福建工程学院：《电路》课程教学课件（讲稿）第9章 非正弦周期电路的稳态分析

第9章非正弦周期电路的稳态分析第9章非正弦周期电路的稳态分析9.1非正弦周期函数的傅立叶级数分解9.2非正弦周期函数的有效值和平均功率9.3非正弦周期信号激励下的稳态电路分析9(2)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(2) 第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9.1 非正弦周期函数的傅立叶级数分解 9.3 非正弦周期信号激励下的稳态电路分析 9.2 非正弦周期函数的有效值和平均功率

第章非正弦周期电路的稳态分析前面讨论了正弦交流信号作用于线性电路稳态响应的分析计算方法，但在实际工程中，会遇到电路进入稳态后的电流和电压响应为非正弦周期函数，称这种电路为非正弦周期电路。本章主要介绍非正弦周期量与正弦周期量之间存在的特定关系，以及非正弦周期电流电路的分析与计算一谐波分析法。9.1非正弦周期函数的傅立叶级数分解9.1.1非正弦周期信号在电力电子技术、通信、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是非正弦波形。非正弦量可分为周期和非周期两类，本章主要讨论线性申路在非正弦周期信号激励下产生的响应。9(3)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(3) 前面讨论了正弦交流信号作用于线性电路稳态响应的分析 计算方法，但在实际工程中，会遇到电路进入稳态后的电流和 电压响应为非正弦周期函数，称这种电路为非正弦周期电路。 本章主要介绍非正弦周期量与正弦周期量之间存在的特定 关系，以及非正弦周期电流电路的分析与计算—谐波分析法。 9.1 非正弦周期函数的傅立叶级数分解 9.1.1 非正弦周期信号 在电力电子技术、通信、自动控制、计算机和无线电技术 等方面，电压和电流往往都是非正弦波形。 非正弦量可分为周期和非周期两类，本章主要讨论线性电 路在非正弦周期信号激励下产生的响应

第9章非正弦周期电路的稳态分析产生非正弦周期信号的原因很多，通常有以下几种情况：（1）发电机产生的电压波形并不是标准的正弦电压。（2）电路中采用了非正弦交流电源。（3）不同频率的几个正弦交流电源共同作用于同一电路中。（4）电路中存在非线性元件。如二极管整流电路。uuUmUmUm0O01T7TT22T22a)方波b)锯齿波c)三角波VD?4URAURR0TT210O9(4)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(4) 产生非正弦周期信号的原因很多，通常有以下几种情况: （1）发电机产生的电压波形并不是标准的正弦电压。 （2）电路中采用了非正弦交流电源。 （3）不同频率的几个正弦交流电源共同作用于同一电路中。 （4）电路中存在非线性元件。如二极管整流电路

第9章非正弦周期电路的稳态分析9.1.2非正弦周期函数的傅里叶级数分解1.合成与分解的概念设基波、三次谐波的表达式为u, = Uim cos(の,t)ug = U3m cos(3,t)则 u= u + u; = Um cos( の,t)+ U3m cos(3の,t)u' = u, + u, = Uim cos( o,t) + U 3m cos(3o,t - 180 °)有叠加的波形u'uu=ui+u3fuu19(5)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(5) 9.1.2 非正弦周期函数的傅里叶级数分解 1. 合成与分解的概念 设基波、三次谐波的表达式为 cos( ) cos( 3 ) 1 1m 1 3 3m 1 u  U  t u  U  t 则 有叠加的波形 cos( ) cos( 3 ) 1 3 1m 1 3m 1 u  u  u  U  t  U  t cos( ) cos( 3 180 ) 1 3 1m 1 3m 1 u  u  u  U  t  U  t  

第9章非正弦周期电路的稳态分析由图可以看出，两个不同频率的正弦波叠加后为非正弦周期波，其周期（或频率）与基波的相同。反之，一个周期性的非正弦波，可以分解为不同频率的正弦波之和。2.非正弦周期函数的傅里叶级数分解非正弦周期电流、电压或信号等都可以用一个周期函数来表示，即f (t) =f (t+kT)式中T为周期函数的周期，k=0、1、2、3、电工技术中用到的非正弦周期函数一般都能满足狄单赫利条件，f（t）可以展开为收敛的傅单叶级数形式。9(6)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(6) 由图可以看出，两个不同频率的正弦波叠加后为非正弦周 期波，其周期（或频率）与基波的相同。反之，一个周期性 的非正弦波，可以分解为不同频率的正弦波之和。 2. 非正弦周期函数的傅里叶级数分解 非正弦周期电流、电压或信号等都可以用一个周期函数来 表示，即 f（t）=f（t+kT） 式中T为周期函数的周期，k = 0、1、2、3、.。 电工技术中用到的非正弦周期函数一般都能满足狄里赫利 条件， f（t）可以展开为收敛的傅里叶级数形式

第9章非正弦周期电路的稳态分析f(t) = ao + Z[ak cos( koit)+ b sin( koit))k=l另一种形式为f(t) = Ao + Z Akm cos( ko,t+yk)k=12元为周期函数的角频率；k=1、2、3、…….01T即: f(t) = A + Am cos(o,t+d)+ A2m cos(2w,t+Φ)+二次谐波基波（和原高次谐波直流分量（2倍频）函数同频）系数之间的a. = A.ak=Akmbk=-Akm sinykcosy关系为：_bkeivk =ak-jbAkm=a+becosyk=arctanak9(7)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(7) 为周期函数的角频率；k =1、2、3、.。 T   2 1  另一种形式为       1 0 m 1 ( ) cos( ) k k k f t A A k t  ( ) [ cos( ) sin( )] 1 0  1 1      k k k f t a a k t b k t f (t)  A0  A1m cos(1 t  1 )  A2m cos(21 t   2 )  直流分量 基波（和原 函数同频） 二次谐波 （2倍频） 高次谐波 即：           k k k a b cos arctan 0 A0 a  k Ak k 系数之间的 b   m sin 关系为： k Ak k a  m cos 2 2 Akm  ak  bk k k k A e a b k j j m   

第9章非正弦周期电路的稳态分析系数的计算：a =" f(t)d(t)=(" f(t)cos(ko,t)d(o,t)2元ax=" f(t)cos(kot)d(t)=*" f(t)cos(kot)d(ot)b,= ()sin(k,t)d(t)=" ()sin(ko,t)d(at)元Akmeiox = ax - jb, =J, f(t)e-ikou'dt9(8)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(8)     2π 0 1 1 0 k 1 ( )sin( )d( ) π 1 ( )sin( )d( ) 2 f t k t t f t k t t T b T    系数的计算：      T k t k k k f t e t T A e a b k 0 j j m ( ) d 2 j  1     2π 0 1 1 0 k 1 ( )cos( )d( ) π 1 ( )cos( )d( ) 2 f t k t t f t k t t T a T        2π 0 1 1 0 0 ( )cos( )d( ) 2π 1 ( )d( ) 1 f t t f t k t t T a T  

第9章非正弦周期电路的稳态分析【例9.1.1】求图示周期函数的傅里叶级数展开式u/v解：u=5×103t(V)，周期T=10-3s，基波角频率：0,=2元/T=2000元rad/s，各傅里叶系数为：021/10-3s10~5 ×103 tdt5 ×103 tdt = 2.5二110a= ()cos(kop)d=5×103tcos(ko,t)dt = 0福1025?10~3b =" () sin(k,t)dt=5 ×10' t sin(k0,t)dt =10-3k元故u(t)傅里叶级数展开式为：u(t) :sin,tsin20,t-sin3@,tn-9(9)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(9) 【例9.1.1】 求图示周期函数的傅里叶级数展开式 解：u=5×103 t(V)，周期T=10-3 s，基波 角频率：1=2/T=2000 rad/s， 各傅里叶系数为： 5 10 d 2.5 10 1 5 10 d 1 3 10 0 3 3 0 3 0          t t t t T A T 故u(t)傅里叶级数展开式为： π 5 5 10 sin( )d 10 2 ( )sin( )d 2 3 10 0 1 3 3 0 1 k f t k t t t k t t T b T k            5 10 cos( )d 0 10 2 ( )cos( )d 2 3 10 0 1 3 3 0  1        f t k t t t k t t T a T k   sin V 1 sin 3 3 1 sin 2 2 1 sin π 5 ( ) 2.5 1 1 1 1                   k t k u t  t  t  t  

第9章非正弦周期电路的稳态分析表9.1.1常见的非正弦周期函数的傅里叶级数展开式名称波形有效值平均值傅里叶级数f(OA正A..A2A.f(t) = Am sin otn弦V2元波4AsinIsinoa元1f()-sin3asin3ot)梯形4a9Am(11A3元元sin5asin5ot+..25波1+s in a in at.(k为奇数)9(10)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(10) 表9.1.1 常见的非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 名称 波形 傅里叶级数 有效值 平均值 正 弦 波 梯 形 波 f (t) A sint  m sin sin ) 1 sin5 sin5 25 1 sin 3 sin 3 ) 9 1 (sin sin 4 ( ) 2 m         ka k t k a t a t a t a A f t      (k为奇数) 2 A m  2Am 3 4 m 1 a A  (1 ) m  a A 

第9章非正弦周期电路的稳态分析名称波形傅里叶级数平均值有效值8Amot-silf(t) =2?JOA11三V4sin3ot+sin 5at259角Am2k-1V3波(-1) 2sin kot+.k2(k为奇数)+)4Aot+f (t)元fO矩11AAsin-sin5ot+30t-Am形m35波O1Tsinkot+..k(k为奇数)9(11)

第9章 非正弦周期电路的稳态分析 9(11) 名称 波形 傅里叶级数 有效值 平均值 三 角 波 矩 形 波 ) sin ( 1) sin 5 25 1 sin 3 9 1 (sin 8 ( ) 2 2 1 2 m               k t k t t t A f t k      (k为奇数) sin ) 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) m             k t k t t t A f t      (k为奇数) 3 Am 2 Am Am Am