第十七讲 小振动
第十七讲 小 振 动
本讲导读 动能和势能的泰勒展开 线性齐次方程的求解 简正频率 简正坐标
本讲导读 • 动能和势能的泰勒展开 • 线性齐次方程的求解 • 简正频率 • 简正坐标
多自由度力学体系的小振动 个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的 广义坐标均等于零如果力学体系自平衡位置发生微小偏 移,力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数, go t 9,B+O(q) og 2 d-1(aqaaq 0 利用保守体系的平衡方程,略去二级以上的高级项并 令0,就得到 caBala B
一、多自由度力学体系的小振动 一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的 广义坐标均等于零. 如果力学体系自平衡位置发生微小偏 移, 力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数, ( ) 2 1 2 1 1 0 2 1 0 0 q q O q q q V q q V V V s s + + = + = = = 利用保守体系的平衡方程, 略去二级以上的高级项并 令V=0, 就得到 V c q q s = = 2 , 1 1
在稳定约束时,动能T只是速度的二次齐次函数,即 T aaB9a9B 式中系数a是广义坐标q的显函数把aa在力学体系 平衡位形的区域内展成泰勒级数,就得到 =(an)2+∑ q12++O(q) 由于q值很小,因此展开式中只保留头一项,动能7变为 T ∑ B a,B=1 现在式中系数a是不变的展开式中的系数具有特别名称,即canB 称为恢复系数或准弹性系数,而aB则称为惯性系数
在稳定约束时, 动能T只是速度的二次齐次函数, 即 式中系数a是广义坐标q的显函数. 把a 在力学体系 平衡位形的区域内展成泰勒级数, 就得到 由于q值很小, 因此展开式中只保留头一项, 动能T变为 T a q q s = = 2 , 1 1 ( ) ( ) 1 0 0 q O q q s + + = += T a q q s = = 2 , 1 1 现在式中系数a 是不变的. 展开式中的系数具有特别名称, 即c 称为恢复系数或准弹性系数, 而a 则称为惯性系数
所以 aT d at aB B2 ∑ aT B1B2 0 dt a CaBo B 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体 系在平衡位置附近的动力学方程 ∑( )=0.(=12…,s) B=1 这是线性齐次常微分方程组,它的解分=Ae2 式中AB及是常数把这表示式代回,得
所以 , 0 d d , 1 1 = = = = = q T a q q T t a q q T s s c q q V s = = 1 把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体 系在平衡位置附近的动力学方程 ( ) ( ) = + = = s a q c q s 1 0, 1,2, , 这是线性齐次常微分方程组, 它的解 t q A e = 式中A 及是常数. 把这表示式代回, 得
BaB 0,(a=1,2 从行列式 2+c1 2 +C 22+c 22+c 22+ C a.2+c 求出2个的本征值λ(=12,…,2s).然后求出一组A0, 方程式的解即是 B (B=1,2,…,s)
( ) ( ) = + = = s A a c s 1 2 0, 1,2, , 从行列式 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 = + + + + + + + + + s s s s s s s s s s s s a c a c a c a c a c a c a c a c a c 求出2s个的本征值l , (l＝1,2,…,2s). 然后求出一组A (l) , 方程式的解即是 ( 1,2, , ) 2 1 ( ) q A e s s l l t = l = =
为了物体在平衡位置附近振动,则力学体系的势能V>0 (即平衡位置V=0是极小值),方程所有的根λ为纯虚数 既然A是纯虚数因此可令=±iv 这样,解可以写为40=∑L0e"+n0e"y] 实数解为 ∑0csw+bsmy 实际上,我们把的某一本征值λ代入原方程后,并不能 得出个互相独立的常数4(B=1,2,…,,而只能得出它 们的比,因为此时系数行列式等于零如果行列式的(s-1) 阶代数余子式中有一个不等于零,则在一组解4中只有 个数是可以任意取的.如果设此常数为4,则4B可写 为 A)△ IB
为了物体在平衡位置附近振动, 则力学体系的势能V > 0 (即平衡位置V＝0是极小值), 方程所有的根l为纯虚数. 既然l是纯虚数, 因此可令 l l = i 这样, 解可以写为 = − = + s l l i t l i t l l q A e A e 1 ( ) ( ) ' 实数 解为 = = + s l l l l l q a t b t 1 ( ) ( ) cos sin 实际上, 我们把的某一本征值l代入原方程后, 并不能 得出s个互相独立的常数A ( ＝1,2,…,s), 而只能得出它 们的比, 因为此时系数行列式等于零. 如果行列式的 (s-1) 阶代数余子式中有一个不等于零, 则在一组解A中只有 一个数是可以任意取的. 如果设此常数为A(l) ,则A (l)可写 为 ( ) 2 1 ( ) ( ) l l l A = A
即4=A△1(4)42=A△2(4 在方程的解中共有22个常数,因为每个4对应一个任意 常数,而共有2个所以22个常数只有2个是独立的这 2s个常数,可由起始条件决定,即t=0时的初始位置和初 始速度应为已知这样, qn=∑[△()w+P0△A(w2y] 实数解:9=∑p△ Vi )cos v,t+b△ sin v,t 这里的w叫做简正频率,它的数目共有s个,和力学体系 的自由度数相等
即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 , , , s l l l l s l l l l l A = A A = A A = A 在方程的解中共有2s 2个常数, 因为每个l对应一个任意 常数, 而共有2s个l , 所以2s 2个常数只有2s个是独立的. 这 2s个常数, 可由起始条件决定, 即t＝0时的初始位置和初 始速度应为已知. 这样， ( ) ( ) = − = − + − s l i t l i t l l l l l q A e A e 1 ( ) 2 ( ) 2 ' ( ) ( ) = = − + − s l l l l l l l q a t b t 1 ( ) 2 ( ) 2 实数解： cos sin 这里的l叫做简正频率, 它的数目共有 s个, 和力学体系 的自由度数相等
二、简正坐标 多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势 能和动能中都有交叉项(相互作用消除之,可以简化问 题 因为动能总是正定的,根据线性代数理论,总能找到线 性变换 qB=△8m5 使得T和同时变成正则形式,即没有交叉项变换后 7=∑an2,V=∑ 相应的拉氏方程为 d aa aV =0 d(o5)a5,02
多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势 能和动能中都有交叉项(相互作用). 消除之,可以简化问 题. 因为动能总是正定的, 根据线性代数理论, 总能找到线 性变换 = = s l l l q g 1 使得T和V同时变成正则形式, 即没有交叉项. 变换后 = = = = s l l l s l l l T a V c 1 0 2 1 0 2 2 1 , 2 1 相应的拉氏方程为 0 d d = + − l l l T T V t 二、简正坐标
所以 +c5=0 (=1,2,…,s) 可得,解 )=A, cos(v; t)+B, sin(vt)=C cos(vit+G)(=1,2, . s) 式中 坐标5叫做简正坐标,v仍为简正频率 每一个简正坐标都做具有自己固有频率w的谐振动, 而广义坐标,作为简正坐标的线性函数,将是个谐 振叠加而成的复杂运动
所以 0 ( 1 2 ) 0 0 a c l , , ,s l l + l l = = 可得, 解 A cos( t) B sin ( t) C cos( t ) (l 1,2, ,s) l = l l + l l = l l + l = 式中 0 0 l l l a c = 坐标l叫做简正坐标, l仍为简正频率. 每一个简正坐标都做具有自己固有频率 l的谐振动, 而广义坐标, 作为简正坐标的线性函数, 将是s个谐 振叠加而成的复杂运动