Quick Review 1、数值解法的重要意义 2、数值解法的基本思想 3、网格划分（区域离散）的过程及涉及的基本概念 4、代数方程（离散方程）的建立方法和过程 1
1 Quick Review 1、数值解法的重要意义 2、数值解法的基本思想 3、网格划分（区域离散）的过程及涉及的基本概念 4、代数方程（离散方程）的建立方法和过程
区域离散化 建立离散方程 确定迭代方法 设定温度初场 求解代数方程组 改进初场 是否收敛 否 是 解的分析 2
2 区域离散化 建立离散方程 确定迭代方法 设定温度初场 求解代数方程组 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否
第四章导热问题的数值解法 4-1导热问题数值求解的基本思想 4-2内节点离散方程的建立方法 43边界结点离散方程的建立及代数方程的求解 4-4非稳态导热问题数值求解 3
3 第四章 导热问题的数值解法 4-1 导热问题数值求解的基本思想 4-2 内节点离散方程的建立方法 4-3 边界结点离散方程的建立及代数方程的求解 4-4 非稳态导热问题数值求解
4-2代款方程组的求解 一维无限大平板、稳态、常物性、 无内热源、左侧第一类边条，右侧 第三类，如右图所示，将其均匀分 成三个控制体，试建立离散方程 to 2 3。 4。 边界节点1：t1=tw h 内部节点2：九 4-12=0 △x 内部节点3：九口 t4-t=0 △x 边界节点 4:元3-4+ht。-t4)=0 △X 4
4 4-2 代数方程组的求解 一维无限大平板、稳态、常物性、 无内热源、左侧第一类边条，右侧 第三类，如右图所示，将其均匀分 成三个控制体，试建立离散方程 1 1 2 3 2 23 43 3 4 4 1: 2 : 0 3: 0 4 : ( ) 0 w t t t t t t x x tt tt x x t t ht t x λ λ λ λ λ ∞ = − − + = ∆ ∆ − − + = ∆ ∆ − + −= ∆ 边界节点 内部节点 内部节点 边界节点 1 2 3 4 tw t∞ h ∆x
形成如下代数方程组： 2:2t2-t3=tw -1 0 3:-42+2t-t4=0 -1 2 -1 0 4: 4+（元+=i0 △X △X -/△x/△x+hL4 代数方程组的通用形式为： a14+a1252+..+antn=b a214+a2t2+..+a2ntn=b2 AT=b am+an2t2...+amntn =bu 5
5 形成如下代数方程组： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 ...... ...... ............................................ ...... n n n n n n nn n n at at at b at at at b at at at b + ++ = + ++ = + ++ = 代数方程组的通用形式为： AT b = 2 3 2 34 3 4 2: 2 3: 2 0 4: ( ) w ttt t tt t h t ht x x λ λ ∞ − = −+ −= − ++= ∆ ∆ 2 3 4 21 0 12 1 0 0 w t t t λ λ x x h ht t ∞ − − −= − ∆ ∆+
4-2代数方程组的求解 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个志和节点温度，n个代数方程式： aa2+......+aitn =b a2141+a222+.+a2ntn=b2t AT=b am+an22+......+amtn =bu 代数方程组的求解方法：直接解法、送代解法 6
6 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个未知节点温度，n个代数方程式： 代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 ...... ...... ............................................ ...... n n n n n n nn n n at at at b at at at b at at at b + ++ = + ++ = + ++ = AT b = 4-2 代数方程组的求解
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解； 矩阵求逆、高斯消元法 缺点：所需内存较大、方程数目多时不适用于非线性问题 送代解法：先对要计算的场作出假设、在送代计算过程 中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小 于允许值。称送代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单送代(Jacobi送代)、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向送代等 高斯-赛德尔迭代的特点：每次送代时总是使用节点温度的最 新值 7
7 直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法 迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程 中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小 于允许值。称迭代计算已经收敛。 缺点：所需内存较大、方程数目多时不适用于非线性问题 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等 高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
a+at2+......+auln=b 高斯-赛德尔迭代的基本步骤： a2141+a2242+.+a2ntn=b2 (1)设定初值：t0、t0 an an2t2+......+amntn =bu (2)将t0带入第一个方程，装得t0 a+atauo=b 3)将、t0)带入第二个方程，获得 a0+at9++ant0=b 〔4)将t…t+ 带入第i个方程，获得t+) 8
8 （3）将 、 带入第二个方程，获得 高斯-赛德尔迭代的基本步骤： (0) (0) (0) 12n （1）设定初值：ttt 、 .... （2）将 带入第一个方程，获得 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 ...... ...... ............................................ ...... n n n n n n nn n n at at at b at at at b at at at b + ++ = + ++ = + ++ = (0) (0) 3 n t t .... (1) 1 t (0) (0) 2 n t t .... (1) 1 t (1) 2t (1) 0 0 11 1 12 2 1 1 ...... n n at at at b + ++ = (1) (1) (0) 11 1 12 2 1 1 ...... n n at at at b + ++ = （4）将 、t t i n (k) (k) .... 带入第i个方程，获得 (k+1) 1 t (k+1) i t (k+1) i-1 t
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值） 4+=at0++at+b0 +=a214+）+.…+a2n+b0 t+=a41++a2+++an140+b +=an++an21+++anm-t+b} 9
9 在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值） ( 1) ( ) () () 1 11 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 21 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 3 31 1 32 2 3 3 ( 1) 1 ...... ...... ...... ............................................................ k k k k n n k k k k n n k k k k k n n k n n t at at b t at at b t at at at b t a + + + + ++ + = ++ + = ++ + = + ++ + = ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 22 1 1 ...... k k k k n nn n n t at a t b ++ + + ++ + − −
判断迭代是否收敛的判据： max+-tg≤6 ￡一允许的偏差： ≤8 相对偏差值一般 取10-3~10-6 +-t) max ≤B k及+1表示选代次款：一第长炎选代得到的震大值 当有接近于零的t时，第三个较好 10
10 判断迭代是否收敛的判据： ε ε ε ≤ − ≤ − − ≤ + + + ( ) max ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) max max max k k i k i k i k i k i k i k i t t t t t t t t 3 6 10 ~ 10 取 − − 相对偏差 值一般 — 允许的偏差； ε ε k 及 k+1 表示迭代次数； —第k 次迭代得到的最大值 (k) max t 当有接近于零的t 时，第三个较好