 0 0 0 0 0 0 0                     F s L t t e dt t e dt t e dt t dt st st                               s s F s L dt dt t t st s t s t 1 e 1 ( ) [e ] e e e 0 ( ) 0 ( ) 0

第11章线性动态电路的复频域分析（4）由分部积分公式「udv=uv－「vdu，有SF(s) = L[t] = J。te-" dt = te"1edtS-0S1011.1.2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质若LVfi(t))=Fi(s)，LVf2(t)]=F2(s)，a和b为两个任意常数，则L[afi(t)±b f2(t)] =aF(s)±bF2(s)表明原函数线性组合的象函数等于各原函数的象函数的线性组合。11(6)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(6) 11.1.2 拉普拉斯变换的基本性质 1. 线性性质 若L[f1 (t)] = F1 (s)，L[f2 (t)] =F2 (s)，a和b为两个任意常数，则 L[af1 (t)±b f2 (t)] =aF1 (s)±bF2 (s) 表明原函数线性组合的象函数等于各原函数的象函数的线 性组合。 （4）由分部积分公式 ，有   udv  uv  vdu 2 0 0 0 e e 1 ( ) [ ] e s dt s s t F s L t t dt st st st                  

第11章线性动态电路的复频域分析【例11.1.2】求（1）正弦函数f(t)=sin(at)；（2）零状态响应(t)= K(1-e-α) 的象函数。-ejotejot解（1）由欧拉公式知sin(t) :2j则有101110F(s) = L[sin(ot)] = )2js? +02s+jo2j(s-jo(2)KKKαF(s) = L[K(1 -e-α)]= L[K]- L[Ke-α s(s+α)ss+α11(7)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(7) 则有 【例11.1.2】 求（1）正弦函数f(t)=sin(t)；（2）零状态响应 f(t)= K(1-e -t) 的象函数。 （2） 2 j e e sin( ) j t j t t     2 2 j j j 1 j 1 2j 1 2j ( ) [sin( )]                              s s s e e F s L t L t t ( ) ( ) [ (1 )] [ ] [ ]                 s s K s K s K F s L K e L K L Ke t t 解 （1）由欧拉公式知

第11章线性动态电路的复频域分析2.时域微分性质若L[f(t)] = F(s)，则df (t)Lf'(t)]sF[s]- f(O_)dt式中，f(0-)为原函数f(t)在t-0-时的值。同理可推证得L[f"(t)]= s?F[s]- sf (0_)- f(0_)(n)(t)= s"F[s]- s"- f(0_)- s"-2 f'(0_)-... - f(n-1)(0_)dt(n)11(8)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(8) 同理可推证得 2. 时域微分性质 若L[f(t)] = F (s)，则 式中，f(0-)为原函数f(t)在t=0-时的值。 [ ] (0 ) ( ) [ ( )]            sF s f dt df t L f t L  ( ) [ ] (0 ) (0 ) 2   L f  t  s F s  sf  f  [ ] (0 ) (0 ) (0 ) ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( )                   n n n n n n s F s s f s f f dt df t L 

第11章线性动态电路的复频域分析【例11.1.3】求（1）余弦函数f(t)=cos(ot)；（2）冲激函数的导数8’，(t)的象函数。0解 (I)由于cos(のt)=1 d sin( o1), L[sin( ot)] =则有52dt+001 d sin( ot)sL[cos( αt)]= L0222dt2s+0十00s0(2)由于 L[8()]=1 ，8(0_)=0 ，则有L[8'(t)] = sL[8(t)l - (0_) = s × 1 - 0 = s11(9)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(9) 【例11.1.3】 求（1）余弦函数f(t)= cos (t)；（2）冲激函数 的导数’’(t)的象函数。 解 (1)由于 ， 则有 dt d t t 1 sin( ) cos( )     2 2 [sin( )]      s L t   2 2 2 2 0 1 sin( ) 1 cos( )                          s s s s dt d t L t L L[δ (t )]  sL [δ (t )]  δ( 0  )  s  1  0  s （2）由于 ， ，则有 L[δt]  1 δ0   0 

第11章线性动态电路的复频域分析3.时域积分性质F(s)"f(s)ds若L[(t)]= F (s)，则1S【例11.1.4】已知电容器端口的电压、电流为uc(t)和ic(t)，二者为关联参考方向，而L[ic(t)l=Ic(s)，求uc(t)的象函数。解由uc()=ic(0)dt=,ic()dt+ ic()dt=uc(0-)+, ic(0)d则有Ue()=c(0)+ ica e(0)]+4 ica] -"()+c(s)SsC4.时域延时性质若L[f(t)]= F (s)，则L[f(t - to)e(t - to)l= e-sto F(s)11(10)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(10) 4. 时域延时性质 若L[f(t)] = F (s)，则 3. 时域积分性质 若L[f(t)] = F (s)，则 【例11.1.4】 已知电容器端口的电压、电流为uC (t)和iC (t)，二 者为关联参考方向，而L[iC (t)]=IC (s)，求uC (t)的象函数。 解 由 则有 s F s L f t ( ) ( )d 0           ( )ε( ) ( ) 0 L f t t0 t t0 e F s  st                   t t t i t dt C i t dt u C i t dt C i t dt C u t 0 C C 0 C 0 C C C ( ) 1 ( ) (0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )   ( ) 1 (0 ) 1 (0 ) 1 ( )] (0 ) C C 0 C C 0 C C C I s s sC u L i dt C i dt L u C U s L u t t                     

第11章线性动态电路的复频域分析11.1.3拉普拉斯反变换的部分分式展开由象函数求原函数的方法：①利用拉氏反变换的定义式求解，较复杂；②利用拉普拉斯变换表直接查得原函数；③对于不在拉普拉斯变换表中的象函数，则将象函数F(s)分解，然后利用查变换表求得原函数，称此为部分分式展开法。若F(s)= F(s)+F2(s)+...+ F,(s)则f(t)= f@)+ f()+..+ f,(t11(11)

第11章 线性动态电路的复频域分析 11(11) 11.1.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 由象函数求原函数的方法：①利用拉氏反变换的定义式求 解，较复杂；②利用拉普拉斯变换表直接查得原函数；③对于 不在拉普拉斯变换表中的象函数，则将象函数F(s)分解，然后 利用查变换表求得原函数，称此为部分分式展开法。 若 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 F s F s F s F s    n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f t f t f t f t    n