第五章影响线 教学目的 通过本章的学习,理解影响线的概念,能够正确的画出结构的影响线,利用 影响线能够求出相应结构的最不利荷载位置。 主要章节 §5-1移动和荷载影响线的概念 §5-2静力法作简支粱的影响线 §5-3结点荷载作用下粱的影响线 §5-4静力法作桁架的影晌线 §5-5机动法作影响线 §5-6影响线的应用 §5-7用求解器计算结构的影响线 §5-9思考与讨论 §5-10习题 §5-11测验 三.学习指导 本章所学的内容与前几章所学内容有一个最大的不同,本章主要讨论的是结 构在移动荷载作用下的内力计算以及内力随荷载移动的变化规律,计算的方法依 然是静力平衡的方法,学习时应注意与以前所学的共同点和不同点。 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P187~226 §5-1移动载荷和影响线的概念 移动荷载 结构所承受的荷载作用点在结构上是移动的 桥梁上承受火车、汽车和走动的人群等荷载:厂房中的吊车粱承受的吊车荷 载等都是移动荷载。 影响线的概念
第五章 影响线 一. 教学目的 通过本章的学习，理解影响线的概念，能够正确的画出结构的影响线，利用 影响线能够求出相应结构的最不利荷载位置。 二. 主要章节 §5-1 移动和荷载影响线的概念 §5-2 静力法作简支粱的影响线 §5-3 结点荷载作用下粱的影响线 §5-4 静力法作桁架的影响线 §5-5 机动法作影响线 §5-6 影响线的应用 §5-7 用求解器计算结构的影响线 §5-8 小结 §5-9 思考与讨论 §5-10 习题 §5-11 测验 三. 学习指导 本章所学的内容与前几章所学内容有一个最大的不同，本章主要讨论的是结 构在移动荷载作用下的内力计算以及内力随荷载移动的变化规律，计算的方法依 然是静力平衡的方法，学习时应注意与以前所学的共同点和不同点。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P187～226 §5-1 移动载荷和影响线的概念 一. 移动荷载 结构所承受的荷载作用点在结构上是移动的。 桥梁上承受火车、汽车和走动的人群等荷载；厂房中的吊车粱承受的吊车荷 载等都是移动荷载。 二. 影响线的概念
工程中的移动荷载是多种多样的,不可能针对每一个结构在各种移动荷载作 用下产生的效果进行一一的分析,研究移动荷载对结构各种力学物理量的变化规 律。一般只需研究具有典型意义的一个竖向单位集中荷载FP=1沿结构移动时, 某一量值(内力、支反力等)的变化规律,再利用叠加原理,求出移动荷载对结 构某一量值的影响。 影响线:单位移动荷载作用下,结构上某一量值z的变化规律的图形称为 该量值Z的影响线。 §5-2静力法作简支粱的影响线 教学目的 本节是利用静力平衡的方法,以荷载的作用位置坐标为变量,确定某一量值 的影响函数,从而确定影响线。通过本章的学习,能够正确理解影响线的概念, 并能应用静力法做出简支粱的影响线。 主要内容 1支座反力的影响线 2。剪力影响线 3.弯矩影响线 学习指导 影响线的关键是理解变量的意义和水平坐标、纵坐标的物理意义,数学方法 相对比较简单容易掌握 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P188~192 5.2.1支座反力的影响线 现先研究如何确定图5-1a所示简支粱支座反力的影响线 以粱的支座A为原点,以荷载的作用点到A的距离为变量 由图可知,当荷载由一端A移到另一端B时,变量由0变到l。 由平衡方程求支反力的大小: ∑M2=0F32-F2(-x)=0 ≤X≤
工程中的移动荷载是多种多样的，不可能针对每一个结构在各种移动荷载作 用下产生的效果进行一一的分析，研究移动荷载对结构各种力学物理量的变化规 律。一般只需研究具有典型意义的一个竖向单位集中荷载 FP = 1 沿结构移动时， 某一量值（内力、支反力等）的变化规律，再利用叠加原理，求出移动荷载对结 构某一量值的影响。 影响线：单位移动荷载作用下，结构上某一量值 Z 的变化规律的图形称为 该量值 Z 的影响线。 §5-2 静力法作简支粱的影响线 一. 教学目的 本节是利用静力平衡的方法，以荷载的作用位置坐标为变量，确定某一量值 的影响函数，从而确定影响线。通过本章的学习，能够正确理解影响线的概念， 并能应用静力法做出简支粱的影响线。 二. 主要内容 1. 支座反力的影响线 2. 剪力影响线 3. 弯矩影响线 三. 学习指导 影响线的关键是理解变量的意义和水平坐标、纵坐标的物理意义，数学方法 相对比较简单容易掌握。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P188～192 5.2.1 支座反力的影响线 现先研究如何确定图 5-1a 所示简支粱支座反力的影响线。 以粱的支座 A 为原点，以荷载的作用点到 A 的距离为变量。 由图可知，当荷载由一端 A 移到另一端 B 时，变量由 0 变到 l 。 由平衡方程求支反力的大小：
FRA与FP正比,比例系数(x)称为FRA的影响系数,用2R表示,即 a-x (0≤x≤l) Fp 0 图 利用函数关系画出支座A的支反力的影响线(图5-1b)。 5.2.2剪力影响线 计算图5-2a所示截面C处的剪力的影响系数,并做出剪力影响线 由于移动荷载有可能在截面的左侧,也可能在截面的右侧,因此,应对以上 两种情况分别进行考虑。 1.移动荷载在截面的左侧 Fc=(0≤x≤a) 2.移动荷载在截面的右侧 Foc FRA X (a≤x≤) 利用函数关系画出截面C处剪力的影响线图5-2b
FRA 与 FP 正比，比例系数 (l-x)/l 称为 FRA 的影响系数，用 表示，即： 图 5-1 利用函数关系画出支座 A 的支反力的影响线(图 5-1b)。 5.2.2 剪力影响线 计算图 5-2a 所示截面 C 处的剪力的影响系数，并做出剪力影响线。 由于移动荷载有可能在截面的左侧，也可能在截面的右侧，因此，应对以上 两种情况分别进行考虑。 1. 移动荷载在截面的左侧 2. 移动荷载在截面的右侧 利用函数关系画出截面 C 处剪力的影响线图 5-2b
Fp (b) 图5-2 特点:影响线由两段平行线组成,在截面C处产生突变,平行线的端点应 注意虚线部分。 5.2.3弯矩影响线 现在分析图5-3a所示截面C处弯矩的影响线。 分析方法与剪力影响线的方法相同,主要考虑移动荷载的位置。 1.移动荷载在截面的左侧 Me=F4xa-B2(a-x)=2b(0≤x≤a) 移动荷载在截面的右侧 M=F ≤X≤ 作图(5-3b)
图 5-2 特点：影响线由两段平行线组成，在截面 C 处产生突变，平行线的端点应 注意虚线部分。 5.2.3 弯矩影响线 现在分析图 5-3a 所示截面 C 处弯矩的影响线。 分析方法与剪力影响线的方法相同，主要考虑移动荷载的位置。 1. 移动荷载在截面的左侧 2. 移动荷载在截面的右侧 作图（5-3b）
图5-3 特点:影响线由两段组成,形成一个三角形,在截面处形成一个极大值,说 明移动荷载移动到截面C时,C截面的弯矩最大。 §5-3结点荷载作用下粱的影响线 图5-4a所示为一桥梁结构承载示意图,荷载直接作用在纵粱上,不论纵粱受 何种荷载,而主粱只在结点出承受集中力,因此,主粱承受的是结点荷载 1.支反力和结点处弯矩的影响线与简支梁相同(为什么?) 2.主要考虑D截面弯矩的影响线的画法。 (1)假设移动单位荷载直接作用在主梁AB上,则M的影响线为一三角 形,顶点坐标为 (2)按比例计算出C、E两点的竖距 d 65 (3)将C、D两点的竖距连一直线,即得到结点荷载作用下的M影响线 (图5-4b 纵梁 Fp /横梁 B 主梁 图5-4
图 5-3 特点：影响线由两段组成，形成一个三角形，在截面处形成一个极大值，说 明移动荷载移动到截面 C 时， C 截面的弯矩最大。 §5-3 结点荷载作用下粱的影响线 图 5-4a 所示为一桥梁结构承载示意图,荷载直接作用在纵粱上,不论纵粱受 何种荷载,而主粱只在结点出承受集中力,因此,主粱承受的是结点荷载。 1. 支反力和结点处弯矩的影响线与简支粱相同（为什么？） 2. 主要考虑 D 截面弯矩的影响线的画法。 (1) 假设移动单位荷载直接作用在主粱 AB 上，则 MD 的影响线为一三角 形,顶点坐标为: (2) 按比例计算出 C、E 两点的竖距： (3) 将 C、D 两点的竖距连一直线，即得到结点荷载作用下的 MD 影响线 （图 5-4b） 图 5-4a
D截面处弯矩的影响线 图5-4b 结论: 1.在结点荷载作用下,结构任何影响线在相邻两结点之间为直线 2.先作直接荷载作用下的影响线,用直线连接相邻两结点的竖距,就得到 结点荷载作用下的影响线 利用本结论可做出CE之间任何截面的剪力影响线,请自己练习 §5-4静力法作桁架的影响线 本节主要是利用截面法和结点法,在充分利用平衡条件的基础上,结合实际 例子来分析桁架的影响线 如图5-5a为一桁架结构,下面主要分析上弦杆、下弦杆、竖杆、斜杆轴力 的影响线。 1.上弦杆bc的轴力影响线
图 5-4b 结论： 1. 在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为直线。 2. 先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到 结点荷载作用下的影响线。 利用本结论可做出 CE 之间任何截面的剪力影响线，请自己练习。 §5-4 静力法作桁架的影响线 本节主要是利用截面法和结点法，在充分利用平衡条件的基础上，结合实际 例子来分析桁架的影响线。 如图 5-5a 为一桁架结构，下面主要分析上弦杆、下弦杆、竖杆、斜杆轴力 的影响线。 1. 上弦杆 bc 的轴力影响线
1 22 E Fp Fp=1 A B 图5-5a、b 欲求bc杆的轴力,作截面m-m,以C点为矩心,列平衡方程即求得。 如单位荷载在C的右侧,取截面m-m的左侧为隔离体,得 FA×2d+Fbh=0 如单位荷载在C的左侧,取截面m-m的右侧为隔离体,得 F×4a+F=0 k 利用支反力的影响线为直线的性质,得到bc杆轴力的影响线,其特点是一 角形(图5-5c)
图 5-5a、b 欲求 bc 杆的轴力，作截面 m - m ，以 C 点为矩心，列平衡方程即求得。 如单位荷载在 C 的右侧，取截面 m - m 的左侧为隔离体，得 如单位荷载在 C 的左侧，取截面 m - m 的右侧为隔离体，得 利用支反力的影响线为直线的性质，得到 bc 杆轴力的影响线，其特点是一 三角形（图 5-5c）
(c)2a 图5-5c、d 2.下弦杆CD轴力的影响线 利用截面m-m右侧隔离体水平方向的平衡条件即可得到下弦杆CD轴力 的影响线(图5-5d)。 结论分析: 上弦杆、下弦杆轴力的影响线均为三角形状,顶点的竖标可表示为: M FNbc M°c为相应简支梁(图5-5b)结点C的弯矩。 3.斜杆bC轴力的竖向分力的影响线 研究截面n-n,应按三段进行考虑,按静力平衡条件在竖直方向的平衡即 可得到 单位荷载在C点的右侧 F=-F2单位荷载在B点的左侧 F:=Fsc单位荷载在B、C之间,景线为直线 于是得到斜杆bC轴力的影响线(图5-5e)
图 5-5c、d 2. 下弦杆 CD 轴力的影响线 利用截面 m - m 右侧隔离体水平方向的平衡条件即可得到下弦杆 CD 轴力 的影响线（图 5-5d）。 结论分析： 上弦杆、下弦杆轴力的影响线均为三角形状，顶点的竖标可表示为： M o c 为相应简支梁（图 5-5b）结点 C 的弯矩。 3. 斜杆 bC 轴力的竖向分力的影响线 研究截面 n - n ，应按三段进行考虑，按静力平衡条件在竖直方向的平衡即 可得到： 于是得到斜杆 bC 轴力的影响线（图 5-5e）
4.竖杆cC轴力的影响线 利用截面m-m及投影关系,结合相应梁节间的剪力可得轴力影响线(图 5-5f) 图5 §5-5机动法作影响线 教学目的 通过本节的学习,进一步理解影响线的概念以及机动法画影响线,掌握机动 法作影响线的原理和方法,从而能够快速、准确的画出各种结构影响线的轮廓。 主要内容 1,机动法作影响线的概念和步骤 2。利用机动法作简支粱的影响线 3利用机动法作多跨粱的影响线 三.学习方法 一方面要正确理解虚功原理以及机动法的概念和步骤,在此基础上多做练习 巩固。 四.参考资料
4. 竖杆 cC 轴力的影响线 利用截面 m-m 及投影关系，结合相应粱节间的剪力可得轴力影响线（图 5-5f） 图 5-5e、f §5-5 机动法作影响线 一. 教学目的 通过本节的学习，进一步理解影响线的概念以及机动法画影响线，掌握机动 法作影响线的原理和方法，从而能够快速、准确的画出各种结构影响线的轮廓。 二. 主要内容 1. 机动法作影响线的概念和步骤 2. 利用机动法作简支粱的影响线 3. 利用机动法作多跨粱的影响线 三. 学习方法 一方面要正确理解虚功原理以及机动法的概念和步骤，在此基础上多做练习 巩固。 四. 参考资料
龙驭球包世华主编《结构力学教程》页号P198~203 §5-5机动法作影响线 问题的提出:对于有些问题往往要知道影响线的轮廓形状,如何快速准确的 画出影响线,是本节主要解决的问题 1.虚功原理与机动法 欲求图5-6(a)所示简 支粱支座B反力Z的影 响线 将与Z相应的约束一 支杆B去掉,用未知量Z 代替,使结构成几何可变 体,再使结构产生虚位移 梁绕A点转动,B点的位 移为δz。列虚功方程 Fp=1 zaz+Pap=0 于是 ap B 当Fp=1移动时,位移 δ6p随之变化,应为荷载位置 B x的函数。6z为常量 则上式可表示为 图5-6 2(2() z(x)表示Z的影响线 函数 6p(x)表示荷载作用点 的竖向位移(图5-6b)
龙驭球 包世华主编《结构力学教程》 页号 P198～203 §5-5 机动法作影响线 问题的提出：对于有些问题往往要知道影响线的轮廓形状，如何快速准确的 画出影响线，是本节主要解决的问题。 1. 虚功原理与机动法 图 5-6 欲求图 5-6（a）所示简 支粱支座 B 反力 Z 的影 响线。 将与 Z 相应的约束--- 支杆 B 去掉，用未知量 Z 代替，使结构成几何可变 体，再使结构产生虚位移， 粱绕 A 点转动， B 点的位 移为 δZ 。列虚功方程： 于是： 当 Fp = 1 移动时，位移 δP 随之变化，应为荷载位置 x 的函数。δZ 为常量。 则上式可表示为： 表示 Z 的影响线 函数； δP(x)表示荷载作用点 的竖向位移（图 5-6b）