第十三讲 虚功原理
第十三讲 虚 功 原 理
本讲导读 约束的概念 自由度和广义坐标 实功,虚功和虚功(虚位移)原理 拉格朗日乘子与约束力
本讲导读 • 约束的概念 • 自由度和广义坐标 • 实功, 虚功和虚功(虚位移)原理 • 拉格朗日乘子与约束力
为什么要学习分析力学? 前面是按“牛顿方式”研究力学问题,它着重分析力、动量 速度、加速度、角动量、力矩等矢量称作“矢量力学.它运用 牛顿运动定律处理力学问题称作“牛顿力学 实际力学系统往往存在限制约束)而约束力又取决于运动情况 它们作为未知量出现于运动方程中,牛顿方式对于受约束的力学 系统并不方便 建立了运动方程并不意味大功告成因为还没有一般方法求得 运动微分方程的解.如何寻找方程的积分以及利用这些积分如何定 性研究解的结构和定量地进行计算,这些都是力学中极为重要的课题. 牛顿方式在这些问题上会遇到困难 研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基本观 念都受到了挑战在人们不得不承认新的物理事实相对论效应, 波粒二象性等之后,就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论,它 能较顺利地超越古典概念的束缚,自然地跳向非古典力学相对论 力学、量子力学等
一、为什么要学习分析力学? 前面是按“牛顿方式”研究力学问题, 它着重分析力、动量、 速度、加速度、角动量、力矩等矢量, 称作“矢量力学”. 它运用 牛顿运动定律处理力学问题, 称作“牛顿力学”. 实际力学系统往往存在限制(约束),而约束力又取决于运动情况, 它们作为未知量出现于运动方程中, 牛顿方式对于受约束的力学 系统并不方便. 建立了运动方程,并不意味大功告成.因为还没有一般方法求得 运动微分方程的解. 如何寻找方程的积分以及利用这些积分,如何定 性研究解的结构和定量地进行计算,这些都是力学中极为重要的课题. 牛顿方式在这些问题上会遇到困难． 研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基本观 念都受到了挑战.在人们不得不承认新的物理事实——相对论效应, 波粒二象性等之后,就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论,它 能较顺利地超越古典概念的束缚,自然地跳向非古典力学——相对论 力学、量子力学等．
分析力学 analytical mechanIcs 一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量,以 虚位移原理和达朗贝尔原理为基础,运用数学分析方法研究宏 观现象中的力学问题。1788年出版的JL拉格朗旦的《分析力 学》为这门学科奠定了基础。1834年和1843年WR哈密顿建立 了哈密顿原理和正则方程,把分析力学推进一步。1894年HR. 赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类,从此开 始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力 学的普遍原理,由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方 程,并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来,又 发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。 分析力学是经典物理学的基础之一,也是整个力学的基础之 它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体 系统和机器人动力学以及各种工程技术领域,也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学
分析力学 analytical mechanics 一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量，以 虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏 观现象中的力学问题。 1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力 学》为这门学科奠定了基础。1834年和1843年W.R.哈密顿建立 了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。1894年H.R. 赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开 始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力 学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方 程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又 发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。 分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。 它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体 系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学
分析力学的发源 1788年拉格朗旦出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析 力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础 上。两者结合,可得到动力学普遍方程,从而导出分析力学各种 系统的动力方程。1760~1761年,拉格朗日用这两个原理和理想 约束结合,得到了动力学的普遍方程,几乎所有的分析力学的动 力学方程都是从这个方程直接或间接导出的 1834年,汉密尔顿推得用广义坐标和广乂动量联合表示的动力 学方程,称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中,可用代表 个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。 从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始,到 1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止,基本上已 完成了线性非完整约束的理论。 20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进 步研究,对于运动的稳定性问题作了广泛的研究
分析力学的发源 1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析 力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础 上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种 系统的动力方程。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想 约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动 力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。 1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力 学方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表 一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。 从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到 1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已 完成了线性非完整约束的理论。 20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进 一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究
分析力学的主要内容:导出各种力学系统的动力方程,如完整系统的拉格朗日 方程、正则方程,非完整系统的阿佩尔方程等:探求力学的普适原理,如汉密 尔顿原理、最小作用量原理等;探讨力学系统的特性;研究求解运动微分方程 的方法,例如,研究正则变换以求解正则方程;研究相空间代表点的轨迹,以 判别系统的稳定性等。 分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同,牛顿法把物体系拆开成分离 体,按反作用定律附以约束反力,然后列出运动方程。 分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点 是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪 60年代开始,为了设计复杂的航天器和机器人的需要,发展多刚体系统,并且 跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程,所建立的方程能方 便地应用电子计算机进行计算。 在量子力学未建立以前,物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题 从1923年起,量子力学开始建立并逐步完善,才在微观现象的研究领域中取代 了分析力学。但是,掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如 用分析力学知识求出汉密尔顿函数,再化成汉密尔顿算符,又自汉密尔顿-雅可 比方程化成波动力学的基本方程薛定谔方程等 爱因斯坦提出相对论时,也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光 速的相对论力学
分析力学的主要内容：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日 方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密 尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程 的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以 判别系统的稳定性等。 分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离 体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。 分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点 是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪 60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且 跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方 便地应用电子计算机进行计算。 在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。 从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代 了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如 用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可 比方程化成波动力学的基本方程——薛定谔方程等。 爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光 速的相对论力学
分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取 得的成果的一部分,在一定程度上解决了上述问题并末 全部解决,有关的研究现在还在继续)它给出了力学系统 在完全一般性的广义坐标下具有不变形式的动力学方程 组,并突出了能量函数的意义 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统,分析力 学的数学形式有着极好的性质,它不仅提供了解决天体力 学及一系列动力学问题的较佳途径,同时给量子力学的发 展提供了启示,最适于成为引向现代物理的跳板.其最小 作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而 富有概括性的出发点 直到最近,分析力学在非线性非完整系统中的研究 非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象 的研究等等,正在丰富分析力学的内容,且大大开阔它的 应用范围
分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取 得的成果的一部分, 在一定程度上解决了上述问题(并末 全部解决,有关的研究现在还在继续). 它给出了力学系统 在完全一般性的广义坐标下具有不变形式的动力学方程 组，并突出了能量函数的意义. 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 分析力 学的数学形式有着极好的性质, 它不仅提供了解决天体力 学及一系列动力学问题的较佳途径, 同时给量子力学的发 展提供了启示, 最适于成为引向现代物理的跳板. 其最小 作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而 富有概括性的出发点. 直到最近, 分析力学在非线性非完整系统中的研究, 非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象 的研究等等, 正在丰富分析力学的内容, 且大大开阔它的 应用范围
二、约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动,对 机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束 约束条件对运动的限制由一些力来体现,这些力一般 不是给定的,而是与运动状况有关的未知力.因此,对于动 力学问题,约束也应作为一个基本因素加以考虑 个质点可用矢径r或三个坐标表示,n个质点组成的 系统,则由n个矢径或3n个坐标描述,它们确定每一时刻 各质点的位置以及质点组的形状—确定系统的位形 位形不能决定系统的“力学状态”,仅由某时刻的位 形不能预言在下一个时刻系统的位形.对于n个质点的系 统,还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态
二、约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动, 对 机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束. 一个质点可用矢径r或三个坐标表示, n个质点组成的 系统, 则由n个矢径或3n个坐标描述, 它们确定每一时刻 各质点的位置以及质点组的形状——确定系统的位形. 约束条件对运动的限制由一些力来体现, 这些力一般 不是给定的, 而是与运动状况有关的未知力. 因此, 对于动 力学问题, 约束也应作为一个基本因素加以考虑. 位形不能决定系统的“力学状态”, 仅由某时刻的位 形不能预言在下一个时刻系统的位形. 对于n个质点的系 统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态．
给定了某一时刻的坐标和速度,由动力学方程原则上 单值地确定该时刻的加速度,因而能够唯一地确定下 个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度,以此类推,当知道 某一时刻的状态,就知道了系统在任一时刻的状态 几乎所有的力学系统都存在着约束。例如,刚体内 任意两质点间距离不变,两个刚体用铰链连接,轮子无滑 动地滚动,两个质点用不可伸长的绳连接等等对状态的 限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制, 其数学表示式是 913 0(5.1 约束方程,坐标和速度必需满足的条件称为约束条件
给定了某一时刻的坐标和速度, 由动力学方程原则上 单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下一 个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度, 以此类推, 当知道 某一时刻的状态, 就知道了系统在任一时刻的状态． 几乎所有的力学系统都存在着约束。 例如, 刚体内 任意两质点间距离不变, 两个刚体用铰链连接, 轮子无滑 动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对状态的 限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制, 其数学表示式是 ( , , , , ; , , , , , ) 0 (5.1) f r1 r2 r3 rn r1 r2 r3 rn t = ——约束方程, 坐标和速度必需满足的条件称为约束条件
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制,而对各质点的 速度没有限制,这种约束称为几何约束,其数学表示式是 f(G,,,…,;t)=0(52) 例如,刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束 G-)-=2=0 对于涉及力学系统运动情况的约束,即对速度也有限制的,则 称为运动约束,其中显含速度例如半径为R的圆柱在地面上沿着 直线作无滑动地滚动这意味着着地点的速度为零 xo-rO=0 运动约束亦称为微分约束或速度约束 几何约束的约束方程虽然不显含速度 项,但实际上它在对位置限制的同时也 对系统的速度给予了限制,事实上,由式产 (51)对时间求全导数,得
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而对各质点的 速度没有限制, 这种约束称为几何约束, 其数学表示式是 ( , , , , ; ) 0 (5.2) f r1 r2 r3 rn t = 例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束. 对于涉及力学系统运动情况的约束, 即对速度也有限制的, 则 称为运动约束,其中显含速度. 例如半径为R的圆柱在地面上沿着 直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零. 0 − = 0 x R 运动约束亦称为微分约束或速度约束． 几何约束的约束方程虽然不显含速度 项, 但实际上它在对位置限制的同时也 对系统的速度给予了限制, 事实上, 由式 (5.1)对时间求全导数, 得 ( ) 0 2 2 ri − rj − rij =