《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第九讲 刚体定轴转动和平面平行运动

第九讲 刚体定轴转动 和平面平行运动

第九讲 刚体定轴转动 和平面平行运动

本讲导读 惯量椭球和惯量主轴 定轴转动角动量定理和机械能守恒律 定轴转动的轴上附加力 刚体平面平行运动的运动学 刚体平面平行运动的动力学 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理 刚体平面平行运动时机械能守恒律

本讲导读 • 惯量椭球和惯量主轴 • 定轴转动角动量定理和机械能守恒律 • 定轴转动的轴上附加力 • 刚体平面平行运动的运动学 • 刚体平面平行运动的动力学 • 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理 • 刚体平面平行运动时机械能守恒律

惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体,将转动惯量写为积分形式 ∫(2+=2)m1=1m=∫xydm +x dm yy an 1==∫(2+y)知m dm 对通过空间某一点O的轴线, a,月,y为转动瞬轴相对于坐 (dm) 标轴的方向余弦,则 O1=,0y=B,02=y0 1=la+lB+lr-21. ra-2Im aB 一次算出轴转动惯量和惯量积,通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出

一、惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式 对通过空间某一点O的轴线, , ,  为转动瞬轴相对于坐 标轴的方向余弦, 则 I xx (y z )dm 2 2  = + ( )  I yy = z + x dm 2 2 ( )  Iz z = x + y dm 2 2  I xy = I yx = x ydm  I xz = Izx = zxdm  I yz = Izy = yzdm x = ,y =  ,z =  I I xx I yy I z z  2I yz  2I z x 2I xy  2 2 2 = + + − − − 一次算出轴转动惯量和惯量积, 通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出

个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物 理量,代表刚体转动的惯性的量度,可以写为矩阵的 形式 并叫它惯量张量,元素叫惯量张量的组元或惯量系数 利用矩阵乘法,得 I=a B βy

三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物 理量, 代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩阵的 形式 并叫它惯量张量, 元素叫惯量张量的组元或惯量系数. 利用矩阵乘法,得           − − − − − − zx zy z z yx yy yz xx xy xz I I I I I I I I I ( )                     − − − − − − =       z x z y z z yx yy yz xx xy xz I I I I I I I I I I                     − − − − − − =           z y x z x z y z z yx yy yz xx xy xz z y x I I I I I I I I I L L L   

惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时刚体转 动时惯量系数随之而变.通常选取固着在刚体上、并随着刚体 同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数 显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除, 如在转动轴上,截取线段 00 I √ =R I为刚体绕该轴的转动惯量,则Q点的坐标将是 x=Ra,y=rB,2=Ry 因过O点有很多转轴,则有很多的Q点,这些点的轨迹是 xx2+/my2+/=x2-2/=y2-2/2x2x-2/xxy=1 这是一个中心在O点的椭球,通常叫惯量椭球,如O为质心, 又叫中心惯量椭球

惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时, 刚体转 动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体上、并随着刚体一 同转动的动坐标系, 这样, 惯量系数都是常数． 显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除, 如在转动轴上, 截取线段 R I OQ = = 1 I 为刚体绕该轴的转动惯量, 则Q点的坐标将是 x = R, y = R,z = R 因过O点有很多转轴, 则有很多的Q点，这些点的轨迹是 2 2 2 1 2 2 2 I xx x + I yy y + I z z z − I yz yz − I z x zx − I xy x y = 这是一个中心在O点的椭球, 通常叫惯量椭球, 如O为质心, 又叫中心惯量椭球

椭球有三个主轴,如坐标轴选取与之重合,则惯量积消失 x2+Ⅰ I12J3称为O点上的主转动惯量此时, L=12i+12O+13k E @x+Lo,+Lo 2 椭球与主轴交点的位矢R的方向和椭球上该点法线 的方向重合.这是解析几何里求二次曲面主轴的方法 或线性代数里求本征值的方法.在力学里,大都是对称 的均匀刚体,而这种刚体的惯量主轴,则可根据对称性 很方便地求出

椭球有三个主轴, 如坐标轴选取与之重合, 则惯量积消失. 1 2 3 2 2 2 I1 x + I y + I z = I1 ,I2 ,I3称为O点上的主转动惯量. 此时, L I i I j I k x y z     = 1  + 2  + 3  ( ) 2 3 2 2 2 2 1 1 k x y z E = I  + I  + I  椭球与主轴交点的位矢R的方向和椭球上该点法线 的方向重合. 这是解析几何里求二次曲面主轴的方法, 或线性代数里求本征值的方法. 在力学里, 大都是对称 的均匀刚体, 而这种刚体的惯量主轴, 则可根据对称性 很方便地求出

二、刚体的平动与绕固定轴的转动 1平动 (a)是平动,(b)不是平动 y 0了 平动时刚体内所有点都有相同 的速度和加速度通常用质心的 日 运动来代表刚体整体的运动 2定轴转动 z 点的位矢是它和轴距离为R,如果在入迫 刚体绕固定轴轴转动时,刚体中任何 点P都在垂直于轴的平面内,即xy平 面内作圆周运动设在xy平面内,其一质 某一时刻,质点P的线速度为v则

1 平动 (a)是平动, (b)不是平动 平动时刚体内所有点都有相同 的速度和加速度. 通常用质心的 运动来代表刚体整体的运动. 二、刚体的平动与绕固定轴的转动 2 定轴转动 刚体绕固定轴z轴转动时, 刚体中任何 一点Pi , 都在垂直于z轴的平面内, 即xy平 面内作圆周运动. 设在xy平面内, 其一质 点的位矢是ri , 它和z轴距离为Ri , 如果在 某一时刻, 质点Pi的线速度为vi , 则

=0×.=aR 定轴转动,方向不变,则 air=vi= ro=ra ainD=RO=OV R a是角加速度在定轴转动中,它的指向与角速度相同 或相反,并且也是沿着同一条转动轴线 L 定轴转动的角动量定理为M l-G=l-a 有保守力作用的定轴转动的机械能为 Ⅰa-2+=E

i i v r    = 定轴转动, 方向不变, 则 i Ri v =      = = = = = = i i i i i n i i i i R v R v a a v R R      2 2   是角加速度. 在定轴转动中, 它的指向与角速度相同 或相反, 并且也是沿着同一条转动轴线. 定轴转动的角动量定理为 z z z z z z I I dt dL M = =  = 有保守力作用的定轴转动的机械能为 I z z +V = E 2 2 1 

3定轴转动时轴上的附加压力 g N BI F 刚体绕定轴转动可以看作等价 于空间两点A和B保持不动时刚体的 F 运动.显然是刚体受到了约束,可以 A 用动量定理和角动量定理来确定作 用在A、B两点上的约束反力 AYA N dSm(x,;2)N+NB)+∑F dt i=l d ∑m(y=-Ej)=-ABNB+∑ dt=l ∑m(二x一)=ABN+∑ dt i=l L2m,(x, j,-y=2M

3 定轴转动时轴上的附加压力 刚体绕定轴转动可以看作等价 于空间两点A和B保持不动时刚体的 运动. 显然是刚体受到了约束, 可以 用动量定理和角动量定理来确定作 用在A、B两点上的约束反力.   = = = + + n i A x y z B x y z i x y z n i mi xi yi zi N N F t 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 ( , , ) d d          = = = = = = − = − =  + − = −  + n i i z n i i i i i i n i B x i y n i i i i i i n i B y i x n i i i i i i m x y y x M t m z x z x AB N M t m y z z y AB N M t 1 1 1 1 1 1 ( ) d d ( ) d d ( ) d d      

因为x1=Rcos,y2=Rsin,x=C g 所以元 N BI F x, oo Vi =-x, O,yi =-vio +,o F 0, 0 A AYA N mx2-my2o=N4+Ns+∑F 最后一式是刚体绕定轴转 mo2+mxb=Nn,+NB2+∑F动的动力学方程,其余五 式,用来求约束反力 0=N+>F 如O=C=0前五式是 2-12=-ABN2+M1平衡方程,最后式子是平 1202-12=AB.NBx+M 衡条件,对应约束反力 是静力反作用力 Ⅰ=M

因为       i i i i i x = −y x = −x − y 2 , xi = Ri cos, yi = Ri sin ,zi = C 所以       i i i i i y = −x y = −y + x 2 , z  i = 0,  z  i = 0 z z z z x yz B x y yz z x B y x n i A z i z n i C C A y B y i y n i C C A x B x i x I M I I AB N M I I AB N M N F m y m x N N F m x m y N N F = − − =  + − = −  + = + − + = + + − − = + +    = = =               2 2 1 1 2 1 2 0 最后一式是刚体绕定轴转 动的动力学方程, 其余五 式, 用来求约束反力 如  =  = 0 前五式是 平衡方程, 最后式子是平 衡条件, 对应约束反力 是静力反作用力