第四章静定结构总论 1.学习要求 本章是从整体上分析静定结构的受力特点,同时补充了一些分析方法,是对 上一章内容的总结和补充。通过对本章的学习,提高对静定各种结构的分析方法 和认识,为结构设计选取合理的结构打下良好的基础。 2.主要内容 §4-1隔离体方法及其截取顺序的优选 §4-2几何构造分析与受力分析之间的对偶关系 §4-3刚体体系的虚功原理((2(3) §4-4静定结构的一般性质 §4-5各种结构形式的受力特点 §4-6用求解器求解静定结构 §4-7小结 §4-8思考与讨论 3.学习指导 本章内容的学习要以第三章为基础,因此要在掌握了静定结构的内力计算以 后在学习本章。由于静定结构的分析是以静力平衡方程为基础,静力平衡方程的 可解性是分析的关键。 4.参考资料 《结构力学教程(I)》P153~P185 §4-1隔离体方法及其截取顺序的优选 隔离体的形式、约束力及其平衡方程 静定结构的内力分析的关键是选取适当的隔离体,利用静定平衡方程进行求 1.隔离体的形式 隔离体的形式有:结点(铰结点、刚结点、组合结点)、杆件、刚片、杆件 微单元。 桁架的隔离体:一个结点、多个结点 刚架的隔离体:杆件、刚结点、铰结点
第四章 静定结构总论 1. 学习要求 本章是从整体上分析静定结构的受力特点，同时补充了一些分析方法，是对 上一章内容的总结和补充。通过对本章的学习，提高对静定各种结构的分析方法 和认识，为结构设计选取合理的结构打下良好的基础。 2. 主要内容 §4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选 §4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系 §4-3 刚体体系的虚功原理 (1) (2) (3) §4-4 静定结构的一般性质 §4-5 各种结构形式的受力特点 §4-6 用求解器求解静定结构 §4-7 小结 §4-8 思考与讨论 3. 学习指导 本章内容的学习要以第三章为基础，因此要在掌握了静定结构的内力计算以 后在学习本章。由于静定结构的分析是以静力平衡方程为基础，静力平衡方程的 可解性是分析的关键。 4. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P153～P185。 §4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选 一. 隔离体的形式、约束力及其平衡方程 静定结构的内力分析的关键是选取适当的隔离体，利用静定平衡方程进行求 解。 1. 隔离体的形式 隔离体的形式有：结点（铰结点、刚结点、组合结点）、杆件、刚片、杆件 微单元。 桁架的隔离体：一个结点、多个结点。 刚架的隔离体：杆件、刚结点、铰结点
2.约束力的类型 截断链杆 一个轴力 截断简单铰结 两个约束反力 截断刚结点 >三个约束反力 3.平面可解条件 (1)独立方程的个数等于隔离体的自由度的个数。 (2)n个未知力,但有n-1个未知力汇交于一点或者平行,可求出第n个 力 此两条是优先选择隔离体的关键,应当正确理解和掌握。 计算的简化和隔离体的截取顺序 1.直接能够利用方程求解 2.选择合理的矩心和坐标轴,避免联合求解,矩心选在未知力的交点处, 作标轴与未知力平行或垂直 3.简化杆件的受力,合理的判断出二力杆、零杆。 4.利用对称结构的计算。 5.通过几何组成分析,正确理解结构的组成规律,选择合理的解题顺序, 解题顺序与组成顺序相反。 §4-2几何构造分析与受力分析之间的对偶关系 从计算自由度W得力学含义和几何含义看对偶关系 计算自由度W=各部件的自由度总数-全部约束数 由于约束与约束力之间存在着一定的相应关系: 计算自由度W=各部件的平衡方程数-未知力总数(重点理解) 因此,可得到一下结论 (1)W>0,结构为几何可变体系 (2)W<0,结构为超静定,平衡方程组有解,则解为无穷多个。 (3)W=0,平衡方程数等于未知力个数 平衡方程的解有方程组的系数行列式D决定: D<〉0,方程有唯一的解,结构为几何不变体,且无多余的约束。 0,方程在一般荷载下无解,在特殊情况下有无穷多个解,结构为 瞬变体系
2. 约束力的类型 截断链杆 -----> 一个轴力 截断简单铰结 -----> 两个约束反力 截断刚结点 -----> 三个约束反力 3. 平面可解条件 (1) 独立方程的个数等于隔离体的自由度的个数。 (2) n 个未知力，但有 n -1 个未知力汇交于一点或者平行，可求出第 n 个 力。 此两条是优先选择隔离体的关键，应当正确理解和掌握。 二. 计算的简化和隔离体的截取顺序 1. 直接能够利用方程求解。 2. 选择合理的矩心和坐标轴，避免联合求解，矩心选在未知力的交点处， 作标轴与未知力平行或垂直。 3. 简化杆件的受力，合理的判断出二力杆、零杆。 4. 利用对称结构的计算。 5. 通过几何组成分析，正确理解结构的组成规律，选择合理的解题顺序， 解题顺序与组成顺序相反。 §4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系 一. 从计算自由度 W 得力学含义和几何含义看对偶关系 计算自由度 W = 各部件的自由度总数 - 全部约束数 由于约束与约束力之间存在着一定的相应关系： 计算自由度 W = 各部件的平衡方程数 - 未知力总数（重点理解） 因此，可得到一下结论： (1) W > 0，结构为几何可变体系. (2) W 0 ，方程有唯一的解，结构为几何不变体，且无多余的约束。 D = 0 ，方程在一般荷载下无解，在特殊情况下有无穷多个解，结构为 瞬变体系
§4-3刚体体系的虚功原理 虚功原理 虚功原理的表达形式有多种多样,对于理想约束的刚体体系可描述如下: 设刚体上作用任意的平衡力系,又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体 体系位移,则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。 虚功原理的关键:平衡力系与位移的相互独立性,二者都可以进行假设,根 据不同的问题进行不同的假设。 本节是利用假设的位移进行求解未知力。 下面通过实例 来理解刚体体系的 虚功原理. 图示4-1a是 几何可变体系,已 知力P,为了平衡 是求力F的大小 虚设一位移状 态图4-1b,位移的 图4-1a 假设应与荷载相一 根据虚功原理, B 可以通过以下计算 求出力F 图4-1b 2△p-Fx△x=0 Fx=Fp 特点: 1.位移是假设的; 2.解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系; 3.采用几何几何的方法求解静力平衡问题
§4-3 刚体体系的虚功原理 一. 虚功原理 虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下： 设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体 体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。 虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根 据不同的问题进行不同的假设。 本节是利用假设的位移进行求解未知力。 下面通过实例 来理解刚体体系的 虚功原理. 图示 4-1a 是一 几何可变体系，已 知力 P ，为了平衡 是求力 F 的大小。 虚设一位移状 态图 4-1b，位移的 假设应与荷载相一 致。 根据虚功原理, 可以通过以下计算 求出力 F : 图 4-1a 图 4-1b 特点: 1. 位移是假设的； 2. 解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系； 3. 采用几何几何的方法求解静力平衡问题
§4-3刚体体系的虚功原理 二.应用虚功原理求静定结构的约束力—单位支座位移法 虚功原理的关键是存在两种状态:力状态、位移状态 力状态:结构的实际受力的同时,再加上所求的约束反力。 位移状态:在所求约束反力的方向上产生相应的位移。 由于在位移状态时约束已经去掉,结构则变成可变体系(机构)。 刚体体系的虚功原理可用如下方法进行: (1)解除欲求约束反力的约束,用相应的约束反力Fx来代替,同时,结构则相 应的变为机构 (2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移,设未知力Fx和主动荷 载FP相应的位移分别是△x和△p,利用虚功原理可得: ∑24x+∑24p=0 (3)求出△x和AP之间的相互关系,即可求得Fx: 2=24 (4)为了计算方便,假设△x=1,此时,AP则用δP表示。 ∑Fp 以上的关键是虚设位移状态,及其各种位移的关系。由于Δx=1,所以又称 单位支座位移法。 实例分析 §4-3刚体体系的虚功原理 三.实例分析 求图4-2a所示简支粱支座B的支反力及截面C处的弯矩
§4-3 刚体体系的虚功原理 二. 应用虚功原理求静定结构的约束力----单位支座位移法 虚功原理的关键是存在两种状态：力状态、位移状态。 力状态：结构的实际受力的同时，再加上所求的约束反力。 位移状态：在所求约束反力的方向上产生相应的位移。 由于在位移状态时约束已经去掉，结构则变成可变体系（机构）。 刚体体系的虚功原理可用如下方法进行： (1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力 FX 来代替,同时,结构则相 应的变为机构. (2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力 FX 和主动荷 载 FP 相应的位移分别是 ΔX 和 ΔP ，利用虚功原理可得： (3)求出 ΔX 和 ΔP 之间的相互关系，即可求得 FX ： (4)为了计算方便，假设 ΔX = 1 ，此时， ΔP 则用 δP 表示。 以上的关键是虚设位移状态，及其各种位移的关系。由于 ΔX = 1，所以又称 单位支座位移法。 实例分析 §4-3 刚体体系的虚功原理 三. 实例分析 求图 4-2a 所示简支粱支座 B 的支反力及截面 C 处的弯矩
10kNAn B 10kN/m 44414444144414 Al4444 4444444444 441444 A M. B (a) 图4-2 (1)求支座B的支反力R。 力状态:将支座B去掉,用支反力R代替,同时也变成几何可变体系(图 4-2-b)。 位移状态:在支座B处设一竖向位移1,AB杆成斜线(图4-2-c)。 则:支反力的虚功为R 均不荷载的虚功为: q ydx=10 -xdx=25 于是可得 Fn= 25KN (2)求R截面处的弯矩M 力状态:撤除与弯矩相应的约束,将截面C由刚接改为铰接,注意C截面的 弯矩为一对大小相等,方向相反的力偶组成(图4-2d) 位移状态:设C处的竖向位移为1,则AC、BC段的转角分别为:
图 4-2 解: (1)求支座 B 的支反力 R 。 力状态：将支座 B 去掉，用支反力 R 代替，同时也变成几何可变体系（图 4-2-b）。 位移状态：在支座 B 处设一竖向位移 1， AB 杆成斜线（图 4-2-c）。 则：支反力的虚功为 1R ； 均不荷载的虚功为： (2)求 R 截面处的弯矩 M 力状态：撤除与弯矩相应的约束，将截面 C 由刚接改为铰接，注意 C 截面的 弯矩为一对大小相等，方向相反的力偶组成（图 4-2d）。 位移状态 ：设 C 处的竖向位移为 1，则 AC 、 BC 段的转角分别为：
3 日= 梁AC段的均布荷载的虚功为 xx=10/11 2×3 15 梁BC段的均布荷载的虚功为 xdx =10 矩的虚功为:-M(a+)=-6M M= 30kN. m §4-4静定结构的一般性质 本节主要是简单介绍静定结构的一般性质,以后通过超静定结构的学习,将 进一步分析其性质。 温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力 由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变,只引起 结构形状的改变,因此不引起内力。 静定结构的局部平衡特性 在荷载作用下,如果仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡,则 其余部分的内力必为零。 事实上,多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分;桁架中的零杆的 判断,都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。 当然,局部平衡可以是几何不变体,也可以是几何可变体。 三.静定结构的荷载等效性 当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时,其余部分的内 力不变。 四.静定结构的构造变换特性 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时,其余部分的内力不变。 §4-5各种结构形式的受力特点
§4-4 静定结构的一般性质 本节主要是简单介绍静定结构的一般性质,以后通过超静定结构的学习，将 进一步分析其性质。 一. 温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力 由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变，只引起 结构形状的改变，因此不引起内力。 二. 静定结构的局部平衡特性 在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡，则 其余部分的内力必为零。 事实上，多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分；桁架中的零杆的 判断，都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。 当然，局部平衡可以是几何不变体，也可以是几何可变体。 三. 静定结构的荷载等效性 当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内 力不变。 四. 静定结构的构造变换特性 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。 §4-5 各种结构形式的受力特点
考虑结构的受力特点,应主要从结构的轴力和弯矩进行分析,在无弯矩的情 况下,轴力在截面上时均匀分布,能够充分利用材料的强度;而弯矩产生的应力 在截面上为三角形分布,没有充分利用材料的强度,因此,在结构的受力特点分 析中主要考虑结构中的弯矩的分布及最大值 经过计算,在相同跨度和相同荷载下,简支粱的弯矩最大,伸臂粱、静定多 跨粱、三铰刚架、组合结构的弯矩次之,而桁架结构的弯矩为零,基于此在工程 中简支粱多用于小跨度结构;伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构可用于 较大跨度的结构;而大跨度结构通常采用桁架结构或者拱结构。 在实际工程中,处考虑受力特点之外,欢迎考虑结构的施工、几何特点、构 造本身,如:简支粱结构简单,施工方便,桁架结构便于进行安装,但杆件较多, 结点构造比较复杂。 §4-6用求解器求解静定结构 利用结构力学求解器可以自动求解静定结构的结构的内力、位移,在应用结 构力学求解器时,要注意内力的画法及其正负号的规定 (1)弯矩图画在杆件受拉纤维的一边局部坐标灭0一侧的弯矩图标为正号; 2)剪力正负号是以绕微段隔离体顺时针转动者为正,正剪力画在局部坐标 y>0一侧 (3)轴力以受拉为正,正轴力画在局部坐标少0一侧 利用求解器求解的主要程序已在相关的章节中进行分析 下面简单进行说明 1.在“命令”菜单下,输入结点、单元、约束条件、荷载条件,最终形成 一个结构。如果进行位移计算时还要输入单元材料性质 2.在“求解”菜单下,选择“内力计算”,求解器打开“内力计算”对话 框,“内力显示”组中选择“结构”,再选择“弯矩”,观览器中显示结构的弯 矩图。 3.在观览器中,可以进行设置,调节图形的幅值。 §4-7小结 1.静定结构各种受力分析方法的比较 静定结构的受力分析方法有两类
考虑结构的受力特点，应主要从结构的轴力和弯矩进行分析，在无弯矩的情 况下，轴力在截面上时均匀分布，能够充分利用材料的强度；而弯矩产生的应力 在截面上为三角形分布，没有充分利用材料的强度，因此，在结构的受力特点分 析中主要考虑结构中的弯矩的分布及最大值。 经过计算，在相同跨度和相同荷载下，简支粱的弯矩最大，伸臂粱、静定多 跨粱、三铰刚架、组合结构的弯矩次之，而桁架结构的弯矩为零，基于此在工程 中简支粱多用于小跨度结构；伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构可用于 较大跨度的结构；而大跨度结构通常采用桁架结构或者拱结构。 在实际工程中，处考虑受力特点之外，欢迎考虑结构的施工、几何特点、构 造本身，如：简支粱结构简单，施工方便，桁架结构便于进行安装，但杆件较多， 结点构造比较复杂。 §4-6 用求解器求解静定结构 利用结构力学求解器可以自动求解静定结构的结构的内力、位移，在应用结 构力学求解器时，要注意内力的画法及其正负号的规定： (1)弯矩图画在杆件受拉纤维的一边，局部坐标 y0 一侧； (3)轴力以受拉为正，正轴力画在局部坐标 y>0 一侧。 利用求解器求解的主要程序已在相关的章节中进行分析。 下面简单进行说明： 1. 在“命令”菜单下，输入结点、单元、约束条件、荷载条件，最终形成 一个结构。如果进行位移计算时还要输入单元材料性质。 2. 在“求解”菜单下，选择“内力计算”，求解器打开“内力计算”对话 框，“内力显示”组中选择“结构”，再选择“弯矩”，观览器中显示结构的弯 矩图。 3. 在观览器中，可以进行设置，调节图形的幅值。 §4-7 小结 1. 静定结构各种受力分析方法的比较 静定结构的受力分析方法有两类:
(1)取隔离体,建立平衡方程的方法。 (2)虚设位移,建立虚功方程的方法。 第一,要对每一类方法深入学习,学懂学会。第二,要把两类方法合在一起, 加以研究和比较:了解两类方法的本质区别以及各自的优缺点。 2.几何构造分析与受力分析之间的联系 学习过程经常是首先分门别类的学,然后融会贯通的想,综合优先的用。 几何构造分析与受力分析要将两部分融会贯通起来,掌握两者之间的对偶关 系,并能灵活的交叉应用。 隔离体截取顺序的优选正是借鉴几何构造分析的知识,用以指导受力分析方 法的优选。 3.与静定结构各种特性相贯通的基本特性 静定结构的基本特性是:在静定结构中,满足平衡条件的内力解答是存在的, 而且是唯一的。此基本特性派生了静定结构的四条普遍性质。 4.评价各种结构型式受力特性的一个基本观点 各种结构的受力特点已经作了对比,如何评价结构型式的合理性,要从受力 特性、施工、经济等方面综合考虑,而从受力特性的角度看,一个基本的观点就 是要设法“材尽其用”,尽量减少弯矩峰值,尽量接近无弯矩状态这一理想境界。 §4-8思考与讨论 1.如何才能避免联合解平衡方程组? 2.如何理解平衡方程无解和无穷多个解的概念 3.虚功原理中,位移的假设是否是任意的? 4.利用虚功原理能否求解多个约束力? 为什么温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内 力 6.为什么当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时,其 余部分的内力不变?
(1)取隔离体，建立平衡方程的方法。 (2)虚设位移，建立虚功方程的方法。 第一，要对每一类方法深入学习，学懂学会。第二，要把两类方法合在一起， 加以研究和比较：了解两类方法的本质区别以及各自的优缺点。 2. 几何构造分析与受力分析之间的联系 学习过程经常是首先分门别类的学，然后融会贯通的想，综合优先的用。 几何构造分析与受力分析要将两部分融会贯通起来，掌握两者之间的对偶关 系，并能灵活的交叉应用。 隔离体截取顺序的优选正是借鉴几何构造分析的知识，用以指导受力分析方 法的优选。 3. 与静定结构各种特性相贯通的基本特性 静定结构的基本特性是：在静定结构中，满足平衡条件的内力解答是存在的， 而且是唯一的。此基本特性派生了静定结构的四条普遍性质。 4. 评价各种结构型式受力特性的一个基本观点 各种结构的受力特点已经作了对比，如何评价结构型式的合理性，要从受力 特性、施工、经济等方面综合考虑，而从受力特性的角度看，一个基本的观点就 是要设法“材尽其用”，尽量减少弯矩峰值，尽量接近无弯矩状态这一理想境界。 §4-8 思考与讨论 1. 如何才能避免联合解平衡方程组？ 2. 如何理解平衡方程无解和无穷多个解的概念？ 3. 虚功原理中，位移的假设是否是任意的？ 4. 利用虚功原理能否求解多个约束力？ 5. 为什么温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内 力？ 6. 为什么当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其 余部分的内力不变？
