产生导数的实际背景 微积分的发明人之一──Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 一个运动物体在时刻t 的位移可以用函数s = s(t)来描述，它在时 间段[t, t + t]中位移的改变量为s = s( t + t) − s(t)，所以当t 很小的时 候，它在时刻t的瞬时速度可以近似地用它在[t, t + t]中的平均速度

在高温水环境中,采用慢应变速率拉伸实验方法研究了温度对316 L不锈钢应力腐蚀开裂的影响规律,并通过扫描电镜(SEM)对试样断口形貌进行分析.结果表明:在高温水环境中,温度为200~345℃时316 L不锈钢具有应力腐蚀开裂敏感性;材料脆性指标随温度升高而增大,应力腐蚀开裂敏感性增强,断口分析与之吻合;250℃是316 L不锈钢发生应力腐蚀开裂的敏感温度,断口边缘形貌呈现明显脆性断裂特征

复合函数求导法则 定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数u=g(x)在x=x可导, 函数y=f(u)在u=uo=g(x)处可导,则复合函数y=f(g(x))在x=x可 导,且有 证因为y=f(u)在u处可导,所以可微。由可微的定义,对任 意一个充分小的△u≠0,都有

曲线坐标 设U为uv平面上的开集,是xy平面上开集,映射 T: x =x(u,v), y=y(u,v) 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为T:u=u(x,y),v=v(x,y y 在U中取直线u=u,就相应得到xy平面上的一条曲线 =x(,v),=y(,)

仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉:对于一般 的以2为周期的函数f(x),除了个别点之外(看来是不连续点),当 m→∞时,它的 Fourier级数的部分和函数序列{m(x)}

通过优化配比组分、粒级设计和使用外加剂,制备出一种高掺量矿渣、粉煤灰且使用水泥熟料较少的矿渣-粉煤灰基高性能混凝土专用胶凝材料.研究了物料粉磨方式、石膏掺量、矿渣与粉煤灰的掺量及比例对复合高性能胶凝材料体系强度的影响,并通过X射线衍射(XRD)和扫描电镜(SEM)微观分析手段观察其微观结构和水化产物,阐明了复合胶凝材料活性与级配协同优化效应.复合胶凝材料胶砂水胶比为0.36时具有较好的流动度,胶砂试块养护28d抗压强度可以达到58.9MPa,抗折强度达到14.2MPa,并具有良好的抗硫酸盐侵蚀性能,配制的混凝土具有良好的抗碳化性能

本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 f (x)的全部极值点必定都在使得 f (x) = 0和使得 f (x)不存在的 点集之中。使 f (x) = 0的点称为 f (x)的驻点

求方程 f(x)=0 的解(或根),就是要寻找一个数x,使得满足 f(x)=0 求方程的解主要方法有两种:解析方法和数值方法

应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题

反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫f(x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分∫f(x)dx收敛即为极限(x)dx存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式: