《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第十七讲 哈密顿函数

第十七讲 哈密顿函数

第十七讲 哈密顿函数

本讲导读 广义动量守恒原理 哈密顿函数 非完整系统的动力学 拉格朗日动力学的推广

本讲导读 • 广义动量守恒原理 • 哈密顿函数 • 非完整系统的动力学 • 拉格朗日动力学的推广

广义动量守恒原理 如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标qa即OL/0qa 0,这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标)于是,拉格 朗日方程5,29)给出 d al 0 dt a 即广义动量守恒 如果循环坐标是系统的整体平移坐标,拉格朗日函数不包含整体 平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的,广义动量守 恒原理就归结为动量守恒原理.若拉格朗日函数不包含整体转动 坐标,拉格朗日函数L对于整体转动不变,拉格朗日函数是各向同 性的,则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件 (内力的矢量和为零,内力的力矩和为零,而广义动量守恒原理则 并不以牛顿第三定律先决条件

如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q , 即L/  q =0, 这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标). 于是, 拉格 朗日方程(5.29)给出 0 d d =   q L t  即广义动量守恒 如果循环坐标是系统的整体平移坐标, 拉格朗日函数不包含整体 平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的, 广义动量守 恒原理就归结为动量守恒原理. 若拉格朗日函数不包含整体转动 坐标, 拉格朗日函数L对于整体转动不变, 拉格朗日函数是各向同 性的, 则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理. 在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件 (内力的矢量和为零, 内力的力矩和为零), 而广义动量守恒原理则 并不以牛顿第三定律先决条件. 一、广义动量守恒原理

例1质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上,质量为m的 光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下求这两个楔子的加速度 解:大楔子在水平方向运动,小楔子在大楔子 斜边上运动.系统有两个自由度.取桌面上的 固定点O,大楔子质心相对于O点坐标记作X 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜 边的坐标记作qX和q可作为系统的广义坐标 主动力是两个楔子所受的重力,大楔子的势能在运动过程中 不起变化,可以不考虑.只要讨论小楔子的势能就够了.计算动能 的时候要注意,小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随 着大楔子在水平方向运动的速度 T=MX2+m(v水平+v2竖直 1Mx2+1(x+40s)+(my

例1 质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 质量为m的 光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下. 求这两个楔子的加速度. 解: 大楔子在水平方向运动, 小楔子在大楔子 斜边上运动. 系统有两个自由度. 取桌面上的 固定点O, 大楔子质心相对于O点坐标记作X. 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜 边的坐标记作q,X和q可作为系统的广义坐标. 主动力是两个楔子所受的重力, 大楔子的势能在运动过程中 不起变化, 可以不考虑. 只要讨论小楔子的势能就够了. 计算动能 的时候要注意, 小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的, 而目还有随 着大楔子在水平方向运动的速度. ( ) ( cos ) ( sin ) , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 MX m X q  q  T MX m v v      = + + + = + 水平 + 竖直

V=mggsin 6 于是,拉格朗日方程给出运动方程 d MX+(X+coso)=0 dt d dr m(X cos 8+9]+mg sin 0=0 大楔子的加速度以及小模子相对于大楔子的加速度为 mg sin 0 cosB Mtmsin-e (M+m)g sin 0 M+msin 0

V = mgqsin  于是, 拉格朗日方程给出运动方程            + + = + + = ( cos ) sin 0 d d ( cos ) 0 d d    m X q mg t MX m X q t      大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为    2 sin sin cos M m mg X +  = ( )   2 sin sin M m M m g q + +  = −

二、哈密顿函数守恒原理 拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数, L的时间变化率 dl al OL al do dt at ag dt 在主动力全是保守力的情况下,利用完整系统的拉格朗 日方程把a/oqa改写,即得 d al d aL ∑ al dg al d aL qe dt at dt ag aqa dt at dt a=aq 这样 d OL OL dt( a=l at

拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数, L的时间变化率 t q q L q q L t L t L s s d d d d 1 1            = =   +   +   = 在主动力全是保守力的情况下, 利用完整系统的拉格朗 日方程把L/  q改写, 即得           +   =   +           +   =    = = = s s s q q L t t L t q q L q q L t t L t L 1 1 d 1 d d d d d d d                这样 t L q L q L t s   = −         −    d =1 d      二、哈密顿函数守恒原理

定义哈密顿函数 OL H ∑qn-L=∑p29n-L 如拉格朗日函数L不是时间显函数,哈密顿函数H守恒 哈密顿函数是什么? ar 因为坐标变换不显含时间,所以 ∑ q q 于是T=∑m,=∑m∑。q∑ qB B=101B ∑∑∑m.京分n a=1B=1i=1 go og

定义哈密顿函数 q L p q L q L H s s − = −   =  =1 =1         如拉格朗日函数L不是时间显函数, 哈密顿函数H守恒 哈密顿函数是什么？ 因为坐标变换不显含时间, 所以 =   = s i i q q r r  1       于是             q q q r q r m q q r q q r T m r r m i n i i i s s n i s i s i i i i n i i                  =     =  =       = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1

因为7 m 2 dq d B=1i=1 2g。a ∑∑n qc aT ∑=∑∑∑ 929,=27 i aqo aq 这样,我们得到 H=∑P9,-L=27-(-V)=+V 在坐标变换不显含时间的条件下,动能是广义速度的二 次齐次式,哈密顿函数就是机械能

因为              q q r q r m q q r q r q m q r q r m q T i n i i i s i n i i i s i n i i i s                =      +      =         = = = = = = 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 q q T q r q r q m q T s s i n i i i s 2 1 1 1 1   = = = = =      =                   这样, 我们得到 H p q L T T V T V s = − = − − = + = 2 ( ) 1     在坐标变换不显含时间的条件下, 动能是广义速度的二 次齐次式, 哈密顿函数就是机械能

如果约束是不稳定的或者约束是稳定的,但变换r=r(q,0 显含时间, ar ar C T at a (②, ∑∑∑1m, q9+∑∑m ar: ar ar: ar a=1B=1i=1 go og B 广义速度二次函数T2 一次函数T 零次函数To 2=∑∑m ar: ar qa+∑m go og

如果约束是不稳定的或者约束是稳定的, 但变换ri＝ri (q,t) 显含时间, =   +   = s i i i q q r t r r  1               = = = = = = = = = =      +      +      =           +             +   =  = n i i i i s i n i i i s s i n i i i n i s i i s i i i i i n i i t r t r q m t r q r q q m q r q r m q q r t r q q r t r T m r r m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1                                   广义速度二次函数T2 一次函数T1 零次函数T0       q r t r q m q r q r m q T i n i i i s i n i i i      +      =      = = =       1 1 1

aT q=∑∑∑ ar ar gog t 2∑m 212+71 哈密顿函数, H=∑p9n-L + 这样,在变换式显含时间的条件下,哈密顿函数H并非机械能, 只能姑名之为广义能量 注意:矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力.可是 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间 这两种根源是否矛盾呢?原来,这两者并不是一回事.矢量力学 所说的势能对应于所有的力包括主动力和约束力,而拉格朗日 函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力,即只包括主动 力,不包括理想约東力可见这两种势能并不相同,机械能守恒 的条件当然也就不同了

2 1 1 1 1 1 1 1 2T T q q r t r q q m q r q r q m q T s i n i i i s s i n i i i s = +      +      =      = = = = = =                      哈密顿函数, H p q L T T V s =  − = − + = 2 0  1    这样, 在变换式显含时间的条件下, 哈密顿函数H并非机械能, 只能姑名之为广义能量. 注意: 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力. 可是, 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间. 这两种根源是否矛盾呢? 原来, 这两者并不是一回事. 矢量力学 所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力, 而拉格朗日 函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力, 即只包括主动 力, 不包括理想约束力. 可见这两种势能并不相同, 机械能守恒 的条件当然也就不同了