第七章力法 教学目的 正确的判断静定结构和超静定结构 理解力法方程的物理意义; 掌握力法的基本概念及解题步骤; 能够应用力法求解超静定粱、刚架、排架、桁架在荷载作用下的内力 了解温度变化时的内力计算。 主要章节 §7-1超静定结构的组成和超静定次数 §7-2力法的基本概念 §7-3超静定刚架和排架 §7-4超静定桁架和组合结构 §7-5对称结构的计算 §7-6支座移动和温度改变时的计算 §7-7用求解器进行力法计算 §7-8小结 §7-9思考与讨论 §7-10习题 §7-11测验 三.学习指导 力法计算超静定结构主要是利用静定结构内力计算和位移计算来解决超静 定结构的内力计算,因此静定结构的内力计算和位移计算是本章的基础;由于力 法的计算量较大,本章的学习重点应是力法的基本方程的理解和应用,主要是不 超过三次超静定结构。 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P315~P384 §7-1超静定结构的组成和超静定次数 教学目的 正确理解超静定结构的概念和超静定的次数
第七章 力法 一. 教学目的 正确的判断静定结构和超静定结构; 理解力法方程的物理意义; 掌握力法的基本概念及解题步骤; 能够应用力法求解超静定粱、刚架、排架、桁架在荷载作用下的内力; 了解温度变化时的内力计算。 二. 主要章节 §7-1 超静定结构的组成和超静定次数 §7-2 力法的基本概念 §7-3 超静定刚架和排架 §7-4 超静定桁架和组合结构 §7-5 对称结构的计算 §7-6 支座移动和温度改变时的计算 §7-7 用求解器进行力法计算 §7-8 小结 §7-9 思考与讨论 §7-10 习题 §7-11 测验 三. 学习指导 力法计算超静定结构主要是利用静定结构内力计算和位移计算来解决超静 定结构的内力计算，因此静定结构的内力计算和位移计算是本章的基础；由于力 法的计算量较大，本章的学习重点应是力法的基本方程的理解和应用，主要是不 超过三次超静定结构。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P384 §7-1 超静定结构的组成和超静定次数 一. 教学目的 正确理解超静定结构的概念和超静定的次数;
能够正确确定超静定结构的次数 主要内容 1,超静定结构的组成 2超静定次数 三.学习指导 正确理解超静定结构的含义,理解超静定结构的几何特征和静力特征,可以 为今后的学习打下一个基础 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P315~P318 7.1.1超静定结构的组成 静定结构:结构的反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定(图 7 超静定结构:结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加 以确定(图7-1b)。 B (c) 图7 从几何组成分析中可知:静定结构和超静定结构都是几何不变体体系,而静 定结构没有多余的约束,超静定结构存在多余约束,将图7-1b中支座C去掉结 构仍为几何不变体系(图7-1C)。 结论: 满足平衡方程的内力解不唯一,几何上有多余约束,这就是超静定结构区别 于静定结构的基本特点。 超静定次数
能够正确确定超静定结构的次数。 二. 主要内容 1. 超静定结构的组成 2. 超静定次数 三. 学习指导 正确理解超静定结构的含义，理解超静定结构的几何特征和静力特征，可以 为今后的学习打下一个基础。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P318 7.1.1 超静定结构的组成 静定结构:结构的反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定(图 7-1a)。 超静定结构:结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加 以确定(图 7-1b)。 图 7-1 从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构都是几何不变体体系，而静 定结构没有多余的约束，超静定结构存在多余约束，将图 7-1b 中支座 C 去掉结 构仍为几何不变体系(图 7-1C)。 结论： 满足平衡方程的内力解不唯一，几何上有多余约束，这就是超静定结构区别 于静定结构的基本特点。 超静定次数
7.1.2超静定次数 超静定次数:超静定结构中多余约束的个数;也可以认为多余未知力的数目。 将超静定结构中多余约束去掉,可变为相应的静定结构,则去掉多余约束的 个数n即为原结构的超静定次数。 结构去掉多余约束的方式有以下几种 1.去掉一根支座链杆或切断一根链杆,等于去掉一个约束(图7-2) 2.去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰,等于去掉两个约束。 3.将刚性连接改为单铰,相当于去掉一个约束(图7-3) 4去掉一个固定端或切断一个粱式杆,等于去掉三个约束(图7-4) 图7-2 图7-3 对于一个超静定结构,去掉多余约束的方式可能有几种,但必须注意: 去掉多余约束后,一般应是几何不变的、静定的结构; 图7-2a、图7-3a、图7-4a结构的超静定次数分别为1、1、3 §7-2力法的基本概念 教学目的 正确理解力法的基本原理和思路、力法方程的物理含义,掌握力法的基本解 题过程,能够利用力法求解简单的超静定结构 二.主要内容 1.基本思路(1 基本思路
7.1.2 超静定次数 超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为多余未知力的数目。 将超静定结构中多余约束去掉，可变为相应的静定结构，则去掉多余约束的 个数 n 即为原结构的超静定次数。 结构去掉多余约束的方式有以下几种： 1.去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束(图 7-2)。 2.去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰，等于去掉两个约束。 3.将刚性连接改为单铰，相当于去掉一个约束(图 7-3)。 4.去掉一个固定端或切断一个粱式杆，等于去掉三个约束(图 7-4)。 图 7-2 图 7-3 图 7-4 对于一个超静定结构，去掉多余约束的方式可能有几种，但必须注意： 去掉多余约束后，一般应是几何不变的、静定的结构；。 图 7-2a、图 7-3a、图 7-4a 结构的超静定次数分别为 1、1、3。 §7-2 力法的基本概念 一. 教学目的 正确理解力法的基本原理和思路、力法方程的物理含义，掌握力法的基本解 题过程，能够利用力法求解简单的超静定结构。 二. 主要内容 1. 基本思路(1) 2. 基本思路(2)
3.基本思路(3) 2。超静定结构的计算(U 2。超静定结构的计算(2) 三.学习指导 本节内容是通过简单的实例揭示力法的基本原理,对于今后的学习力法是一 个基础,学习的关键是对力法原理的理解和应用,一定要正确理解力法方程的物 理意义,才能最终达到融会贯通的目的。 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P318~P323 7.2.1基本思路(1) 力法是计算超静定结构的最基本方法 力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题 下面结合实例说明力法的基本思路和原理 图7-5a为一次超静定结构,如果撤去B处的支座链杆并用未知力石代替 变成了图7-5b所示的静定结构,这样就得到了含有多余未知力的静定结构,此 结构称为力法的基本体系(基本体系并不唯一)。相应的把原超静定结构中多余 约束和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构图7-5c 原结构 基本体系 基本结构
3. 基本思路(3) 4. 基本思路(4) 2. 超静定结构的计算(1) 2. 超静定结构的计算(2) 三. 学习指导 本节内容是通过简单的实例揭示力法的基本原理，对于今后的学习力法是一 个基础，学习的关键是对力法原理的理解和应用，一定要正确理解力法方程的物 理意义，才能最终达到融会贯通的目的。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P318～P323 7.2.1 基本思路(1) 力法是计算超静定结构的最基本方法。 力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。 下面结合实例说明力法的基本思路和原理 图 7-5a 为一次超静定结构，如果撤去 B 处的支座链杆并用未知力 X1 代替 变成了图 7-5b 所示的静定结构，这样就得到了含有多余未知力的静定结构，此 结构称为力法的基本体系（基本体系并不唯一）。相应的把原超静定结构中多余 约束和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构图 7-5c
图7 这样通过把多余约束去掉用多余未知力来代替,将超静定结构变为静定结 构,解题的关键就是多余未知力的求解问题,这也是力法的第一个特点 把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键,把多余未知力当作关键地 位的未知力力法的基本未知量 下面将讨论如何建立力法方程来求解基本未知量 7.2.2基本思路(2) 为了求解多余的未知力,显然静力平衡方程式不能够求解,必须建立新的方 程 原结构 基本体系 基本结构 图7-5 下面将通过对原结构和基本体系进行受力和变形对比,从而建立力法方程 从受力上看,当基本未知量M为任意有限值时,基本体系和原结构都满足的 平衡方程 从变形上看,原结构由于支座B的支承,因此,不会发生竖向位移。而基 本体系B处的竖向位移与基本未知量石有关,只有当基本未知量石为某一值 时,基本体系B处的竖向位移41恰好等于零,即不发生竖向位移,这时基本 体系的变形也与原结构的变形相同。于是,可以根据41=0的条件来确定基本 未知量的大小,所求的M就是原结构多余约束的反力
图 7-5 这样通过把多余约束去掉用多余未知力来代替，将超静定结构变为静定结 构，解题的关键就是多余未知力的求解问题，这也是力法的第一个特点： 把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键，把多余未知力当作关键地 位的未知力----力法的基本未知量 下面将讨论如何建立力法方程来求解基本未知量 继续 7.2.2 基本思路(2) 为了求解多余的未知力，显然静力平衡方程式不能够求解，必须建立新的方 程。 图 7-5 下面将通过对原结构和基本体系进行受力和变形对比，从而建立力法方程。 从受力上看，当基本未知量 X1 为任意有限值时,基本体系和原结构都满足的 平衡方程。 从变形上看，原结构由于支座 B 的支承，因此，不会发生竖向位移。而基 本体系 B 处的竖向位移与基本未知量 X1 有关，只有当基本未知量 X1 为某一值 时，基本体系 B 处的竖向位移 Δ1 恰好等于零，即不发生竖向位移，这时基本 体系的变形也与原结构的变形相同。于是，可以根据 Δ1 =0 的条件来确定基本 未知量 X1 的大小，所求的 X1 就是原结构多余约束的反力
归纳起来力法的基本思路就是: 第一步:去掉原结构的多余约束,代之以多余未知力,得到静定的基本体系。 第二步:基本体系和原结构的变形相同,特别是基本体系上与多余未知力相 应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致,这是确定多余未知力大 小的依据。一般情况下,当原结构上在多余约束处没有支座位移时,则基本体系 应满足的变形条件是:与多余未知力相应的位移为零。 下面按照以上思路具体求解图7-5a所示的超静定结构。 7.2.3基本思路(3) A EI XTB B A B 图 根据以上分析图7-5b所示的基本体系应满足的变形条件是:沿多余未知力 方向的位移41为零,即 A1=0 利用叠加原理计算基本体系的位移41并用基本未知量表示。 图7-6a为基本体系在荷载和多余未知力共同作用,图(b)、(c)则分 别是两者单独作用的状态,图(d)、(e)、(f)则是相应的变形图。 利用叠加原理,上述变形条件可表述为 这里Δ1是基本体系上多余未知力方向的位移(图7-6d),△P是基本结 构在实际荷载作用下沿多余未知力五方向的位移(图7-6e),△u是基本结构 在多余未知力M单独作用下沿多余未知力M方向的位移(图7-6f),位移与多 余未知力方向一致时为正。 由于位移△1与多余未知力成正比,可以写成
归纳起来力法的基本思路就是： 第一步：去掉原结构的多余约束，代之以多余未知力，得到静定的基本体系。 第二步：基本体系和原结构的变形相同，特别是基本体系上与多余未知力相 应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致，这是确定多余未知力大 小的依据。一般情况下，当原结构上在多余约束处没有支座位移时，则基本体系 应满足的变形条件是：与多余未知力相应的位移为零。 下面按照以上思路具体求解图 7-5a 所示的超静定结构。 7.2.3 基本思路(3) 图 7-6 根据以上分析图 7-5b 所示的基本体系应满足的变形条件是：沿多余未知力 X1 方向的位移 Δ1 为零，即 Δ1 =0 利用叠加原理计算基本体系的位移 Δ1 并用基本未知量表示。 图 7-6a 为基本体系在荷载和多余未知力 X1 共同作用，图 (b)、(c) 则分 别是两者单独作用的状态，图 (d)、(e)、(f) 则是相应的变形图。 利用叠加原理，上述变形条件可表述为： Δ1 = Δ1P + Δ11=0 这里 Δ1 是基本体系上多余未知力 X1 方向的位移(图 7-6d)，Δ1P 是基本结 构在实际荷载作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图 7-6e)， Δ11 是基本结构 在多余未知力 X1 单独作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图 7-6f)，位移与多 余未知力方向一致时为正。 由于位移 Δ11与多余未知力 X1 成正比 ，可以写成 Δ11=δ11X1
6n表示单位未知力M=1的作用,使基本结构在多余未知力方向产生的 位移,于是变形条件可写成 611X 这个方程叫作力法典型方程,它体现了是基本体系恢复到原超静定结构的转 化条件。式中的系数由单位荷载法进行计算 下面将具体进行计算 7.2.4基本思路(4) (a)a 114 X,B 图7-6 根据分析确定了力法典型方程:δ1X+△P=0 为了计算δ1、Δ1,做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩羼(图7-7b)和 单位未知力=1的作用下的单位弯矩图M(图7-7c)。 M图 MM图 图7-7
δ11表示单位未知力 X1 =1 的作用，使基本结构在多余未知力 X1 方向产生的 位移，于是变形条件可写成 δ11X1 + Δ1P =0 这个方程叫作力法典型方程，它体现了是基本体系恢复到原超静定结构的转 化条件。式中的系数由单位荷载法进行计算。 下面将具体进行计算 7.2.4 基本思路(4) 图 7-6 根据分析确定了力法典型方程：δ11X1 + Δ1P =0 为了计算 δ11、 Δ1P ，做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩 MP (图 7-7b)和 单位未知力 X1 =1 的作用下的单位弯矩图 M1 (图 7-7c)。 图 7-7
应用图乘法得到 M 3g4 E32 4 S..M,M El 1(1x13-38 El 代入力法方程 XI 多余未知力求出后,利用平衡条件求原结构的内力计算结果如图7-7a,弯矩 图也可以应用叠加公式计算 M=M,X,+Mp 力法的基本思路:将超静定结构的计算转化为静定结构的计算,首先选择基 本结构和基本体系,然后利用基本体系与原结构之间在多余约束方向的位移一 致性和变形叠加列出力法典型方程,最后求出多余未知力和原结构的内力。 下而讨论一般情况下的力法典型方程 7.2.5多次超静定结构的计算(1) 图7-8为一个二次超静定结构,如图选择基本体系和基本结构 原结构 基本体系 图7-8 利用原结构与基本体系的在结点C沿M和易方向的位移相同的条件
应用图乘法得到 代入力法方程 多余未知力求出后,利用平衡条件求原结构的内力计算结果如图 7-7a，弯矩 图也可以应用叠加公式计算: 力法的基本思路：将超静定结构的计算转化为静定结构的计算，首先选择基 本结构和基本体系，然后利用基本体系与原结构之间在多余约束方向的位移一 致性和变形叠加列出力法典型方程，最后求出多余未知力和原结构的内力。 下面讨论一般情况下的力法典型方程 7.2.5 多次超静定结构的计算(1) 图 7-8 为一个二次超静定结构，如图选择基本体系和基本结构。 图 7-8 利用原结构与基本体系的在结点 C 沿 X1 和 X2 方向的位移相同的条件
△2=0 这里41和2分别是基本体系沿M和石方向的位移 荷载单独作用及变形图 011 =1及变形图 X2=1作用及变形图 图7-9
这里 Δ1 和 Δ2 分别是基本体系沿 X1 和 X2 方向的位移。 图 7-9
下面应用叠加原理把变形条件展开,分别计算荷载、K=1和=1单独作 用时在M和石方向的位移,如图7-9 位移的表示采用双下标,第一个下标表示位移的位置和方向,第二个下标表 示产生的原因。 于是可得 61K1+612x2+△ △2=2141+622X2+△2P 变形条件即为 611+E12x2+△1P=0 E211+22+△2P=0 这也是两次超静定结构的力法基本方程。 多余未知力求出后,利用叠加原理可绘制弯矩图,具体计算为 M=M,Y,+M2X,+Mp 下而讨论n次超静定的情形。 7.2.6多次超静定结构的计算(2) 若结构为n次超静定,则与n个多余约束相对应,基本体系上就有n个 多余的未知力M、、,则力法典型方程为 611+2X2+…+1:+…+12x+△1P=0 6211+△2x2+…+2x2+…+2x2+△2P=0 6n1+B2x2+…+22+…+2x+△xP=0 根据位移互等定理:8萨=δj 5表示单位力=1在基本结构沿方向产生的位移,△表示在基本结构 实际荷载沿着方向产生的位移。6又称为柔度系数 将方程的柔度系数写成矩阵形式 这个矩阵称为柔度矩阵,其中,主对角线上的系数为主系数,主系数都为正 值,根据位移互等定理,柔度矩阵为一对角矩阵
下面应用叠加原理把变形条件展开 ，分别计算荷载、X1=1 和 X2=1 单独作 用时在 X1 和 X2 方向的位移,如图 7-9。 位移的表示采用双下标，第一个下标表示位移的位置和方向，第二个下标表 示产生的原因。 于是可得： 变形条件即为 这也是两次超静定结构的力法基本方程。 多余未知力求出后，利用叠加原理可绘制弯矩图，具体计算为 下面讨论 n 次超静定的情形。 7.2.6 多次超静定结构的计算(2) 若结构为 n 次超静定，则与 n 个多余约束相对应，基本体系上就有 n 个 多余的未知力 X1、X2、X3 ...... Xn，则力法典型方程为 根据位移互等定理：δij=δji δij 表示单位力 Xj =1 在基本结构沿 Xi 方向产生的位移，ΔiP 表示在基本结构 实际荷载沿 Xi 方向产生的位移。δij 又称为柔度系数。 将方程的柔度系数写成矩阵形式： 这个矩阵称为柔度矩阵，其中，主对角线上的系数为主系数，主系数都为正 值，根据位移互等定理，柔度矩阵为一对角矩阵