第八章位移法 教学目的 掌握位移法的基本概念; 正确的判断位移法基本未知量的个数 熟悉等截面杆件的转角位移方程; 熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 主要章节 §8-1位移法的基本概念 §8-2等截面杆件的刚度方程 §8-3无侧移刚架的计算 §8-4有侧移刚架的计算 §8-5位移法的基本体系 §8-6对称结构的计算 §8-7小结 §8-8思考与讨论 §8-9习题 §8-10测验 三.学习指导 位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角 位移方程,它不仅可以解超静定结构,同时还可以求解静定结构,另外,要注意 杆端弯矩的正负号有新规定 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P393~P433 §8-1位移法的基本概念 力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法,力法是以多余的约束力作 为基本未知量,而位移法则是以结点位移作为基本未知量。 下面结合简单实例说明位移法的基本思路
第八章 位移法 一. 教学目的 掌握位移法的基本概念； 正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程； 熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节 §8-1 位移法的基本概念 §8-2 等截面杆件的刚度方程 §8-3 无侧移刚架的计算 §8-4 有侧移刚架的计算 §8-5 位移法的基本体系 §8-6 对称结构的计算 §8-7 小结 §8-8 思考与讨论 §8-9 习题 §8-10 测验 三. 学习指导 位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角 位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意 杆端弯矩的正负号有新规定。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》P393～P433 §8-1 位移法的基本概念 力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法，力法是以多余的约束力作 为基本未知量，而位移法则是以结点位移作为基本未知量。 下面结合简单实例说明位移法的基本思路
(b) B 图8-1 如图8-1a所示的刚架,在荷载的作用下发生变形,杆件AB、BC在结点B处 有相同的转角θ,称为结点B的角位移。将整个刚架分解为AB、BC杆件,则 AB杆件相当于两端固定的单跨粱,固定端B发生一转角θ(图8-1b),BC杆 相当于一端固定另一端铰支的单跨粱,受荷载作用,同时在B端发生角位移 (图8-1c)。如果能够求出角位移,则能够计算出杆件的内力,问题的关键是 求结点的角位移。 用位移法计算刚架,结点的位移是处于关键地位的未知量,基本思路是拆了 再搭,将刚架拆成杆件,进行求解;再将杆件合成为刚架,利用平衡条件求出位 移。对于位移法的基本计算将在今后具体分析。 §8-2等截面杆件的刚度方程 教学目的 本节是位移法的基础,理解杄端力与杄端位移及荷载之间的关系,正确理解 杆端剪力和弯矩的符号,掌握杄端位移方程,能够判定和选择杄端剪力和弯矩。 主要内容 1,由杆端位移求杄端弯矩( 由杆端位移求杆端弯矩(2) 2。由荷载求固端弯矩( 由荷载求固端弯矩(2) 三.学习指导
图 8-1 如图 8-1a 所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件 AB、BC 在结点 B 处 有相同的转角 θ，称为结点 B 的角位移。将整个刚架分解为 AB、BC 杆件，则 AB 杆件相当于两端固定的单跨粱，固定端 B 发生一转角 θ( 图 8-1b )，BC 杆 相当于一端固定另一端铰支的单跨粱，受荷载作用，同时在 B 端发生角位移 ( 图 8-1c )。如果能够求出角位移，则能够计算出杆件的内力，问题的关键是 求结点的角位移。 用位移法计算刚架，结点的位移是处于关键地位的未知量，基本思路是拆了 再搭，将刚架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用平衡条件求出位 移。对于位移法的基本计算将在今后具体分析。 §8-2 等截面杆件的刚度方程 一. 教学目的 本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解 杆端剪力和弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判定和选择杆端剪力和弯矩。 二. 主要内容 1. 由杆端位移求杆端弯矩(1) 由杆端位移求杆端弯矩(2) 2. 由荷载求固端弯矩(1) 由荷载求固端弯矩(2) 三. 学习指导
本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系,要正确理解 其中的关系和符号。 根据位移法的基本思路,以及为了更好的进行位移法的计算,需要讨论等截 面杆件的两个问题:由杆端位移求端弯矩和由荷载求固端弯矩。 四.参考资料 《结构力学教程(I)》P397~P404 8.2.1由杆端位移求杆端弯矩(1) 图8-2为等截面杆件,截面惯性矩为常数。已知端点A和B的角位移分别 是θ和θB,两端垂直于杆轴的相对线位移为Δ,拟求杆端弯矩。 El 图8-2 在位移法中位移的正负号规定为:结点转角,弦转角和杆端弯矩一律以顺时 针为正。这一点一定要注意与以前的不同。 应用单位荷载法可得出: 6 BB Mn+-Mn+ 杆件的线刚度i=E/l 解联立方程可得: aAB=41+26-67 MBA=26A+463-61 利用平衡条件可求出杆端剪力如下:
本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解 其中的关系和符号。 根据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要讨论等截 面杆件的两个问题：由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。 四. 参考资料 《结构力学教程(Ⅰ)》 P397～P404 8.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(1) 图 8-2 为等截面杆件，截面惯性矩为常数。已知端点 A 和 B 的角位移分别 是 θA 和 θB ，两端垂直于杆轴的相对线位移为 Δ，拟求杆端弯矩。 图 8-2 在位移法中位移的正负号规定为：结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时 针为正。这一点一定要注意与以前的不同。 应用单位荷载法可得出： 杆件的线刚度 i=EI/l 解联立方程可得： 利用平衡条件可求出杆端剪力如下：
612 于是可将上式写为 M BB 66212△ 则矩阵 24 6一16 66212 称为杆件的刚度矩阵,其中的系数称为刚度系数,又称为形常数。 下面讨论枉端具有不同约束时的刚度方程。 8.2.1由杆端位移求杆端弯矩(2) 根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程 4z27 M 24z 61612 BB 62621 Δ 以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。 M El (b) 图8-3
于是可将上式写为： 则矩阵 称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数，又称为形常数。 下面讨论杆端具有不同约束时的刚度方程。 8.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(2) 根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程 以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。 图 8-3
对于图8-3aB端为固定支座,OB=0,则得 MAB=404-6 MBA=264-6 对于图8-3bB端为铰支座,M=0,则得 Mn=36-32 对于图8-3cB端为滑动支座,0B=0和FuB=0F=0,则得 M=ie Ba 下面将讨论由荷载引起的固端弯矩 8.2.3由荷载求固端弯矩(1) 对于常见的三种粱:两端固定;一端固定、另一端简支:一端固定另一端滑 动支承,下表给出常见荷载作用下的杆端弯矩和剪力,又称固端弯矩和剪力,其 正负号要注意。下面是两端固定粱的固端弯矩和剪力
对于图 8-3a B 端为固定支座，θB = 0 ，则得 对于图 8-3b B 端为铰支座，MBA = 0 ，则得 对于图 8-3c B 端为滑动支座，θB =0 和 FQAB = 0 FQBA =0 ，则得 下面将讨论由荷载引起的固端弯矩。 8.2.3 由荷载求固端弯矩(1) 对于常见的三种粱：两端固定；一端固定、另一端简支；一端固定另一端滑 动支承，下表给出常见荷载作用下的杆端弯矩和剪力，又称固端弯矩和剪力，其 正负号要注意。下面是两端固定粱的固端弯矩和剪力
等截面直杆的固端弯矩 编引简图 固端弯矩(顺时针为正) T置 fifth 12 30 M 20 两 Fnab AB 端 P 定 8 Ea△ Eaat 九
其他杄件的杆端弯矩和剪力 8.2.4由荷载求固端弯矩(2) 其他两种等截面杆件的杆端弯矩和剪力
其他杆件的杆端弯矩和剪力 8.2.4 由荷载求固端弯矩(2) 其他两种等截面杆件的杆端弯矩和剪力
编号 增弯矩(以顺时针转向为正)固蛐 i A aA: 7 TTT c F Fp6(t2-b2) 支 2 sFpL A Mn=3Ea△ At=t1 A g 12 2
最后利用叠加原理得到杆端弯矩的一般公式为: MAB=4264+262-6#+MA MaA=264+402-6+MB 上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。 §8-3无侧移刚架的计算 教学目的 本节是位移法在计算刚架中的直接应用,能够正确的确定基本未知量,熟练 的掌握转角位移方程的应用并能够求解无侧移刚架和粱的内力 主要内容 1一般概念及过程 实例分析 三.学习指导 本节的关键是转角位移方程的应用,其中荷载项可査表计算,注意正负号的 规定,要多进行练习。 四.参考资料 《结构力学(I)》P404~P408 8.3.1一般概念及过程 无侧移刚架:刚架的各结点(不包括支座)只有角位移而没有线位移。 下面通过连续梁的计算来介绍位移法的实际过程 图8-3a为一连续粱,试分析内力
最后利用叠加原理得到杆端弯矩的一般公式为： 上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。 §8-3 无侧移刚架的计算 一. 教学目的 本节是位移法在计算刚架中的直接应用，能够正确的确定基本未知量，熟练 的掌握转角位移方程的应用并能够求解无侧移刚架和粱的内力。 二. 主要内容 1. 一般概念及过程 2. 实例分析 三. 学习指导 本节的关键是转角位移方程的应用，其中荷载项可查表计算，注意正负号的 规定，要多进行练习。 四. 参考资料 《结构力学(Ⅰ)》P404～P408 8.3.1 一般概念及过程 无侧移刚架：刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移。 下面通过连续梁的计算来介绍位移法的实际过程。 图 8-3a 为一连续粱，试分析内力
20kN 20kN/m B M 16.7 11.57kN.m 3.21 图8-3 1.基本未知量只有结点B的角位移0 2.查表列出各杆的杆端弯矩 Ma=20。-15 M4=42+15 Mc=368-9 3.建立位移法基本方程,结点B为隔离体图8-3b,列平衡方程,并求解 EMB=0 MBA+MgC= 即762+6=0 7 4.计算各杆杆端弯矩 Ma=-16.72km M=11.57kNm Mnc=-11.57kNm 最后画出弯矩图(图8-3c)。画图时注意弯矩画在受拉一侧。 般的情况,每一个刚结点由一个结点转角一基本未知量:与此相应,在 每一个刚结点处又可写一个力矩平衡方程一基本方程 刚架分析 8.3.2实例分析 利用位移法计算图8-4a刚架的内力
图 8-3 1. 基本未知量只有结点 B 的角位移 θB 2. 查表列出各杆的杆端弯矩 3. 建立位移法基本方程，结点 B 为隔离体图 8-3b ，列平衡方程，并求解 4. 计算各杆杆端弯矩 最后画出弯矩图（图 8-3c）。画图时注意弯矩画在受拉一侧。 一般的情况，每一个刚结点由一个结点转角----基本未知量；与此相应，在 每一个刚结点处又可写一个力矩平衡方程----基本方程。 刚架分析 8.3.2 实例分析 利用位移法计算图 8-4a 刚架的内力