华北水利水电学院：《土力学》课程教学资源（教材讲义）第二章 土体应力计算

第2章土体应力计算 21自重应力 211地基中的自重应力 自重应力是由于地基土体本身的有效重量而产生的。研究地基的自重应力是为了确定地 基土体的应力状态。计算地基中的自重应力时,一般将地基作为半无限弹性体来考虑,地基 中的自重应力状态属于侧限应力状态,其内部任一水平面和垂直面上,均只有正应力而无剪 应力 1)垂直向自重应力 设地基中某单元距地面的距离为Z,如图2-1所示,土的容重为y,则该单元上的垂 向自重应力等于其单位面积上土柱的有效 重量,即 单位以kPa计。 从式(5一1)很容易得出,垂向自重应力随深度的增加而加大。在均质地基中,垂直自重应 力沿某一铅垂线上的分布是一条向下倾斜的直线如图2-2所示 若计算点在地下水位以下,由于水对土体有浮力作用,水下部分土柱的有效重量应采用 土的浮容 重γ“计算。如图2-2(a)中位于地下水位以下的某点,在水位以下深度为h,其竖向自 重应力为: 1+yh2 (2-2) 式中,浮容重为y=ysa-y 3) 分析式(2-2)可知,自重应力的分布仍为直线,在地下水位处 发生转折,分布图见2-2(b) 若地基是由几种不同容重的土层组成时,如图2-2(b),则任意深度Z处的自重应力 为: o=n,h,+y2h2+ y h

第 2 章 土体应力计算 2.1 自重应力 2.1.1 地基中的自重应力 自重应力是由于地基土体本身的有效重量而产生的。研究地基的自重应力是为了确定地 基土体的应力状态。计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑，地基 中的自重应力状态属于侧限应力状态，其内部任一水平面和垂直面上，均只有正应力而无剪 应力。 1）垂直向自重应力 ．．．．．．． 设地基中某单元距地面的距离为 Z，如图 2－1 所示，土的容重为 ，则该单元上的垂 向自重应力等于其单位面积上土柱的有效 重量，即： (2－1) 单位以 kPa 计。 从式（5－1）很容易得出，垂向自重应力随深度的增加而加大。在均质地基中，垂直自重应 力沿某一铅垂线上的分布是一条向下倾斜的直线,如图 2－2 所示。 若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，水下部分土柱的有效重量应采用 土的浮容 重γˊ计算。如图 2－2（a）中位于地下水位以下的某点，在水位以下深度为 ,其竖向自 重应力为： （2－2） 式中，浮容重为 (2－ 3 ) 分析式（2－2）可知，自重应力的分布仍为直线，在地下水位处 发生转折，分布图见 2－2（b） 若地基是由几种不同容重的土层组成时，如图 2－2（b），则任意深度 Z 处的自重应力 为： = = + + = n i sz h h i hi 1 1 1 2 2      '   sz z  sz =  i h 2 '  sz = h1 +  h   =  − sat

式中,n为地基中土的层数 y1为第i层土的容重,单位:kN/m3; h,为第i层土的厚度,单位:m。 成层土地基自重应力沿铅直线的分布图见图2-2(b,它是一条折线 其转折点位于各不同容重土层的分界面上 2)水平向自重应力 在地面以下深度Z处,由土的自重而产生的水平向应力,大小等于该点土的自重应力 与土的侧压力系数之乘积,即 R = K 土的静止侧压力系数g是指土体在无侧向变形条件下,水平向有效应力与垂直向有效 应力之比值。土质不同,静止侧压力系数也不同,具体数值可由试验测定。表2-1为某些 土的侧压力系数的参考值。由式(2-1)可知,土的自重应力随深度直线增加,有时也可以 说成是三角形分布。 22基底接触应力 作用在地基表面的各种分布荷载,都是通过建筑物的基础传到地基中的。基础底面传递 给地基表面的压力称为基底接触压力,有时也简称基底压力。基底接触压力的大小和分布状 况,对地基内部的附加应力有着非常重要的影响,同时,基底接触压力的大小和分布状况又 与荷载的大小和分布、基础的埋深、基础的刚度以及土的性质等因素有关 实测资料表明,对于刚度很小的基础和柔性基础,由于它能够适应地基土的变形,所以 基底接触压力的分布与作用在基础上的荷载分布完全一致,荷载均布时,基底接触压力(常 用基底反力形式表示,下同)也将是均布的,如图2-5(a)所示。当荷载为梯形分布时, 基底接触压力也为梯形分布,如图2-5(b)所示。实际工程中并没有完全柔性基础,常把 土坝等视为柔性基础,因此,在计算土坝底部的接触压力分布时,可认为与土坝的外形轮廓 相同,其大小等于各点以上的土柱重量,如图2-5(b),与梯形荷载时的基底压力分布相 同

(2－4) 式中，n 为地基中土的层数； 为第 i 层土的容重，单位：kN∕ ； 为第 i 层土的厚度，单位：m.。 成层土地基自重应力沿铅直线的分布图见图 2－2(b),它是一条折线， 其转折点位于各不同容重土层的分界面上。 2）水平向自重应力 、 在地面以下深度 Z 处，由土的自重而产生的水平向应力，大小等于该点土的自重应力 与土的侧压力系数 之乘积，即 (2－5) 土的静止侧压力系数 是指土体在无侧向变形条件下，水平向有效应力与垂直向有效 应力之比值。土质不同，静止侧压力系数也不同，具体数值可由试验测定。表 2－1 为某些 土的侧压力系数的参考值。由式（2—1）可知，土的自重应力随深度直线增加，有时也可以 说成是三角形分布。 2.2 基底接触应力 作用在地基表面的各种分布荷载，都是通过建筑物的基础传到地基中的。基础底面传递 给地基表面的压力称为基底接触压力， ．．．．．．．有时也简称基底压力 ．．．．。基底接触压力的大小和分布状 况，对地基内部的附加应力有着非常重要的影响，同时，基底接触压力的大小和分布状况又 与荷载的大小和分布、基础的埋深、基础的刚度以及土的性质等因素有关。 实测资料表明，对于刚度很小的基础和柔性基础，由于它能够适应地基土的变形，所以， 基底接触压力的分布与作用在基础上的荷载分布完全一致，荷载均布时，基底接触压力（常 用基底反力形式表示，下同）也将是均布的，如图 2－5（a）所示。当荷载为梯形分布时， 基底接触压力也为梯形分布，如图 2－5（b）所示。实际工程中并没有完全柔性基础，常把 土坝等视为柔性基础，因此，在计算土坝底部的接触压力分布时，可认为与土坝的外形轮廓 相同，其大小等于各点以上的土柱重量，如图 2－5（b），与梯形荷载时的基底压力分布相 同。 3  i m i h K0  sx =  sy = K0 sz K0

对于刚性基础,由于其刚度很大,不能适应地基土的变形,其基 底接触压力分布将随上部荷载的大小、基础的埋深和土的性质而异。 假设基础是刚性基础、地基是弹性地基,在均布荷载作用下,如图2-6(a),均匀分布的 基底接触压力将产生不均匀沉降,根据弹性理论解得的基底接触压力分布如图2-6(b)实 线所示。由于基础不是绝对刚性,应力会重新分布,实测基底压力如图2-6(b)虚线所示。 由此可见,对于刚性基础而言,基底接触压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形 式不相一致 实测资料表明,刚性基础底面上的压力,在外荷载较小时,接近弹性理论解,分布形状 如图2—7(a);荷载增大后,基底压力呈马鞍形,如图2-7(b)。在粘性土地基表面上的刚 性基础,其基底压力分布也是这样。当荷载继续增大时,基底压力分布变为抛物线,如图 7(c)所示,当刚性基础放在砂土地基表面时,基底压力分布即为抛物线 综上所述,基底接触压力的分布形式十分复杂,但由于基底接触压力都是作用在地表面 附近,根据弹性理论相关原理可知,其具体分布形式对地基中应力计算的影响将随深度的增 加而减少,至一定深度后,地基中应力分布几乎与基底压力的分布形状无关,而只决定于荷 载合力的大小和位置。因此,目前在地基计算中,常采用材料力学的简化方法,即假定基底 接触压力按直线分布。由此引起的误差在工程计算中是允许的,也是工程中经常采用的计算 方法。下面介绍几种不同荷载作用下的基底接触压力分布情况 221坚直中心荷载作下的基底接触压力 1)矩形基础 设矩形基础的长度为L,宽度为B,其上作用着竖直中心荷载P,如图2-8(a)。 假定基底接触压力均匀分布,则其值p为 PP P=A"L×B (2-6) 式中p一基底接触压力(kPa); P一基底上的竖直总荷载(kN):

对于刚性基础，由于其刚度很大，不能适应地基土的变形，其基 底接触压力分布将随上部荷载的大小、基础的埋深和土的性质而异。 假设基础是刚性基础、地基是弹性地基，在均布荷载作用下，如图 2－6（a），均匀分布的 基底接触压力将产生不均匀沉降，根据弹性理论解得的基底接触压力分布如图 2－6（b）实 线所示。由于基础不是绝对刚性，应力会重新分布，实测基底压力如图 2—6（b）虚线所示。 由此可见，对于刚性基础而言，基底接触压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形 式不相一致。 实测资料表明，刚性基础底面上的压力，在外荷载较小时，接近弹性理论解，分布形状 如图 2—7（a）；荷载增大后，基底压力呈马鞍形，如图 2—7(b)。在粘性土地基表面上的刚 性基础，其基底压力分布也是这样。当荷载继续增大时，基底压力分布变为抛物线，如图 2 —7（c）所示，当刚性基础放在砂土地基表面时，基底压力分布即为抛物线。 综上所述，基底接触压力的分布形式十分复杂，但由于基底接触压力都是作用在地表面 附近，根据弹性理论相关原理可知，其具体分布形式对地基中应力计算的影响将随深度的增 加而减少，至一定深度后，地基中应力分布几乎与基底压力的分布形状无关，而只决定于荷 载合力的大小和位置。因此，目前在地基计算中，常采用材料力学的简化方法，即假定基底 接触压力按直线分布。由此引起的误差在工程计算中是允许的，也是工程中经常采用的计算 方法。下面介绍几种不同荷载作用下的基底接触压力分布情况。 2.2.1 坚直中心荷载作下的基底接触压力 1) 矩形基础 设矩形基础的长度为 L，宽度为 B，其上作用着竖直中心荷载 P，如图 2－8（a）。 假定基底接触压力均匀分布，则其值 p 为 （2－6） 式中 p－基底接触压力（kPa）； P－基底上的竖直总荷载（kN）； L B P A P p  = =

A-基础面积(m)。 2)条形基础 条形基础理论上是指当LB为无穷大时的矩形基础。实际工程中,当LB大于或等于 10时,即可按条形基础考虑。计算时在长度方向截取1m进行计算,即L=1m,如图2-8 (b),此时的基底接触压力为 P P 式中P为条形基础上的线荷载(kNm) 其余符号意义同矩形基础。 222坚直偏心荷载作用下的基底接触压力 当矩形基础受偏心荷载作用时,基底接触压力可按材料力学偏心受压公式计算。若基础 上作用着竖直偏心荷载P(如图2-%a),则任意点(坐标为xy)的基底接触压力为 P(x,y) P+2xy+-1 式中P(x,y)为任意点的基底接触压力 Mx、M,为竖直偏心荷载P对基础底面x轴和y轴的力矩(单位:kN·m),且 l,l,分别为基础底面对x轴和y轴的惯性矩(m4) ex、e,分别为竖直荷载对y轴和x轴的偏心矩(m)。 根据弹性理论可知,惯性矩分别为: LB BL M=0,e.=e, 如果偏心荷载作用于主轴上,例如作用于ⅹ主轴上(如图 9b),则 时,基底两端的压力为:

A－基础面积(㎡)。 2) 条形基础 条形基础理论上是指当 L/B 为无穷大时的矩形基础。实际工程中，当 L/B 大于或等于 10 时，即可按条形基础考虑。计算时在长度方向截取 1m 进行计算，即 L＝1m，如图 2－8 （b），此时的基底接触压力为 （2－7） 式中 为条形基础上的线荷载（kN/m）; 其余符号意义同矩形基础。 2.2.2 坚直偏心荷载作用下的基底接触压力 当矩形基础受偏心荷载作用时，基底接触压力可按材料力学偏心受压公式计算。若基础 上作用着竖直偏心荷载 P（如图 2－9a），则任意点（坐标为 x,y）的基底接触压力为 （2－8） 式中 为任意点的基底接触压力； 为竖直偏心荷载 P 对基础底面 x 轴和 y 轴的力矩（单位：kN·m），且 分别为基础底面对 x 轴和 y 轴的惯性矩（ ）； 分别为竖直荷载对 y 轴和 x 轴的偏心矩（m）。 根据弹性理论可知，惯性矩分别为： 如果偏心荷载作用于主轴上，例如作用于 x 主轴上（如图 2 － 9b ）， 则 这时，基底两端的压力为： (2－9) B P p = P x I M y I M A P P x y y y x x ( , ) = + + p(x, y) M x、M y M x = P  ey，M y = P  ex； x y I 、I 4 m x y e 、e Mx = 0，ex = e， ) 6 (1 max min B e A P p =  12 3 BL I x = 12 3 LB I y =

从式(2一9)可知,当εB6时,基底接触压力出现负值,即基底出现拉力。一般情况下,为安 全考虑,设计基础时,应使合力矩e小于B6 若条形基础受偏心荷载作用,同样可在长度方向取一米计算,则基底宽度方向两端的压 力为 6 (2-10) 式中P为沿长度方向取1m,作用于基础上的总荷载。 223倾斜荷载作用下的基底接触压力 工程实际中,承受水压力或土压力的建筑物,基础常常受到斜荷载的作用(如图2-10 所示)。斜荷载除了引起竖直向基底压力Pν外,还会引起水平向应力Ph。计算时,可将斜 向荷载R分解为竖直向荷载P和水平向荷载H,由H引起的基底水平应力Ph一般假定为均 匀分布于整个基础底面,故对于矩形基础 H (2-11) P 对于条形基础 P H Ph B (2-12) 式中符号意义同前 23附加应力 对一般天然土层,由自重应力引起的压缩变形已经趋于稳定,不会再引起地基的沉降。 附加应力是由于土层上部的建筑物在地基内新增的应力,因此,它是使地基变形、沉降的主 要原因。 目前求解地基中的附加应力时,一般假定地基土是连续的、均质、各向同性的完全弹性 体,然后根据弹性理论的基本公式进行计算

从式（2－9）可知，当 e<B/6 时，基底接触压力为梯形分布；当 e=B/6 时，基底接触压力为 三角形分布；当 e＞B/6 时，基底接触压力出现负值，即基底出现拉力。一般情况下，为安 全考虑，设计基础时，应使合力矩 e 小于 B/6。 若条形基础受偏心荷载作用，同样可在长度方向取一米计算，则基底宽度方向两端的压 力为： （2－10） 式中 P 为沿长度方向取 1m，作用于基础上的总荷载。 2.2.3 倾斜荷载作用下的基底接触压力 工程实际中，承受水压力或土压力的建筑物，基础常常受到斜荷载的作用（如图 2－10 所示）。斜荷载除了引起竖直向基底压力 Pv 外，还会引起水平向应力 Ph。计算时，可将斜 向荷载 R 分解为竖直向荷载 P 和水平向荷载 H，由 H 引起的基底水平应力 Ph 一般假定为均 匀分布于整个基础底面，故对于矩形基础 （2－11） 对于条形基础 （2－12） 式中符号意义同前。 2.3 附加应力 对一般天然土层，由自重应力引起的压缩变形已经趋于稳定，不会再引起地基的沉降。 附加应力是由于土层上部的建筑物在地基内新增的应力，因此，它是使地基变形、沉降的主 要原因。 目前求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续的、均质、各向同性的完全弹性 体，然后根据弹性理论的基本公式进行计算。 A H ph = B H B P ph = = ) 6 (1 max min B e B P p = 

下面介绍地表上作用不同类型荷载时,在地基内引起的附加应力分布形式 231竖直集中荷载下的附加应力 如图5-11所示,当半无限弹性体表面上作用有竖直集中力P时,在弹性体内任意点 M所引起的应力,可分解为6个应力分量,由弹性 理论求出的表达式为: 3P 3Py2=-1-2y「_1(2R+)y2 R33LR(R+=)(R+)2R3R (2R+=)x 0.=271R+3LRR+2)(R+R i 1-2v(2R+=)xy 丌R 3(R+=)2R (2-13d) 3P 3P 2T R 式2-13即为著名的 J Boussinesq课题。这是求解地基中附加应力的基本公式 在上述6个应力分量中,对地基沉降意义最大的是竖向应力分量。下面主要讨论竖向 应力的计算及其分布规律 利用图2-1中的几何关系R2=r2+x2,式2-13a可以改写成下列形式 P K

下面介绍地表上作用不同类型荷载时，在地基内引起的附加应力分布形式。 2.3.1 竖直集中荷载下的附加应力 如图 5－11 所示，当半无限弹性体表面上作用有竖直集中力 P 时，在弹性体内任意点 M 所引起的应力，可分解为 6 个应力分量，由弹性 理论求出的表达式为： （2－13a） (2－13b) (2－13c) （2－13d） （2－13e） （2－13f） 式 2－13 即为著名的 J.Boussinesq 课题。这是求解地基中附加应力的基本公式。 在上述 6 个应力分量中，对地基沉降意义最大的是竖向应力分量 。下面主要讨论竖向 应力的计算及其分布规律。 利用图 2－11 中的几何关系 ，式 2－13a 可以改写成下列形式： （2－13a'） 2 2 2 R = r + z     2 5 2 3 cos 2 3 2 3 R P R P z z =  =               − + + − + − =  + 2 3 3 2 5 2 ( ) (2 ) ( ) 1 3 1 2 2 3 R z R z R R z y R R R z P y z y                 − + + − + − =  + 2 3 3 2 5 2 ( ) (2 ) ( ) 1 3 1 2 2 3 R z R z R R z x R R R z P x z x          + +  − = − 5 2 3 ( ) (2 ) 3 1 2 2 3 R z R R z x y R P xyz xy    5 2 2 3 R P yz zy =    5 2 2 3 R P xz zx =    5 / 2 2 2 2 5 3 1 1 2 3 2 3 z P K z P z r R P z z  =                + =  =   

K 式中,K称为集中力作用下的应力分布系数,无因次,是m的函数,可由图2-12或表2 2中查得 由式2-12a可知,在集中力作用线上,附加应力随着深度z的增加而递减,离集中 力作用线某一距离r时,在地表面的附加应力 σ:为零,随着深度的增加,σ逐渐递増,但到某一深度后,σ-又随深度z的增加而减小 如图2-13a所示;在某一深度z处,在同一水平面.附加应力随着r的增大而减小, 如图2-13b所示 当地基表面作用有几个集中力时,可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力,然后 根据弹性力学的应力叠加原理求出附加应力的总和。 实际工程中,当基础底面形状不规则或荷载分布较复杂时,可将基底分为若干个小面积, 把小面积上的荷载当成集中荷载,然后利用上述公式计算附加应力 232矩形面积竖直均布荷载作用时的附加应力 如图2-14,设地基表面有一矩形面积,宽度为B,长度为L,其上作用着竖直均布荷 载,荷载强度为p,确定地基内各点的附加应力时,先求出矩形面积角点下的应力,再按叠 加原理进行计算,即可求得任意点下的应力。 1)角点下的应力 地基内各角点下的附加应力,是指图5-14a中O、A、C、D四个角点下任意深度的应 力。只要深度相同,则四个角点下的应力即相同。将坐标原点取在角点O上,在荷载面积 内任取微分面积d4=txd,并将其上作用的荷载以dP代替,则dP→p·dA=p·a·d。 利用式(2-12a)可求出该集中力在角点O以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力d: do d x (2-13)

式中，K 称为集中力作用下的应力分布系数，无因次，是 r/z 的函数，可由图 2－12 或表 2 －2 中查得。 由式 2－12a 可知，在集中力作用线上，附加应力 随着深度 z 的增加而递减，离集中 力作用线某一距离 r 时，在地表面的附加应力 为零，随着深度的增加， 逐渐递增，但到某一深度后， 又随深度 z 的增加而减小， 如图 2－13a 所示；在某一深度 z 处，在同一水平面上，附加应力 随着 r 的增大而减小， 如图 2－13b 所示。 当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后 根据弹性力学的应力叠加原理求出附加应力的总和。 实际工程中，当基础底面形状不规则或荷载分布较复杂时，可将基底分为若干个小面积， 把小面积上的荷载当成集中荷载，然后利用上述公式计算附加应力。 2.3.2 矩形面积竖直均布荷载作用时的附加应力 如图 2－14，设地基表面有一矩形面积，宽度为 B，长度为 L，其上作用着竖直均布荷 载，荷载强度为 p，确定地基内各点的附加应力时，先求出矩形面积角点下的应力，再按叠 加原理进行计算，即可求得任意点下的应力。 1) 角点下的应力 地基内各角点下的附加应力，是指图 5－14a 中 O、A、C、D 四个角点下任意深度的应 力。只要深度相同，则四个角点下的应力即相同。将坐标原点取在角点 O 上，在荷载面积 内任取微分面积 dA=dx·dy，并将其上作用的荷载以 dP 代替，则 dP=p·dA=p·dx·dy。 利用式（2－12a）可求出该集中力在角点O以下深度z处 M点所引起的竖直向附加应力d ： （2-13）                + = 5 / 2 2 1 1 2 3 z r K   z  z  z  z  z  z dxdy x y z p z R dP z d z 2 2 2 5 / 2 3 5 3 2 ( ) 3 2 3 + + = =   

将式(2-13)沿整个矩形面积OACD积分,即可得矩形面积上均布荷载p在M点引起的 附加应力 dxdy 00 m·n n 1+m +n2 V1+m+n(m+m21+m KsP 式中,m=L/B:n=B,L为矩形的长边,B为矩形的短边,Ks为矩形面积竖直均布荷 载角点下的应力分布系数,K=fmm),其值可从表2-3中查得 2)任意点的应力一角点法 利用角点下的应力计算公式和应力叠加原理,可推求地基中任意点的附加应力,这一方 法称为角点法。利用角点法求矩形范围以内或以外任意点M下的竖向附加应力时,如图2 15,通过M点做平行于矩形两边的辅助线,使M点成为几个小矩形的共角点,利用应力 叠加原理,即可求得M点的附加应力 若M点在矩形内,如图2-15(a),则M点以下任意深度Z处的附加应力为I、Ⅱ、 ⅢⅣ四个小基底对M点所产生的附加应力之和,即 若M点在矩形以外,如图2-13(b),则M点以下任意深度z处的附加应力为四个基 底(Mbe,M'fce,Mhag,M^fog)对M点所产生的附加应力的代数和,即 Kn-ksn-k)p 233矩形面积竖直三角形荷载时的附加应力 如图2一17,在矩形面积上作用着三角形分布荷载,最大荷载强度为,把荷载强度 为零的角点O作为坐标原点,利用公式(2-13a)和积分的方法求角点O下任意深度的附 加应力。在受荷面积内,任取

将式（2－13）沿整个矩形面积 OACD 积分，即可得矩形面积上均布荷载 p 在 M 点引起的 附加应力 ： = KsP (2 －14') 式中，m=L/B；n=z/B，L 为矩形的长边，B 为矩形的短边，Ks 为矩形面积竖直均布荷 载角点下的应力分布系数，Ks=f(m,n), 其值可从表 2－3 中查得。 2) 任意点的应力―角点法 利用角点下的应力计算公式和应力叠加原理，可推求地基中任意点的附加应力，这一方 法称为角点法。利用角点法求矩形范围以内或以外任意点 M 下的竖向附加应力时，如图 2 －15，通过 M 点做平行于矩形两边的辅助线，使 M 点成为几个小矩形的共角点，利用应力 叠加原理，即可求得 M 点的附加应力。 若 M 点在矩形内，如图 2－15（a），则 M 点以下任意深度 Z 处的附加应力为Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ四个小基底对 M 点所产生的附加应力之和，即 （2－14a） 若 M 点在矩形以外，如图 2－13（b），则 Mˊ点以下任意深度 z 处的附加应力为四个基 底（Mˊhbe,Mˊfce,Mˊhag,Mˊfdg）对 Mˊ点所产生的附加应力的代数和，即 (2－14b) 2.3.3 矩形面积竖直三角形荷载时的附加应力 如图 2－17，在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为 ，把荷载强度 为零的角点 O 作为坐标原点，利用公式（2－13a）和积分的方法求角点 O 下任意深度的附 加应力。在受荷面积内，任取 t p  z  + + = L B z dxdy x y z p z 0 0 2 2 2 5 / 2 3 2 ( ) 3                 + + + + +  + + + = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 m n m n n m n n m n m arctg p   zM = (Ks + KsII + KsIII + KsIV ) p  zM = (KsI + KsII − KsIII − KsIV ) p

微小面积dA=ddy,以集中力 下任意点M处引起的竖直附加应力为 卯= p,'xdrdv1代替作用在其上的分布荷载,则在O点 B (2-15) dxd 将式(2-15)沿矩形备积积务洁,写梅整个矩形面积竖直三角形荷载时在角点O下任意 深度二处所引起的竖直附加应力 K 式中,K 2zVm2+n2(1+n2)(1+m2+n2) Kt为矩形面积竖直三角形荷载角点下的应力分布系数,其值可由 表2-4查得,K=m,m),m=LB,n=B。B是沿三角形荷载变化方向的矩形边长。此外, 表5-4给出的是角点O下不同深度处的应力系数,若求荷载面积内其它角点下的应力,如 图2-17中角点O下的应力时,可用竖直均布荷载与竖直三角形荷载叠加而得。 23.4矩形面积水平均布荷载时的附加应力 如图5-18,当矩形面积上作用有水平均布荷载Ph时,角点下任意深度z处的竖向附 加应力为: (2-18) 式中,2{m2+n2(1+n)+m2+n,称为矩形面积 作用水平均布荷载时角点下的应力系数,可从表2-5中查得 m=LB,n=Z/B,且B规定为平行于水平荷载作用方向的边长,L为垂直于水平荷载作 用方向的边长。 上式中,当计算点在水平均布荷载作用方向的终止端以下时取“+”号;当计算点在 水平均布荷载作用方向的起始端以下时取“一”号 当计算点在荷载面积范围内(或外)任意位置时,同样可以利用“角点法”和叠加原 理进行计算 23.条形面积竖直均布荷载时的附加应力

微小面积 dA=dxdy ,以集中力 代替作用在其上的分布荷载，则 dP 在 O 点 下任意点 M 处引起的竖直附加应力为： （2－15） 将式（2－15）沿矩形面积积分后，可得出整个矩形面积竖直三角形荷载时在角点 O 下任意 深度 z 处所引起的竖直附加应力： （2－16） 式中， (5－17) Kt 为矩形面积竖直三角形荷载角点下的应力分布系数，其值可由 表 2－4 查得，Kt=f(m,n)，m=L/B，n=z/B。B 是沿三角形荷载变化方向的矩形边长。此外， 表 5－4 给出的是角点 O 下不同深度处的应力系数，若求荷载面积内其它角点下的应力，如 图 2－17 中角点 O'下的应力时，可用竖直均布荷载与竖直三角形荷载叠加而得。 2.3.4 矩形面积水平均布荷载时的附加应力 如图 5－18，当矩形面积上作用有水平均布荷载 Ph 时，角点下任意深度 z 处的竖向附 加应力为： （2－18） 式中， , 称为矩形面积 作用水平均布荷载时角点下的应力系数，可从表 2－5 中查得。 m=L/B，n=Z/B，且 B 规定为平行于水平荷载作用方向的边长，L 为垂直于水平荷载作 用方向的边长。 上式中，当计算点在水平均布荷载作用方向的终止端以下时取“＋”号；当计算点在 水平均布荷载作用方向的起始端以下时取“－”号。 当计算点在荷载面积范围内（或外）任意位置时，同样可以利用“角点法”和叠加原 理进行计算。 2.3.5 条形面积竖直均布荷载时的附加应力 dxdy B p x dP t  = dxdy x y z xz B p d t z 2 2 2 5 / 2 3 2 ( ) 3 + + =     z = Kt pt ] (1 ) (1 ) 1 [ 2 2 2 2 2 2 2 n m n n m n mn Kt + + + − + =   z = Kh ph ] (1 ) 1 1 [ 2 2 2 2 2 2 2 n m n n m n m Kh + + + − + = 

如图2-19,当地基表面宽度为B的条形基础上作用着竖直均布荷载p时,地基内任意 点M处的附加应力为 r(x-2)2+=2]2 将式(5-19)沿宽度B积分,即可得M点的附加应力 2 n(x=5)+m m-1 arctg--arctg n(m-1) m2+n2n2+(m-1)2 (2-20a) 写成简化形式为 P (2-20b) 条形面积均布荷载在地基内引起的水平向应力和剪应力简化式分别为: P (2-21) =Krp (2-22) 其中应力分布系数Ks、Ks、K分别为条形面积受竖直均布 荷载时的竖向附加应力分布系数、水平向应力分布系数和剪应力分布系 数。其值可按m(=xB)和n(=B)的数值由表5-6查得。 236圆形面积竖直均布荷载时中心点下的附加应力 如图2-22,圆形面积上作用竖直均布荷载p时,荷载中心点O下任意深度〓处M点 的附加应力,可通过式(2-13a),在圆面积内积分求得。 计算时,将柱坐标原点放在圆心O处,在圆面积内任取一微分面积dA=p·d0·dp, 其上作用的荷载作为集中力dP=pdA=pd0dp, ∥P作用点与M点的距离R=√p2+二2,∥在M点引起的附加应力由式(2-13a)为 do=3p23 (2-23) 2x(p2+z2)

如图 2－19，当地基表面宽度为 B 的条形基础上作用着竖直均布荷载 p 时，地基内任意 点 M 处的附加应力为： (2－19) 将式（5－19）沿宽度 B 积分，即可得 M 点的附加应力： （2－20a） 写成简化形式为 （2－20b） 条形面积均布荷载在地基内引起的水平向应力和剪应力简化式分别为： （2－21） （2－22） 其中应力分布系数 分别为条形面积受竖直均布 荷载时的竖向附加应力分布系数、水平向应力分布系数和剪应力分布系 数。其值可按 m(=x/B)和 n(=z/B)的数值由表 5－6 查得。 2.3.6 圆形面积竖直均布荷载时中心点下的附加应力 如图 2－22，圆形面积上作用竖直均布荷载 p 时，荷载中心点 O 下任意深度 z 处 M 点 的附加应力，可通过式(2－13a)，在圆面积内积分求得。 计算时，将柱坐标原点放在圆心 O 处，在圆面积内任取一微分面积 dA=ρ·dθ·dρ, 其上作用的荷载作为集中力 dP=ρdA=ρdθdρ, dP 作用点与 M 点的距离 ，dP 在 M 点引起的附加应力由式(2－13a)为： （2－23）     pd x z z d z 2 2 2 3 [( ) ] 2 − + =     pd x z B z z 2 2 2 3 0 [( ) ] 2 − + =  ] ( 1) 1 ( 1) [ 2 2 2 2 + − − − + + − = − n m n m m n mn n m arctg n m arctg p  K p s  z = z K p s  x = x K p s xz = xz  s xz s x s Kz、K 、K 2 2 R =  + z 2 2 5 / 2 3 2 ( ) 3 z pz d d d z + =       