第四章控制系统的根轨迹 本章要解决的问题: 1、什么是典型根轨迹?典型根轨迹有什么 规律?如何绘制? 2、什么是特殊根轨迹?特殊根轨迹如何绘 制? 3、如何用根轨迹分析系统的稳定性? 4、如何用根轨迹进行动态品质分析?
第四章 控制系统的根轨迹 控制系统的根轨迹 本章要解决的问题： 1、什么是典型根轨迹？典型根轨迹有什么 规律？如何绘制？ 2、什么是特殊根轨迹？特殊根轨迹如何绘 制？ 3、如何用根轨迹分析系统的稳定性？ 4、如何用根轨迹进行动态品质分析？
§4.1根轨迹的基本概念 84.1.1什么是根轨迹 所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变 化时,闭环特征根在复平面上的运动轨迹
§4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变 化时，闭环特征根在复平面上的运动轨迹。 §4.1.1 什么是根轨迹
例41.1负反馈控制系统如图所示,设其 开环传递函数为: K G(sH(S) S(S+1)(s+2) R(S CO G(s H(S 当从零到无穷大连续变化时,观察闭环系统 的特征根的变化轨迹
例4.1.1 负反馈控制系统如图所示，设其 开环传递函数为： () () ( 1)( 2) K GsHs ss s = + + 当 K从零到无穷大连续变化时，观察闭环系统 的特征根的变化轨迹
解:系统的闭环特征方程为: s3+3s2+2s+K=0 当K从零到无穷大连续变化时,闭环特征 根在复平面上的变化轨迹如下图所示,这就是 系统以F为参变量的根轨迹
023 23 Ksss =+++ 解：系统的闭环特征方程为： 当K从零到无穷大连续变化时，闭环特征 根在复平面上的变化轨迹如下图所示，这就是 系统以K 为参变量的根轨迹
Root locus System: s Gan:6.03 Poe:00035+142 Overshoot (%) 101 System: sys Frequency(rad/sec): 1.42 Gain: 3.01 Poe:-267 Overshoot (%) 0 Frequency (rad/ sec): 2.67 System: sy can:0385 Poe:-0423-275e009i Damping: 1 Overshoot (%) 0 Frequency (rad/sec): 0.423 Real Axis
从根轨迹图可以看出: (1)系统有三条根轨迹,当K取某一定值时, 每条根轨迹上对应一个点,根平面上这三个点 就是系统的三个闭环极点。 (2)根轨迹与虚轴的交点为临界稳定点,该处 的K值称为临界增益。 (3)根轨迹离开实轴的点称为分离点,它对应 于二阶系统ξ=1的两个重极点
（2）根轨迹与虚轴的交点为临界稳定点，该处 的 K值称为临界增益。 (1) 系统有三条根轨迹，当 取某一定值时， 每条根轨迹上对应一个点，根平面上这三个点 就是系统的三个闭环极点。 K 从根轨迹图可以看出： （3）根轨迹离开实轴的点称为分离点，它对应 于二阶系统 ζ = 1的两个重极点
可以看出,根轨迹图上清楚地反映了如下重 要信息: 1)临界稳定时的开环增益。 2)闭环特征根进入复平面时的临界增益。 3)选定开环增益后,系统闭环特征根在根平 面上的分布。 4)参数变化时,系统闭环特征根在根平面上 的变化趋势
可以看出，根轨迹图上清楚地反映了如下重 要信息： 1）临界稳定时的开环增益。 2）闭环特征根进入复平面时的临界增益。 3）选定开环增益后，系统闭环特征根在根平 面上的分布。 4）参数变化时，系统闭环特征根在根平面上 的变化趋势
§4.1.2根轨迹满足的基本条件 考察图4-1所示的系统,其闭环传递函数为 Y(S G(S) R(s)1+G(s)H() 闭环特征方程为:1+G(s)H(s)=0 根轨迹上的任何一点都应满足: G(s)H(s)=-1
考察图4-1所示的系统，其闭环传递函数为: )()(1 )( )( )( sHsG sG sR sY + = 闭环特征方程为： + sHsG = 0)()(1 根轨迹上的任何一点都应满足： §4.1.2 4.1.2 根轨迹满足的基本条件 sHsG = −1)()(
上式可分解为幅值条件 (G(s)H(S)=1 和相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2k+)l80 k=01.2 这里讨论的是以开环增益K为参变量的根 轨迹,它是最基本、最常用的根轨迹,我们称 之为‘典型根轨迹’
上式可分解为幅值条件: sHsG = 1)()( ∠ ksHsG +±= 180)12()()( 0 k = ,2,1,0 " 和相角条件： 这里讨论的是以开环增益 为参变量的根 轨迹，它是最基本、最常用的根轨迹，我们称 之为‘典型根轨迹’。 K
设系统开环传递函数可以表示为: G(SH(S K(S-21)(S-z2)…(S-zn K>0 (S-p1)(S-P2)(S-pn) 则幅值条件具体化为: ∏=P)Iks-P) K S S-2 相角条件具体化为: ∑4(-=)-∑4(S-P)=±(2k+180k=12
设系统开环传递函数可以表示为： 0, )(( ))....( ))....()(( )()( 1 2 1 2 > −− − − − − = K pspsps zszszsK sHsG n m 则幅值条件具体化为： 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i m m l l l l s p s p K s z s z = = = = − − = = − − ∏ ∏ ∏ ∏ 相角条件具体化为： 0 1 1 ( ) ( ) (2 1)180 1,2 m n l i l i sz sp k k = = ∑ ∑ ∠ − − ∠ − =± + = ⋅⋅⋅
