东南大学：《大学物理学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 刚体的转动（4.4）力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 力矩的累积效应 The accumulative effects oftorques 对时间积累 对空间积累 The time accumulation The space accumulation effects of torques effects oftorques 角动量(4 gular momentum)转动动能 Rotationalinetic energi 冲量矩( Torque of pulse) 力矩的功( work oftorque) 角动量定理 转动动能定理 (TheoremofangularMomentum (Theoremofkinetic energy) 角动量守恒 机械能守恒 (Angular momentumconservation)(Mechanicalenergy conservation) 第四章刚体的转动 1/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 1/12 力矩的累积效应 The accumulative effects of torques 对时间积累 The time accumulation effects of torques 角动量(Angular momentum) 冲量矩 (Torque of mpulse) 角动量定理 (Theorem of angularMomentum) 角动量守恒 (Angular momentum conservation) 对空间积累 The space accumulation effects of torques 转动动能(Rotationalinetic energy) 力矩的功(Work of torque) 转动动能定理 (Theorem of kinetic energy) 机械能守恒 (Mechanical energy conservation)

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 一力矩作功(Work done by torque) dw=f.d=fds=Frdθ dw =Mde d = 1 w=∫F.d 二力矩的功率(The power of torque) d P= dw =M =Mo P=F. dt dt 第四章刚体的转动 2/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 2/12 t t d d d d W F r F s F r =  = =  dW = Md =  2 1 d   W M  一 力矩作功 (Work done by a torque)   M t M t W P = = = d d d d 二 力矩的功率(The power of a torque) o r  v  F  x v  F  o x r  Ft  r  d d W F r = d  P F =  v

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 转动动能( The kinetic energy of rotation) =∑m2=(∑△Mm 四刚体绕定轴转动的动能定理 (The theorem of kinetic energy of a rigid body rotating about a fixed axis) 2 1 Mde a@de=ada W=J Mde J 第四章刚体的转动 3/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 3/12 三 转动动能(The kinetic energy of rotation) 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 k i i i i i i E m m r J =  =  =   v   四 刚体绕定轴转动的动能定理 (The theorem of kinetic energy of a rigid body rotating about a fixed axis) 2 1 2 1 1 1 d d d d d W M J J t        = = =        2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1      W = M = J − J 

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 w= Mde=Jo2-)Jo 刚体绕定轴转动的动能定理:合外力矩对绕定轴转 动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 The theorem of kinetic energy of a rigid body rotating abouta fixed axis: The work done on a rigid body rotating about a fixed axis by the combined external torque is equal to the increment of the rotational kinetic energy of the rigid body. 第四章刚体的转动 4/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 4/12 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1      W = M = J − J  刚体绕定轴转动的动能定理:合外力矩对绕定轴转 动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 The theorem of kinetic energy of a rigid body rotating abouta fixed axis: The work done on a rigid body rotating about a fixed axis by the combined external torque is equal to the increment of the rotational kinetic energy of the rigid body

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 子细 弹绳 讨击质 子弹击入杆 圆锥摆 论入量 沙不 OLR 袋计 7 以地球为参考系 以子弹和沙袋为系统以子弹和杆为系统圆锥摆系 动量守恒; 动量不守恒;动量不守恒; 角动量守恒; 角动量守恒;角动量守恒; 机械能不守恒 机械能不守恒.机械能守恒 第四章刚体的转动 5/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 5/12 讨 论 以地球为参考系  v  o ' o m p  T  R 圆 锥 摆 子 弹 击 入 杆 o v  以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒. v  子 o 弹 击 入 沙 袋 细 绳 质 量 不 计 以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒. 圆锥摆系 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 例1一质量为m半径为R的圆盘,可绕一垂直通过 盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳,端挂 质量为m的物体.问物体在静止下落高度h时,其速度 的大小为多少?设绳的质量忽略不计, 解拉力F对圆盘做功由刚 F 体绕定轴转动的动能定理可 得拉力F的力矩所作的功为(Q R FRdo=rl Fdo pi! 0 0 2 2 P 1n1 t: 0.0 t: 0.6 第四章刚体的转动 6/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 6/12 o R h m' m m 0 0 T T 2 2 0 d d 1 1 2 2 F R R F J J         = = −   例1一质量为m’半径为R的圆盘, 可绕一垂直通过 盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳,一端挂 质量为m 的物体. 问物体在静止下落高度 h 时,其速度 的大小为多少?设绳的质量忽略不计 , 解:拉力FT 对圆盘做功,由刚 体绕定轴转动的动能定理可 得,拉力FT的力矩所作的功为 o FT  FN  P'  FT   P  m 0 0 0 t t : , : ,    

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 fORdO=R Fde 2 O 由质点动能定理 mgh-r Fde 70 物体由静止开始下落n=0.O=0 P 并考虑到圆盘的转动时0=0R,J=-mR2Fr 解得 28 U gh m+2m (m/ 2)+m 第四章刚体的转动 7/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 7/12 2 0 2 T T 2 1 2 1 d d 0 0         F R = R F = J − J   物体由静止开始下落 v0 = 0,0 = 0 解得 gh m 2 ( ' 2) m m m 2m mgh v 2 + = + = 并考虑到圆盘的转动时 2 0 2 T 2 1 2 1 d 0 mgh− R F = mv − mv     由质点动能定理 FT FT = −    o FT  FN  P'  FT   P  m 1 2 , 2 v = = R J m R

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 例2一长为l,质量为m的竿 可绕支点O自由转动.一质量为m O 30° 速率为v的子弹射入竿内距支点为 a处,使竿的偏转角为30°.问子弹 的初速率为多少 解把子弹和竿看作一个系统子 弹射入竿的过程系统角动量守恒 mva=cm -+ma) o a m2+3ma2 射入竿后,以子弹、细杆和地球为系统机械能守恒 2m12+ma2)o2=mga(1-cos30°)+mg=(1-cos30°) 得0=V8(2-3m1+2m0(+3mr)1ma 第四章刚体的转动 8/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 8/12 例2一长为 l , 质量为m’的竿 可绕支点O自由转动 . 一质量为m 、 速率为v 的子弹射入竿内距支点为 a处，使竿的偏转角为30º . 问子弹 的初速率为多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 .子 弹射入竿的过程系统角动量守恒 ) 3 1 ( 2 2 mva = m l + m a o a ' m v   30 2 2 ' 3 3 m l ma m a + = v  射入竿后,以子弹、细杆和地球为系统,机械能守恒. 1 1 2 2 2 ( ) (1 cos30 ) (1 cos30 ) 2 3 2 l m l ma mga m g   + = −  + −   g(2 3)(m l 2ma)(m l 3ma ) 6 ma 2 2 得 v = −  +  +

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 例3留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以 角速率ω作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦 力作用下随转盘一起转动.设唱片的半径为R,质 量为m,它与转盘间的摩擦系数为μ, 求:(1)唱片与转盘间的摩 擦力矩;(2)唱片达到角速 度o时需要多长时间;(3) 在这段时间内,转盘的驱动 力矩做了多少功? 第四章刚体的转动 9/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 9/12 求：(1)唱片与转盘间的摩 擦力矩； (2)唱片达到角速 度ω 时需要多长时间；(3) 在这段时间内，转盘的驱动 力矩做了多少功？ 例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以 角速率ω作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦 力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质 量为m，它与转盘间的摩擦系数为μ

物理学 4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第五版 解(1)如图取面积元d=drl 该面元所受的摩擦力为 lng drdl 兀R2 d 此力对点O的力矩为 rdf= umg rdrdz 丌R2 于是,在宽为dr的圆环上,唱片所受的摩擦力矩为 L12 dm g 2 rdr (2tr) r ar 丌R 2 umg R .、Q rmg R 3 第四章刚体的转动 10/12

4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 物理学 第五版 10/12 r l R mg f d d π d 2  = 解(1)如图取面积元ds = drdl, 该面元所受的摩擦力为 此力对点O的力矩为 r r l R mg r f d d π d 2  = R r dr dl f  d o 于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为 2 2 2 2 d d (2π ) d π mg mg M r r r r r R R   = = r r Rmg R m g M   3 2 d 2 R 0 2 2 = = 