第3章控制系统的时域分析 本章要解决的问题: 、系统的时域响应与系统的零、极点有什么 关系?零、极点抵消会产生什么后果? 2、评价控制系统的优劣有哪些性能指标?这 些指标如何定义? 3、如何对系统进行稳定性分析、稳态分析和 动态品质分析?
第3章 控制系统的时域分析 控制系统的时域分析 1、系统的时域响应与系统的零、极点有什么 关系？零、极点抵消会产生什么后果？ 2、评价控制系统的优劣有哪些性能指标？这 些指标如何定义？ 3、如何对系统进行稳定性分析、稳态分析和 动态品质分析？ 本章要解决的问题：
s3.1线性定常系统的时域响应 对于一个单输入单输出n阶线性定常系统, 可用一个n阶线性常系数微分方程来描述。 dc(t) d"c(t) + ∴+a +anc(t) dt dt d r(t) d"r(t) tb +…+b dr(t) +bnr(t)(3-1) dt
§3.1 线性定常系统的时域响应 线性定常系统的时域响应 1)-(3 )( )()( )( )( )()( )( 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 trb dt tdr b dt trd b dt trd b tca dt tdc a dt tcd a dt tcd a m m m m m m n n n n n n = + ++ + + ++ + − − − − − − " " 对于一个单输入单输出n阶线性定常系统， 可用一个n阶线性常系数微分方程来描述
§3.11传递函数的零、极点与系统的时域响应 阶线性定常系统传递函数的零、极点形式为 K∏(s==) Φ(S)= C(S M(S R(S ∏(-P)N() 系统输出的拉氏变换为: K(-=-) R(S MSR( ∏(-P) N(s)
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m j j n i i K sz C s M s s R s N s s p = = − Φ= = = − ∏ ∏ n阶线性定常系统传递函数的零、极点形式为： §3.1.1 传递函数的零、极点与系统的时域响应 系统输出的拉氏变换为： 1 1 ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) m j j n i i K sz M s C s Rs Rs N s s p = = − = = − ∏ ∏
当输入信号为单位冲激函数时,R(s)=1,对 上式求拉氏反变换,得系统输出的时域响应,即 冲激响应为: KI(-=) C(t=LIC(s=L =L/M(s) I(s-P N(S) 由拉氏反变换的部分分式法可知,系统输出 的时域响应与传递函数的零、极点有关
当输入信号为单位冲激函数时，R(s)=1，对 上式求拉氏反变换，得系统输出的时域响应，即 冲激响应为： 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) m j j n i i K sz M s Ct L Cs L L N s s p − − = − = ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∏ ∏ 由拉氏反变换的部分分式法可知，系统输出 的时域响应与传递函数的零、极点有关
1.当系统有q个互不相等的闭环实数极点P时 C(s)=一 M(s)= +C1(s) I(s-P,N,(S) A =lim(s-pC(s s→>p 时域响应包含q个指数运动模态。 g()=∑Aem+g1(t
lim( ) ( ) i i i s p A s p Cs → = − 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) q i i i i q Ai s M s C s s N p C s p s = = = − = + − ∑ ∏ 1. 当系统有q个互不相等的闭环实数极点 Pi 时 时域响应包含q个指数运动模态。 1 1 ( ) ( ) i q p t i i g t A e g t = = + ∑
2.如果C1(s)含有r对共轭复极点P12=ak±jB, C(s)= N1(s) ∏【-a4-jBs-a4+j)N2(s) ∑|K e +C2(s) s-a -jB s-a +jB K lim(s-a;)C(s) S→>;+
1 2 ( ) i i r j j i i ii ii C s e e K s js j θ θ αβ αβ − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + −− − + ⎝ ⎠ + = ∑ 2. 如果 含有r对共轭复极点 ， 则 1 C s( ) lim ( ) ( ) i i i j i i i s j K e s j C s θ α β α β → + = −− 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [( )( )] ( ) r kk kk k M s M s C s N s s j s j Ns αβ αβ = = = ∏ −− −+ 1,2 j k k p =α ± β
时域响应包含r个调幅余弦运动模态。 8(0)=>Ae+22kle cos(B, t+0,)+82(t) 3.如果C2(Ss)含有v重极点s1,则 B C2(S)= M2(s)M2(s) ∑ +1 +C3(3s) N,(S)(S-S)N(S)(S-S, (-1b【(S-s)C() B,=lir
时域响应包含r个调幅余弦运动模态。 2 1 1 ( ) 2 cos( ) ( ) i i r t q p t i ii i i i gt e A t K e t g α β θ = = =+ + ∑ ∑ + 3. 如果 含有 重极点s 1 C s 2 ( ) ，则 2 2 2 3 2 13 1 1 1 1 () () ( ) ( ) () ( ) () ( ) v i v i i v Ms Ms C s C s Ns s s N s s B s + − = == = + − − ∑ 1 1 1 1 1 1 lim [( ) ( )] ( 1)! i v i i s s d B s s Cs i ds − → − = − − v
时域响应包含v个幂函数与指数函数乘积 形式的运动模态: g(1)=∑4e+∑2lk| e- cos(Bt+e) B +∑ 剩余部分C3(s迿含其它的重极点,因此, g3(包含其它重极点对应的响应
时域响应包含 个幂函数与指数函数乘积 形式的运动模态： 1 1 ( ) 2 cos( ) i i q r pt t i i i i g t Ae K e t α β θ − = = = ∑ ∑+ + 1 1 1 3 ( ) ( )! v i v i s t i B t e g i t v − = ⎡ ⎤⎥ − + ⎦ + ⎢⎣ ∑ 3 C s( ) 3 g t( ) 剩余部分 包含其它的重极点，因此， 包含其它重极点对应的响应。 v
通过时域响应的分解可知,传递函数的极点 决定了系统所固有的运动模态,称为系统的固有 运动模态。而传递函数的零点则影响到各模态在 运动中所占的比重(即影响到各固有运动模态的 系数)。因此,系统的动态特性是由系统传递函 数的极点和零点共同决定的。 极点的分布及系统固有运动模态的形状如下 图所示
通过时域响应的分解可知，传递函数的极点 决定了系统所固有的运动模态，称为系统的固有 运动模态。而传递函数的零点则影响到各模态在 运动中所占的比重（即影响到各固有运动模态的 系数）。因此，系统的动态特性是由系统传递函 数的极点和零点共同决定的。 极点的分布及系统固有运动模态的形状如下 图所示
★★★.★ ★—闭环极点 ★的共轭极点
σ j ——闭环极点 ——— 的共轭极点