第二十一讲 分析力学作业分析
第二十一讲 分析力学作业分析
解题方法和要点 °虚功原理与达朗贝原理 虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为: (1)判断约束是否为理想约束;(光滑接触,刚性连接) 2)找出主动力,及作用点; (3)确定自由度,并选择广义坐标 (4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表 (5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以 解出问题 对运动问题加入惯性力转化为平衡问题就是达朗贝原理
解题方法和要点 •虚功原理与达朗贝原理 虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为: (1)判断约束是否为理想约束;(光滑接触,刚性连接) (2)找出主动力,及作用点; (3)确定自由度,并选择广义坐标; (4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表 示; (5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以 解出问题 对运动问题加入惯性力转化为平衡问题,就是达朗贝原理
拉格朗日方程 利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提 供了一个统一而普遍的解决方案主要适用于完整体系(几何约束 和可积分运动约束及不可解(双面)约束在拉氏力学中,义动量, 广义坐标广义动能都内涵更丰富解题一般方法 (1)首先正确判断完整体系自由度适当选取广义坐标;s=3n-k (2)建立坐标变换公式,尽量不显含时间; (3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程;用广义量表示动 能,用广义坐标表示广义力.对于保守系统,写出广义坐标表示的 势能.最后写出系统的拉格朗日函数 (4)列出拉格朗日方程;检查有无循环坐标简化方程组; (5)利用初始条件解出拉格朗日方程 如不是保守体系,要找到和自由度数目相同的广义力分量 Q=∑ i=1
•拉格朗日方程 利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提 供了一个统一而普遍的解决方案.主要适用于完整体系(几何约束 和可积分运动约束及不可解(双面)约束).在拉氏力学中,广义动量, 广义坐标广义动能都内涵更丰富.解题一般方法 (1)首先正确判断完整体系自由度,适当选取广义坐标;s=3n-k (2)建立坐标变换公式,尽量不显含时间; (3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程;用广义量表示动 能, 用广义坐标表示广义力. 对于保守系统, 写出广义坐标表示的 势能. 最后写出系统的拉格朗日函数. (4)列出拉格朗日方程;检查有无循环坐标,简化方程组; (5)利用初始条件解出拉格朗日方程. 如不是保守体系,要找到和自由度数目相同的广义力分量. ( s) q r Q F α i n i i 1,2, , 1 = = =
思考题 51)虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理解平衡 问题有何优点及缺点? 虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位 移虚功正是作用在体系的力(包括约束力在任意虚位移上作的功 因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无 关在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便缺点:理 想约束,不能直接求解约束力,但可以解除约束来求得 52)为什么在拉格朗日方程中,不包含约束反作用力?又广义 坐标及广义力的含义为何?我们根据什么关系可以由一个量的量 纲定出另一个量的量纲? 由于拉格朗日方程是在理想约束下得到约束力虚功为零,故在 拉氏方程中不再包括约束力.广义坐标是确定完整体系的几何位 置彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响广义力可以是力 力矩压强,电场等等同时它不包括约束力广义力的量纲可以用能 量量纲减去广义坐标的量纲得到
5.1)虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理解平衡 问题有何优点及缺点? 一、思考题 虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位 移.虚功正是作用在体系的力(包括约束力)在任意虚位移上作的功. 因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无 关.在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便.缺点:理 想约束,不能直接求解约束力,但可以解除约束来求得. 5.2)为什么在拉格朗日方程中,Q不包含约束反作用力?又广义 坐标及广义力的含义为何? 我们根据什么关系可以由一个量的量 纲定出另一个量的量纲? 由于拉格朗日方程是在理想约束下得到,约束力虚功为零,故在 拉氏方程中不再包括约束力. 广义坐标是确定完整体系的几何位 置,彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响.广义力可以是力, 力矩压强,电场等等同时它不包括约束力.广义力的量纲可以用能 量量纲减去广义坐标的量纲得到
53)广义动量P和广义速度是不是只相差一个乘数m?为什 么广义动量比广义速度更富有物理意义? 广义动量Pa=Bn与广义速度并不仅仅是差_个乘数,义动 量可能是动量也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量, 是比广义速度更为基本的物理量 54)既然 是广义动量,那么根据动量定理,a(a层是否应 等于广义力?什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能 说出它的物理意义和所代表的物理量吗? 它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减 去拉氏力,通常又叫做广义惯性力. 55)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系,能否得 到拉氏方程? 拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用 于完整系如不完整不能使用它
5.3)广义动量P和广义速度是不是只相差一个乘数m? 为什 么广义动量比广义速度更富有物理意义? 广义动量 ,与广义速度并不仅仅是差一个乘数,广义动 量可能是动量,也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量, 是比广义速度更为基本的物理量. q T p = 5.4) 既然 是广义动量,那么根据动量定理, 是否应 等于广义力?为什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能 说出它的物理意义和所代表的物理量吗? q T ( ) q T dt d 它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减 去拉氏力,通常又叫做广义惯性力. 5.5)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系, 能否得 到拉氏方程? 拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用 于完整系.如不完整,不能使用它
、习题解答 51)试用虚功原理解31题 解:杆受理想约束,位置可由杆与 R O 水平方向夹角a唯一确定.由虚功 原理 =∑Fb=0→mgb=0 g 坐标变换方程 y=2Rcosasin a-asin a=Rsin 2a-asin a 要使虚功原理成立,则必须2Rcos2a- a cosa=0 C 2R2 cos C cos∠ 2R 2R2 4(c2-2R) 当内部长为c时,a=/2
5.1) 试用虚功原理解3.1题. 一、习题解答 解:杆受理想约束,位置可由杆与 水平方向夹角唯一确定. 由虚功 原理 R O y x a mg 0 0 1 = = = = i c n i i W F r m gy 坐标变换方程 yc = 2Rcos sin − asin = Rsin 2 − asin 要使虚功原理成立,则必须 2Rcos2 −acos = 0 2 2 2 2 2 ,cos 2 2 cos R c R R c − = = 当内部长为c时, a=l/2, c c R l 4( 2 ) 2 2 − =
52)试用虚功原理解34题 解这是理想约東,自由度为1选取a 为广义坐标显然 -2rsin B ( 1+r)sin a, 0 V=y=(+cosa, 2 V3=(7+r)cos a-2r cos B (l+r)cos a 61=62=-( 2r cos B train aoa Sy3=(+rsin aSa+(I+r)tan B osada 由虚功原理PC1+P202+P3oy3=0 3sin a-tan B cosa sa=0= tan B=3 tan a
5.2) 试用虚功原理解3.4题. 解:这是理想约束, 自由度为1.选取 为广义坐标.显然 ( ) ( ) ( ) cos 2 cos cos , sin , 0 2 sin 3 1 2 3 1 2 y l r r y y l r l r x x x r = + − = = + = − + = = − = − 1 2 3 x y ( ) ( ) sin ( )tan cos sin , 3 1 2 y l r l r y y l r = − + + + = = − + 由虚功原理 P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 = 0 (3sin − tan cos) = 0 tan = 3tan ( ) 2 cos cos r l + r =
53)长度同为的轻棒4根,光滑地联成 菱形ABCD.AB,4D两边支于同一水平 线上相距为2a的两根钉上,BD间则用 B 轻绳联结,C点上系一重物W.设A点上 的顶角为2a试用虚功原理求绳中张力T 解在钉子处约束力垂直虚位移,是理想约束BD绳子去掉用 力T代替.该问题自由度为1选取a为广义坐标显然 lsin a &x ix=losada yc=2l cosa-atan a yc=-2I in asa-alsin2asa 由虚功原理Wc+T2bxg- Tdx=0 可求出 a T=W tan dl--csc'a-1 21
5.3)长度同为l的轻棒4根,光滑地联成 一菱形ABCD. AB,AD两边支于同一水平 线上相距为2a的两根钉上, BD间则用一 轻绳联结, C点上系一重物W．设A点上 的顶角为2,试用虚功原理求绳中张力T. x y 解:在钉子处约束力垂直虚位移,是理想约束.BD绳子去掉,用 力T代替.该问题自由度为1.选取为广义坐标.显然 = − − = − = − = − = − = − − 1 2 2 sin /sin cos 2 cos tan sin y l a x x l y l a x x l C B D C B D 由虚功原理 WyC +TB xB −TB xB = 0 可求出 = csc −1 2 tan 3 l a T W
54)一个质点重量为w,被约束在竖直圆周x2+y2-2=0上,并受 水平斥力k2x的作用试用拉氏乘子法求质点的平衡位置和约束力 解:自由度为1质点位置(xy)f(x,y)=x2+y2-r2=0 F+0=0,k2x+2x=0, x=0,y=±r 由 →}w+2xy=0→12 2 F+2 of 0 y /k 因为 R=avf 得 0 R=2=xx=±√r2-h2/k R=20r=-k2r
5.4)一个质点重量为w,被约束在竖直圆周x 2+y 2 -r 2=0上,并受一 水平斥力k 2x的作用.试用拉氏乘子法求质点的平衡位置和约束力. 解:自由度为1.质点位置(x,y) ( , ) 0 2 2 2 f x y = x + y − r = 由 = − = = − = = + = + = + = = + = + 2 2 4 2 2 2 2 2 / , / 2 0, 2 0 2 0, 0 0, x r w k y w k y w x y r x y r w y k x x y f F x f F y x 因为 2 2 2 2 2 x y y f x f R f = + + = = 得 R r w y r x = = = = , 2 0 R r k r y w k x r wh k 2 2 2 4 , 2 / 2 / = = − = = −
55在离心节速器中,质量为m2的质点C沿着一竖直轴运动,而 整个系统则以匀角速g绕该轴转动试写出此力学体系的拉氏函 数,设连杆的质量均可不计 解:自由度为1选广义坐标为6 JxB=-asin 0, xp=asin 0, xc=0 lBacos, =p=a cos 0, -c= 2a cos0 Dacos 0c 0 2=-asin 6e 由=V+9×F=(x+y+ik)+(-9k)×(xi+y+zk) 求得v2=v2=ab2+g2a2sin2,v2=4a2sin2b02 势能 V=-2ga(m,+m2,)cos L=T-V=ma(8+Q2 sin 0)+2m,a sin 004+2ga(m,+m,)cose
5.5)在离心节速器中,质量为m2的质点C沿着一竖直轴运动,而 整个系统则以匀角速绕该轴转动.试写出此力学体系的拉氏函 数, 设连杆的质量均可不计. 解:自由度为1.选广义坐标为 = = = − = − = = = = = = − = = / 2 sin cos , 0 cos , cos , 2 cos sin , sin , 0 z z z a x x a x z a z a z a x a x a x B D C B D C B D C B D C 由 v V r (xi yj zk ) ( k ) (xi yj zk ) r = + = + + + − + + x z 求得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin , 4 sin vB = vD = a + a vC = a 势能 V = −2ga(m1 + m2 )cos ( sin ) 2 sin 2 ( 1 2 )cos 2 2 2 2 2 2 2 2 L = T −V = m1 a + + m a + ga m + m