第2章控制系统的数学模型 系统的数学模型是实际系统的一种数学 抽象,它用数学表达式描述控制系统输入、 输出变量以及内部各变量之间的关系及其运 动规律
系统的数学模型是实际系统的一种数学 抽象，它用数学表达式描述控制系统输入、 输出变量以及内部各变量之间的关系及其运 动规律。 第2章 控制系统的数学模型
线性系统的数学模型 线性系统数学模型的各参数只与系统 的固有特性有关,而与系统的输入和输出 无关
线性系统数学模型的各参数只与系统 的固有特性有关，而与系统的输入和输出 无关。 线性系统的数学模型
本章要解决的问题: 1、如何建立控制系统的微分方程? 2、如何建立非线性控制系统的小信号模型? 3、传递函数是如何定义的?它有什么性质? 4、什么是控制系统的结构图?如何通过化 简结构图获得系统的传递函数?
本章要解决的问题： 1、如何建立控制系统的微分方程？ 2、如何建立非线性控制系统的小信号模型？ 3、传递函数是如何定义的？它有什么性质？ 4、什么是控制系统的结构图？如何通过化 简结构图获得系统的传递函数？
21线性系统微分方程的建立 例211试列写图中所示RLC无源网络的 微分方程。 →)L R (t)
2.1 线性系统微分方程的建立 线性系统微分方程的建立 例2.1.1 试列写图中所示RLC无源网络的 微分方程
解:首先确定输入、输出变量: 输入为u(t),输出为u( 然后列写原始方程式: 根据基尔霍夫定理,可列出以下关系式: l1()=L-)+Ri(t)+(td C
然后列写原始方程式 ： 根据基尔霍夫定理，可列出以下关系式： 解：首先确定输入、输出变量： 输入为 u i(t)，输出为 u 0(t) () 1 ( ) () () i di t u t L Ri t i t dt dt C = ++ ∫ 1 () () o u t i t dt C = ∫
消去中间变量(),整理得 LC ar+raul +l()=1(t) 写成标准化形式: 令T RC,得 R 2+2 d uo(t) +l0()=(t) d t 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程
消去中间变量 ，整理得： 写成标准化形式： 令 ，得： 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。 i t( ) 2 2 () () () () o o o i d u t du t LC RC u t u t dt dt + += 1 2 , L T T RC R = = 2 0 0 1 2 2 2 0 () () () () i d u t du t TT T u t u t dt dt + +=
解析法建立系统微分方程的一般步骤: (1)确定系统的输入、输出变量: (2)根据变量运动规律,并考虑适当简化和线 性化,列写变量运动方程组; (3)由变量运动方程组消去中间变量,最后得 出只含输入、输出变量及其导数的微分方程; (4)写成标准化形式
解析法建立系统微分方程的一般步骤： 解析法建立系统微分方程的一般步骤： （ 1 ）确定系统的输入、输出变量 ； （ 2）根据变量运动规律，并考虑适当简化和线 性化，列写变量运动方程组 ; （ 3 ） 由变量运动方程组消去中间变量，最后得 出只含输入、输出变量及其导数的微分方程； （ 4）写成标准化形式
例2.1.,2图示为一个弹簧-质 量阻尼器表示的机械位移 k 系统,它可以等效某些作位F(0 移运动或圆周运动的控制对 象。当外力Ft)作用于系统 时,系统将产生运动。试列 写外力F(t与位移y()之间的 微分方程
例2.1.2 图示为一个弹簧-质 量-阻尼器表示的机械位移 系统，它可以等效某些作位 移运动或圆周运动的控制对 象。当外力F(t)作用于系统 时，系统将产生运动。试列 写外力F(t)与位移y(t)之间的 微分方程
解:1、输入输出变量:输入为F(t),输出为υ(t) 2、列写变量运动方程组: 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(和粘 性摩擦阻力F2(,根据牛顿第二定律有: F(1)+F()+F()=mdy 其中F1(t)=-k(t) F2(t)=-f d t 式中k——弹簧系数—阻尼系数
弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力 F1 (t)和粘 性摩擦阻力 F2 (t)，根据牛顿第二定律有 ： 2 2 1 2 )( )()()( dt tyd FFF =++ mttt )()( 1 F = − tkyt dt tdy ft )( )( 其中 F2 −= 式中 k —— 弹簧系数 f —— 阻尼系数 解： 1、输入输出变量：输入为 F(t) ，输出为 y(t) 2、列写变量运动方程组：
3、消去中间变量F{()和F2(t),整理得: m y(t) f dy(t) +y()=F(t) k dt k dt 4、标准化 令:T=√m/k称为时间常数 z=f(2√mk)称为阻尼比 K=1/k称为放大系数。 2d2y( a2-+257 dy(t) 得:7 dt t y(t=KF(t)
3、消去中间变量F1 (t)和F2 (t) ，整理得： 2 2 1 + += m d y( t ) f dy( t ) y( t ) ( t ) k dt k dt k F 4、标准化 令： 称为时间常数； 称为阻尼比； 称为放大系数。 = / kmT ζ = mkf )2/( = /1 kK )()( )( 2 )(2 2 2 tKty dttdy T dt tyd 得： T + ζ =+ F