第六章结构的位移计算 教学目的 理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下 的位移。 掌握图乘法及应用条件,能用图乘法计算粱和刚架的位移;能够计算桁架的 位移。 主要章节 §6-1应用虛力原理求刚体体系的位移 §6-2变形体的虚功原理 §6-3结构位移计算的一般公式 §6-4荷载作用下的位移计算 §6-5图乘法 §6-6温度作用时的位移计算 §6-7用求解器进行位移计算 §6-8互等定理 §6-10思考与讨论 §6-11习题 §6-12测验 三.学习指导 本章是静定结构与超静定结构的联结部分,一方面有相对的独立性,另一方 面又是学习超静定结构的基础,因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基 础是虚功原理,重点是单位荷载法和图乘法的应用,因此应当加强学习和练习 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P235~304 §6-1应用虚力原理求刚体体系的位移 教学目的
第六章 结构的位移计算 一. 教学目的 理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下 的位移。 掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的 位移。 二. 主要章节 §6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移 §6-2 变形体的虚功原理 §6-3 结构位移计算的一般公式 §6-4 荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 温度作用时的位移计算 §6-7 用求解器进行位移计算 §6-8 互等定理 §6-9 小结 §6-10 思考与讨论 §6-11 习题 §6-12 测验 三. 学习指导 本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方 面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基 础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P235～304 §6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移 一. 教学目的
了解位移的概念,理解虚功原理在位移计算中的应用-—一-虚力原理,初步掌 握单位荷载法。 能利用单位荷载法正确的计算静定结构在支座移动下的位移 二.主要内容 1结构位移计算概述 2。虛功原理在位移计算中的应用形式一—虛力原理 三.学习指导 本节是静定结构与超静定结构的联结部分,本节的关键是概念的理解,应在 理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移,因而加深单位荷载 法的理解,为今后的学习打下一个良好的基础 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P235~240 6.1.1.结构位移计算概述 位移的概念 结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形, 因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。 结构的位移通常有两种(图6-1):截面的移动—线位移;截面的转动一 角位移。 角位移 线位移 图6-1 结构位移计算的目的 (1)验算结构的刚度,校核结构的位移是否超过允许限值,以防止构件和结 构产生过大的变形而影响结构的正常使用
了解位移的概念，理解虚功原理在位移计算中的应用----虚力原理，初步掌 握单位荷载法。 能利用单位荷载法正确的计算静定结构在支座移动下的位移。 二. 主要内容 1. 结构位移计算概述 2. 虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理 三. 学习指导 本节是静定结构与超静定结构的联结部分，本节的关键是概念的理解，应在 理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移，因而加深单位荷载 法的理解，为今后的学习打下一个良好的基础。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P235～240 6.1.1. 结构位移计算概述 位移的概念： 结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形， 因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。 结构的位移通常有两种（图 6-1）：截面的移动----线位移；截面的转动---- 角位移。 图 6-1 结构位移计算的目的： (1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结 构产生过大的变形而影响结构的正常使用
(2)为超静定结构的内力计算打下基础。因为,位移计算是计算超静定结构 的一个组成部分。 产生位移的原因: (1)荷载作用 (2)温度变化和材料胀缩 3)支座的沉降和制造误差 位移计算的理论基础一虚力原理 6.1.2虚功原理在位移计算中的应用形式—虚力原理 虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此,可以把位移看成是虚设 的,也可以把力系看成是虚设的,本部分正是把力系看作是虚设的,求刚体体系 的位移。 下面通过实际例子一方面介绍虚功原理在计算位移的应用一虚力原理,另 方面通过此例子,应掌握支座移动时静定结构的位移计算 如图6-2a中所示的静定粱,支座C向上移动了一个已知距离c,现在求B处 的位移Δ。 (b)A B 图6-2 为了应用虚功原理,计算图6-2a中的位移状态中的位移,应根据所求位移 来虚设力系,由于位移状态为给定状态,力状态为虚设状态,因此称为虚力原理 根据虚功原理力状态和位移状态除了结构形式和支座情况需要相同外,其它 方面两者完全无关,因此应根据所需来虚设力状态。为了使力状态上的力能够
(2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构 的一个组成部分。 产生位移的原因： (1) 荷载作用； (2) 温度变化和材料胀缩； (3) 支座的沉降和制造误差。 位移计算的理论基础----虚力原理 6.1.2 虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理 虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设 的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系 的位移。 下面通过实际例子一方面介绍虚功原理在计算位移的应用----虚力原理，另 一方面通过此例子，应掌握支座移动时静定结构的位移计算。 如图 6-2a 中所示的静定粱，支座 C 向上移动了一个已知距离 c1,现在求 B 处 的位移 Δ。 图 6-2 为了应用虚功原理，计算图 6-2a 中的位移状态中的位移，应根据所求位移 来虚设力系，由于位移状态为给定状态，力状态为虚设状态，因此称为虚力原理。 根据虚功原理力状态和位移状态除了结构形式和支座情况需要相同外，其它 方面两者完全无关， 因此应根据所需来虚设力状态。为了使力状态上的力能够
在实际状态的所求位移△上做虚功,应在该点施加一集中力大小为1(为什么) —-在拟求位移的方向上设置单位荷载,而在其它处不再设置荷载(图6-2b)。 应用平衡条件可求出支座反力。 利用虚功原理可得 △×1+c1XFl=0 a+b 结论:在拟求位移的方向上虚设单位荷载,利用平衡条件求支反力。利用虚 力原理列出虚力方程进行求解,由于是在所求位移处设置单位荷载,因此,这种 解法又称单位荷载法 §6-2变形体的虚功原理 教学目的 理解变形体的虚功原理,能够区分力状态和位移状态以及二者之间的独立 主要内容 变形体的虚功原理及应用条件 2。变形体虚功原理的表达式 三.学习指导 本节的主要内容是变形体的虚功原理的描述,虚功原理的应用有一定的广泛 性,重点是理解虚功原理,为今后的学习打下一个良好的基础 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P269~275 6.2.1.变形体的虚功原理 虚功原理是力学中的一个基本原理,它有两个基本形式 虚力原理、虚位移原理 变形体的虚功原理可表述为:
在实际状态的所求位移 Δ 上做虚功，应在该点施加一集中力大小为 1（为什么） ----在拟求位移的方向上设置单位荷载，而在其它处不再设置荷载（图 6-2b）。 应用平衡条件可求出支座反力。 利用虚功原理可得： 结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚 力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种 解法又称单位荷载法。 §6-2 变形体的虚功原理 一. 教学目的 理解变形体的虚功原理，能够区分力状态和位移状态以及二者之间的独立 性。 二. 主要内容 1. 变形体的虚功原理及应用条件 2. 变形体虚功原理的表达式 三. 学习指导 本节的主要内容是变形体的虚功原理的描述，虚功原理的应用有一定的广泛 性，重点是理解虚功原理，为今后的学习打下一个良好的基础。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P269～275 6.2.1. 变形体的虚功原理 虚功原理是力学中的一个基本原理，它有两个基本形式： 虚力原理、虚位移原理 变形体的虚功原理可表述为：
设变形体在力系作用下处于平衡状态,又设变形体由于其它原因产生符合约 束条件的微小连续变形,则外力在位移上所做的虚功W恒等于各个微段的应力 合力在变形上所做的内力虚功W 可简单写成:外力功W=内力功W 虚功原理涉及两组彼此无关的量一作用于结构的平衡力系和符合结构约 束条件的微小连续变形系 2、变形体虚功原理的应用条件 变形体虚功原理的应用条件是:力系应当满足平衡条件一力系是平衡的 位移应当符合支承情况并保持结构的连续性一—变形符合约束条件,且是微小 连续的。 虚功原理可用于不同材料、不同结构,应用范围很广。 6.2.2.变形体虚功原理的表达式 对于任意一个结构则虚功原理的一般形式可表示为 ∑F2A+∑FxCg+E∫(p+qa)d =E∫(Me+Fy=ls+ Fords) 其中 ∑F2△为集中荷载的虚功总和 ∑Fxx为支反力的虚功总和 ∑」(+qa)ds为分布荷载的虚功总和 ∑∫M为弯矩的虚功总和 ∑FEd为轴力的虚功总和 ∑ Fords为剪力的虚功总和 如果力系是给定的,位移是虚设的,则上式为变形体的虚位移方程,可用于 求力系中的某未知力。 如果位移是给定的,力系是虚设的,则上式为变形体的虚力方程,可用于求 给定变形状态中某未知位移。这也是本章的主要内容 §6-3结构位移计算的一般公式 教学目的
设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约 束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的虚功 W 恒等于各个微段的应力 合力在变形上所做的内力虚功 Wi 。 可简单写成：外力功 W =内力功 Wi 虚功原理涉及两组彼此无关的量----作用于结构的平衡力系和符合结构约 束条件的微小连续变形系。 2、变形体虚功原理的应用条件 变形体虚功原理的应用条件是： 力系应当满足平衡条件----力系是平衡的； 位移应当符合支承情况并保持结构的连续性-----变形符合约束条件，且是微小 连续的。 虚功原理可用于不同材料、不同结构，应用范围很广。 6.2.2. 变形体虚功原理的表达式 对于任意一个结构则虚功原理的一般形式可表示为： 如果力系是给定的，位移是虚设的，则上式为变形体的虚位移方程，可用于 求力系中的某未知力。 如果位移是给定的，力系是虚设的，则上式为变形体的虚力方程，可用于求 给定变形状态中某未知位移。这也是本章的主要内容。 §6-3 结构位移计算的一般公式 一. 教学目的
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上,理解广义力、广义荷载和单位荷 载法,利用虚功原理,根据所求位移,假设出虚设的力状态。正确理解结构位移 计算的一般公式。 二.主要内容 1单位荷载法 2。位移计算的一般步骠 3广义力和广义位移 学习指导 本节的主要内容是单位荷载法以及相应的表达式,对于相应的理论没有给出 进一步的推导和证明,读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是单位荷载 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P235~304页 6.3.1.单位荷载法 根据虚力原理的基本表达式 ∑F2A+∑xCg+∑∫(P+qa) -E(Mda+ FyEds+ Fgyods 其中 ∑F2△为集中荷载的虚功总和 ∑FxCx为支反力的虚功总和 ∑」(Px+qa)ds为分布荷载的虚功总和 ∑∫Me为弯矩的虚功总和 ∑FEd为轴力的虚功总和 ∑Fyos为剪力的虚功总和 为了能够计算某一结构位移Δ,我们选择的力系中只包含一个对拟求位移Δ 做虚功的相应荷载P。这样上式就变成 PXA=-EFRXCK+E(MdB+ FrEds Ferods) 进一步令P=1,便有: 1×△=∑FCx+∑∫(MB+a+FD 或 1×△=∑FC+∑M+∑Ja;a+∑jmnb
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，理解广义力、广义荷载和单位荷 载法，利用虚功原理，根据所求位移，假设出虚设的力状态。正确理解结构位移 计算的一般公式。 二. 主要内容 1. 单位荷载法 2. 位移计算的一般步骤 3. 广义力和广义位移 三. 学习指导 本节的主要内容是单位荷载法以及相应的表达式，对于相应的理论没有给出 进一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是单位荷载 法。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P235～304 页 6.3.1. 单位荷载法 根据虚力原理的基本表达式： 为了能够计算某一结构位移 Δ，我们选择的力系中只包含一个对拟求位移 Δ 做虚功的相应荷载 P 。这样上式就变成： 进一步令 P=1，便有：
式中,FB、FMF、M是结构在集中单位荷载P=1作用下的支反力和内力, 它们都可以有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。 由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系单位荷载力系,通过上 式计算位移,这就是单位荷载法计算位移的基本思路。 下面讨论位移计算的一般步骤和思路 6.3.2.位移计算的一般步骤 求结构在某一点沿某一方向的位移Δ,其计算步骤为: (1)虚设一单位荷载状态,在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷 载,注意单位荷载应与所求位移相一致。 (2)在单位荷载作用下,根据平衡条件,求出结构的内力和支反力。 (3)利用公式: 1×△=∑ F. Cx+∑[M+1ah+Fpe) 或 1×△=∑Cx+∑JM.+2Ja+ pRods 可求出相应的位移,计算出的结果为正值时,则表明所求位移与单位荷载方 向一致,负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反,具体计算可参考荷载作甩 下的位移计算和温度变化下的位移计算。 下面将讨论如何建立虚设状态-—单位荷载状态。 6.3.3.广义位移和虚设状态 本章所讨论的位移可以引申为广义位移。它既可以是某点沿某一方向的线位 移或某一截面的角位移,也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移 计算的一般公式,虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功,因此,虚设单位荷载 应与广义位移相一致。下面结合实例分析虚设单位荷载:
式中， 是结构在集中单位荷载 P=1 作用下的支反力和内力， 它们都可以有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。 由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系-----单位荷载力系，通过上 式计算位移，这就是单位荷载法计算位移的基本思路。 下面讨论位移计算的一般步骤和思路 6.3.2. 位移计算的一般步骤 求结构在某一点沿某一方向的位移 Δ，其计算步骤为： (1) 虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷 载，注意单位荷载应与所求位移相一致。 (2) 在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。 (3) 利用公式： 可求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方 向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反，具体计算可参考荷载作用 下的位移计算和温度变化下的位移计算。 下面将讨论 如何建立虚设状态----单位荷载状态。 6.3.3. 广义位移和虚设状态 本章所讨论的位移可以引申为广义位移。它既可以是某点沿某一方向的线位 移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移 计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载 应与广义位移相一致。下面结合实例分析虚设单位荷载：
实际结构荷载 求A点的水平方向线位移,在A点沿水 平方向加一单位集中力 求B点的角位移,应在B点加一单位力 求A、B两点的相对位移(俩点间相互 偶 拉开或靠拢的距离),在A、B两点沿连线方 向加一对反向单位集中力
实际结构荷载 求 A 点的水平方向线位移，在 A 点沿水 平方向加一单位集中力 求 B 点的角位移,应在 B 点加一单位力 偶 求 A 、B 两点的相对位移（俩点间相互 拉开或靠拢的距离），在 A、B 两点沿连线方 向加一对反向单位集中力
A 求B点的竖直方向线位移,在B点沿 求A、B两截面的相对转角,在A、B两 竖直方向加一单位集中力 截面加一对反向单位力偶 §6-4荷载作用下的位移计算 教学目的 在进一步理解变形体的虚功原理的基础上,掌握结构在荷载作用下的位移计 算。正确理解结枃位移计算的一般公式以及各种不同结枃的计算公式,能够计算 结构的位移。 二.主要内容 1。各种结构的位移计算公式 2。粱的位移计算实例 3桁架位移计算实例 三.学习指导 本节的主要内容是用积分法计算结构的位移,对于相应的理论没有给出一步 的推导和证明,读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是结构的位移计算, 学习的方法是多进行练习,学习的基础是结构内力的计算和表示。 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P187~226 6.4.1.各种结构位移计算公式 根据虚功原理和单位荷载法,对于位移计算可以得出以下结论:
求 B 点的竖直方向线位移，在 B 点沿 竖直方向加一单位集中力 求 A、B 两截面的相对转角，在 A、B 两 截面加一对反向单位力偶 §6-4 荷载作用下的位移计算 一. 教学目的 在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，掌握结构在荷载作用下的位移计 算。正确理解结构位移计算的一般公式以及各种不同结构的计算公式,能够计算 结构的位移。 二. 主要内容 1. 各种结构的位移计算公式 2. 粱的位移计算实例 3. 桁架位移计算实例 三. 学习指导 本节的主要内容是用积分法计算结构的位移，对于相应的理论没有给出一步 的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是结构的位移计算， 学习的方法是多进行练习，学习的基础是结构内力的计算和表示。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P187～226 6.4.1. 各种结构位移计算公式 根据虚功原理和单位荷载法，对于位移计算可以得出以下结论：
∑ ∑∫④Ma+F 或 1×△=-∑FCx+2Me+∑J2a+Jv0d 下面讨论结构在荷载作用下的计算公式,利用材料力学中内力与应变的关 系 d日 El GA 这里,E和G分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量;A和Ⅰ分别是杆件 截面的面积和惯性矩。k是与截面形状有关的系数 将上两个结论进行统一,可得出荷载作用下弹性位移的一般公式 △=∑∫ ds+∑∫ ∑∫ E GA M2,F,FD为实际荷载引起的内力 M,2,F为虚设单位荷载引起的内力 内力正负号规定:轴力以拉为正,剪力是微段顺时针转动者为正,弯矩规定 两者的乘积的正负号,当两个弯矩使杆件同一侧受拉时,其乘积取正号。 各类结构的位移计算: (1)粱和刚架 由于梁和刚架是以弯曲为主要变形,因此位移计算可简化为 MM △=E (2)桁架 桁架中杆件只受轴力作用,且每根杆件的截面面积、轴力均为常数,故位移 计算可简化为 △=「BA ds=> EA EA 组合结构
下面讨论结构在荷载作用下的计算公式，利用材料力学中内力与应变的关 系： 这里，E 和 G 分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量；A 和 I 分别是杆件 截面的面积和惯性矩。k 是与截面形状有关的系数。 将上两个结论进行统一，可得出荷载作用下弹性位移的一般公式 内力正负号规定：轴力以拉为正，剪力是微段顺时针转动者为正，弯矩规定 两者的乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，其乘积取正号。 各类结构的位移计算： (1) 粱和刚架 由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为 (2) 桁架 桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移 计算可简化为 (3) 组合结构