《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第二十讲 刘维定理泊松括号

第二十讲 刘维定理 泊松括号

第二十讲 刘维定理 泊松括号

本讲导读 统计力学基本定理刘维定理 泊松括号的定义 泊松括号的性质 泊松定理

本讲导读 • 统计力学基本定理 刘维定理 •泊松括号的定义 •泊松括号的性质 •泊松定理

刘维定理 分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学 简单,但是对于大数目系统,往往牛顿力学无法求解,而 运用哈密顿正则方程却容易的多 哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统 的运动对一个自由度问题,某一时刻的状态用x和p值表 示,即xp平面上的一个点表示.随着时间推移,状态不断变 化,它在xp平面上刻画出一条曲线 多自由度的情况也类似.对于s个自由度的力学系统, 我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成2s维的 空间叫作相空间.该力学系统在某一时刻的状况也可用相 空间的一个点表示.随着时间的推移,相空间中的代表点 给出的曲线形成相轨道,换句话说,相轨道给出力学系统 随时间的演变过程

一、刘维定理 分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学 简单, 但是对于大数目系统, 往往牛顿力学无法求解,而 运用哈密顿正则方程却容易的多. 哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统 的运动. 对一个自由度问题, 某一时刻的状态用x和p值表 示, 即xp平面上的一个点表示. 随着时间推移, 状态不断变 化, 它在xp平面上刻画出一条曲线. 多自由度的情况也类似. 对于s个自由度的力学系统, 我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成2s维的 空间叫作相空间. 该力学系统在某一时刻的状况也可用相 空间的一个点表示. 随着时间的推移,相空间中的代表点 给出的曲线形成相轨道, 换句话说, 相轨道给出力学系统 随时间的演变过程

原则上,给定力学系统的初始状态,该系统的运动就 由动力学方程完全确定,即以相空间中某一点为出发点 的相轨道,由动力学方程所完全决定.但是,如果系统的 自由度数比较大,力学系统比较复杂,我们不能断定相空 间中究竞哪一点准确地代表系统的状态.怎么办? 替代的办法:我们只能考虑各种可能的代表点,其 中每一点都代表系统的一种可能状态.实质上,这是考虑 处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统, 这些性质完全相同的力学系统构成一个系综;相空间中 每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态,代 表点的相轨道对应于该系统的演变,各种可能的代表点 则对应于系综中所有力学系统的状况,各种可能的相轨 道则对应于系综的演变这就是统计力学的起点

原则上, 给定力学系统的初始状态, 该系统的运动就 由动力学方程完全确定, 即以相空间中某一点为出发点 的相轨道，由动力学方程所完全决定. 但是, 如果系统的 自由度数比较大, 力学系统比较复杂, 我们不能断定相空 间中究竟哪一点准确地代表系统的状态. 怎么办? 替代的办法：我们只能考虑各种可能的代表点, 其 中每一点都代表系统的一种可能状态. 实质上, 这是考虑 处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统, 这些性质完全相同的力学系统构成一个系综; 相空间中 每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态, 代 表点的相轨道对应于该系统的演变, 各种可能的代表点 则对应于系综中所有力学系统的状况, 各种可能的相轨 道则对应于系综的演变. 这就是统计力学的起点

刘维定理:保守力学体系在相空间中代表点的密度,在 运动过程中保持不变 物理含义:同一力学体系在不同的初始状态所构成的不 同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道 运动当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域 时,在新的区域,代表点的密度等于在出发区域中的密 度 设体积元为dz=dq1dq2… dq dp, dp2…d 其中代表点的数目为dN,代表点的密度为a,则 pdt 般密度p随时随地不同,所以从 P=p(t;q12q2…,qs:P1,P2…,P

刘维定理: 保守力学体系在相空间中代表点的密度, 在 运动过程中保持不变. 物理含义: 同一力学体系在不同的初始状态所构成的不 同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道 运动.当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域 时, 在新的区域, 代表点的密度,等于在出发区域中的密 度. 设体积元为 其中代表点的数目为dN, 代表点的密度为, 则 一般密度随时随地不同, 所以从 d = dq1 dq2 dqs dp1 dp2 dps  dN = d ( ; , , , ; , , , ) q1 q2 qs p1 p2 ps  =  t  

知 d dt at 2+ 刘维定理说明在体系中dp/d=0 刘维定理证明: 假定初始时,体元位置为 qa,qa +dqa, pa, pa+dpa (a=1,2, ,S) 经历时间d,这个固定体元中代表点的数目变化 d(dNy)=p+dn-mzs② dtdT at 另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元 的边界的数目来计算在时间d中代表点的数目变化

知 =           +   +   = s p p q dt t 1 q d            刘维定理说明在 体系中d/dt=0 刘维定理证明: 假定初始时,体元位置为 经历时间dt, 这个固定体元中代表点的数目变化 另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元 的边界的数目来计算在时间dt中代表点的数目变化 q ,q + dq ; p , p + dp ( =1,2,  ,s)             d(d )  d d d dtd t t t N    − =        = +

先考虑通过一对曲面qa,qa+dq进出dτ代表点的增加 把体元d表达式改写为 dz=ddqa,da=dq1… dada…dgs;d1…d 在d时间内通过q进入d代表点必定位于一个柱体 内,柱体底为d4a高为qad,q为相空间中代表点垂直 于曲面q的速度分量.所以在d时间内通过q进入d的 代表点数为 dtd 同理,在d时间内通过曲面qa+dq离开d代表点的数 目为 (xd+)2+0(

先考虑通过一对曲面q , q + dq进出d 代表点的增加. 把体元d表达式改写为 A q A q q q qs dp dps d d d , d d d d d ;  =    = 1  −1 +1  1  在 dt 时间内通过q进入d的代表点必定位于一个柱体 内, 柱体底为dA , 高为 , 为相空间中代表点垂直 于曲面q的速度分量. 所以在dt 时间内通过q进入d的 代表点数为 q dt    q  同理, 在dt 时间内通过曲面q + dq离开d 代表点的数 目为 ( )    A q q  dtd ( ) ( ) ( )              q q t A q q t A q q q q d d d d d d         = + +   

两者相减,得通过曲面qa和qa+dq进入d代表点的净 数目为 (oqa )dadda dtd t 同理,得通过曲面a和pa+d进入dz代表点的净数目 为 a(opa) dtdT ap 把上面两式相加,并对a求和,则得在d时间内由于代表 点的运动,穿过dr的边界而进入其中的代表点的净数目 d(dN)=∑ 「a(m)叭(pn)dr Ce

两者相减, 得通过曲面q 和q + dq进入d 代表点的净 数目为 ( ) ( )          d d d dtd q q q q t A q   = −   −   同理, 得通过曲面p 和p + dp进入d 代表点的净数目 为 把上面两式相加,并对 求和, 则得在 dt时间内由于代表 点的运动, 穿过d 的边界而进入其中的代表点的净数目 ( )     dtd p p   −  ( ) ( )         d(d ) d d 1 t q q p p N s =         +   = −  

显然 (op o a(eia) at 所以=- 利用正则方程,得 dp 2∑ aaa aH 0 dt ap aqaq ap 证明完毕!

显然 ( ) ( ) =         +   = −   s q q p p t  1        所以 利用正则方程, 得 证明完毕! =         +   = − s q q p p t d 1 d          0 d d 1  =          +     = −  − = s p H q q H t  p     

刘维定理的另外表示 oPx dp ah d0 aH 0 at ∑ aqo op op aq 刘维定理是统计力学的基本的定理.它是2维的相空 间中的定理,在普通空间或s维的位形空间把s个广义 坐标作为直角坐标构成的空间)中并不存在类似的定理 因此,在统计力学讨论系综时需要运用哈密顿动力学而 不用拉格朗日动力学

刘维定理是统计力学的基本的定理. 它是2s维的相空 间中的定理, 在普通空间或 s 维的位形空间(把 s 个广义 坐标作为直角坐标构成的空间)中并不存在类似的定理. 因此, 在统计力学讨论系综时需要运用哈密顿动力学而 不用拉格朗日动力学. 刘维定理的另外表示 0 1  =          −     +   = s q H p p H t  q      