《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第八讲 有心力两体问题质心坐标系

1.3)曲柄OA以匀角速ω绕定点O转动此曲柄借连杆AB使滑块 B沿直线Ox运动求连杆上C点的轨道方程及速度设AC=CB=a, AOB=9, ABO=y 解:研究对象为C,建立直角坐标系如 图,则C点的坐标从图中可以得出 x=rcosoptacosy,y=asin y rsin =2asin y,.. sin Since a cos y=va-y (1)2+(2)2,4x(a2-y2)=(x2+3y2+a2-r2)2 轨道方程 cos pp (2) and x=-rpsin -asin u,y=ay cosy from title,q=ot,φ=0 ro cos p COS+4 sn cos y sin(+y 2a cos y 2a cos y then x=-rosin -tan y cos p,y cos p

1.3) 曲柄OA以匀角速绕定点O转动. 此曲柄借连杆AB使滑块 B沿直线Ox运动. 求连杆上C点的轨道方程及速度. 设AC=CB=a, AOB=, ABO=. 解:研究对象为C, 建立直角坐标系如 图, 则C点的坐标从图中可以得出 cos (2) since cos (1) 2 sin 2 sin , sin cos cos , sin 2 2 2 2 r x a y a a y r y r a x r a y a − −  = = − =  = = + =          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) +(2) ,4x (a − y ) = (x +3y + a −r ) 轨道方程 cos 2 tan cos , 2 then sin cos cos 2 from title, , and sin sin , cos                      r y r x r a r t x r a y a = − − =  = = = = − − =             (  )    = cos + 4sin cos sin + 2 cos 2 a r v

1.24)质量为m与2m的两质点,为一不可伸长的轻绳所联结,绳挂 在一光滑的滑轮上在m的下端又用固有长度为a倔强系数k为 mgy的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点在开始时,全体保持 竖立,原来的非弹性绳拉紧,而有弹性的绳则处在固有长度上.由 此静止状态释放后,求证这运动是简谐的,并求出其振动周期及 任何时刻两段绳中的张力T及T 证:取坐标轴向下为正对应三点表示如图 mx=T+mg -T 2mx2=2mg-7 mrI mg x+mg-T 2m mg 2mg-T m(,+x)=mg g mg then x'+ g 3c 2丌 14e ,x'=a(1-cos @r), T=2mg1--cos 2, /8 Ba 2丌 2a

1．24)质量为m与2m的两质点, 为一不可伸长的轻绳所联结, 绳挂 在一光滑的滑轮上. 在m的下端又用固有长度为a倔强系数k为 mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点. 在开始时, 全体保持 竖立, 原来的非弹性绳拉紧, 而有弹性的绳则处在固有长度上. 由 此静止状态释放后, 求证这运动是简谐的, 并求出其振动周期 及 任何时刻两段绳中的张力T及T’. x2 证 x1 : 取坐标轴向下为正. 对应三点表示如图 x3 ' ' ' and , ' ' 2 2 ' 2 1 3 1 3 2 1 x a mg T k x x x x x x mx mg T mx mg T mx T mg T = = = − = +      = − = − = + −         x’ ( ) 3 4 ' 3 4 then ' ' ' 2 2 ' 1 1 1 g x a g x x a mg m x x mg mx mg T x mg T a mg mx + =        + = − − = − = + −              = = = − = − t a g x a t T m g g a 2 cos 2 3 1 , ' (1 cos ), 2 1 4 3 2 2     

1.31)假定单摆在有阻力的媒质中振动,并假定振幅很小,故阻力 与a成正比,且可写为R=-2ma,式中m是摆锤的质量,l为摆长, k为比例常数试证当k2<g/时,单摆的振动周期为 7=2丌 解 dy g-k mg sin 0-2mk1e 6 dv 10 dt R ∴16=85mb-2kl6-sn0-0、i+2k+80=0 mg 设g/=02为固有频率,在k2<g/情况,即阻力较小时,上述方程解为 0=Age cos(ot+P),0=v 2丌 2丌 2丌 k k

1.31)假定单摆在有阻力的媒质中振动, 并假定振幅很小, 故阻力 与成正比, 且可写为R=－2mkl , 式中m是摆锤的质量, l为摆长, k为比例常数. 试证当k 2＜g/l时．单摆的振动周期为 g k l l 2 2 −  =   R v mg 解:   mg mkl  t v m sin 2 d d = − −    l t v = d d sin 2 2 0 sin ~   = −  −  ⎯⎯⎯→ +  +  =   l g l g k l k     设g/l=0 2为固有频率, 在k 2< g/l情况,即阻力较小时,上述方程解为 2 2 0 0 A e cos( t ), k t = + = − −       g k l l k 2 2 2 0 2 2 2 − = −  = =      

214)一条柔软、无弹性、质量均匀的绳索,竖直地自高处下坠至 地板上如绳索的长度等于L每单位长度的质量等于.求当绳索 剩在空中的长度等于x时.绳索的速度及它对地板的压力.设开始 时绳索的速度为零,它的下端离地板的高度为h 解:绳索剩x时,其质量m=x,受 力F=-xg (mv)=F(t) dt (a)=一ag==g→w=-g:y2=2+1-x) 再求对地板压力Ndm=N-0(-x)→vo=N-a(-x)g N=2h+3(-x

2.14)一条柔软、无弹性、质量均匀的绳索, 竖直地自高处下坠至 地板上. 如绳索的长度等于l. 每单位长度的质量等于 . 求当绳索 剩在空中的长度等于x时. 绳索的速度及它对地板的压力. 设开始 时绳索的速度为零,它的下端离地板的高度为h. h l O x N 解: 绳索剩x时, 其质量m＝ x, 受 力F=－ xg ( ) ( ), d d mv F t t = d d , 2 ( ) d d ( ) d d 2 0 v g v v g x v g h l x x v x v x g t x h l v = −  = −  = −  = + −   +   再求对地板压力N N l x g v N l x g t m v ( ) ( ) d d 2 = − −   = − − N =2h+3(l − x)g

215机枪质量为M,放任水平地面上,装有质量为M的子弹机 枪在单位时间内射出子弹的质量为m其相对于地面的速度为 如机枪与地面的摩擦系数为试证当M全部射出后,机枪后退 的速度为MM+M)2-M2 M 2mM 解:坐标系选取水平x时向机枪后退方向为正,任意时刻机枪总 质量为M(,后退速度为v,显然 dM m,M(t=M+M-mt dt 摩擦力 N()4=(M+M-m)g 由 (M()v) dm(t) =F(t) dt ((M+M-mtyv)-mu, =-(M+M'-mt)ug d 两边积分,且0,V2=0,42=0,得 (M+M'-mtyv -mu t=(M+M)t- mt? ug

2.15)机枪质量为M, 放任水平地面上, 装有质量为M’的子弹. 机 枪在单位时间内射出子弹的质量为m, 其相对于地面的速度为u. 如机枪与地面的摩擦系数为试证当M’全部射出后，机枪后退 的速度为 ( ) g mM M M M u M M  2 ' ' 2 2 + − − 解: 坐标系选取水平x时向机枪后退方向为正, 任意时刻机枪总 质量为M(t),后退速度为v,显然 m M t M M mt t M = , ( ) = + '− d d ' 摩擦力 N(t) = (M + M'−mt)g ( ), d d ( ) ( ( ) ) d d u F t t M t M t v t 由 − = (M M m t)v m u (M M m t) g t ( + '− x ) − x = − + '−  d d 两边积分,且t=0, vx =0,ux =0,得 (M M m t)v m u t (M M )t m t g x x       + − − = − + − 2 2 1 '

而子弹全部射完需要的时间为t= M 2MM+M Mv=Mu pg 2m 2MM+M M 2Mm M M+M-M M 2Mm

而子弹全部射完需要的时间为 m M t ' = g m MM M Mv M u x x  2 2 ' ' ' 2 + − = − ( ) g Mm M M M u M M g Mm MM M u M M v x x x   2 ' ' 2 ' 2 ' ' 2 2 2 + − = − +  = −

218)原始总质量为M的火箭,发射时单位时间内消耗的燃材与 M正比,比例常数为a并以相对速度v喷射已知火箭本身的质量 为M,求证只有当a>g时,火箭才能上升;并证能达到的最大速 度为 vIn M 能达到的最大高度为 2g、M 证明要使火箭上升,必须发动机推力>火箭重量 dm vMn,vCM。>Mng→vo> dt 由于ν是常量,所以火箭飞行速度可从公式得 认"+hz女 g 火箭质量变化是常数,0=0 M V火=vh(1-an)-gt

2.18) 原始总质量为M0的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃材与 M0正比, 比例常数为, 并以相对速度v喷射.已知火箭本身的质量 为M, 求证只有当 v＞g时, 火箭才能上升; 并证能达到的最大速 度为 能达到的最大高度为         − − 0 0 ln 1 M g M M M v           + − −      M M M v M M M g v 0 0 2 0 2 ln 1 ln 2  证明:要使火箭上升,必须发动机推力>火箭重量. v M v M M g v g t M v =  0 ,  0  0    d d 由于v是常量,所以火箭飞行速度可从公式得 gt M M v = v + v − 0 0 火 ln 火箭质量变化是常数,v0=0 v 火 = v ln(1−t) − gt

而燃料燃烧时间t M。M Mo g M C 火mx=vhn 0 M a M 从而火箭燃烧结束的高度为 dh dt 火=vm( h=[(1-a)In(1-at)+at]--gt M M。-M 1-In 0 I max C 0 0 然后火箭以初速度vm竖直上抛,高度为 M MM g M max g g C Mo 2a 0 M M M Hmax= h,max +h, In gM M

而燃料燃烧时间 , 0 0 M M M t  − =        = − − M g M M M v v 0 0 max ln 1  火 从而火箭燃烧结束的高度为   2 2 1 ln(1 ) (1 )ln(1 ) d d t t t gt v v v t gt h t h = = − −  = − − + −  火  2 0 0 0 1max 2 1 1 ln         −  −      = − M M M g M v M h   然后火箭以初速度vmax竖直上抛,高度为 2 0 2 0 0 2 0 2 2 max 2max 1 2 ln 1 ln 2 2         + −         − −         = = M g M M M M v M M M g v g v h           + − −         = + = 0 0 2 0 2 max 1max 2max ln 1 ln 2 M M M v M M M g v H h h 

第八讲 有心力 两体问题 质心坐标系

第八讲 有心力 两体问题 质心坐标系

本讲导读 有心力的性质 比耐公式 开普勒定律 两体问题 质心系和实验室系 引力场

本讲导读 • 有心力的性质 • 比耐公式 • 开普勒定律 • 两体问题 • 质心系和实验室系 • 引力场