第兰章连续时间系统的时域分析 §2.1引言 本章主要研究线性时不变(LTD连续时间系统的分析方法 (一)建立系统的数学模型—微分方程 (二)系统分析的任务: 给定或建立系统模型、给定输入信号,求系统的 输出响应。 (三)系统分析方法: 时域分析法,包括 微分方程法,经典法求解系统方程的完全解(0+ 卷积法,已知或求得系统的冲激响应,将冲激响 应与输入激励信号相卷积,得到系统的输出响应(零状态 响应)。它是时间域与变换域分析线性系统的纽带。(0
第二章 连续时间系统的时域分析 本章主要研究线性时不变(LTI)连续时间系统的分析方法 （一）建立系统的数学模型——微分方程 （二） 系统分析的任务： 给定或建立系统模型、 给定输入信号，求系统的 输出响应。 （三）系统分析方法： 时域分析法,包括 微分方程法，经典法求解系统方程的完全解（0＋ ） 卷积法， 已知或求得系统的冲激响应，将冲激响 应与输入激励信号相卷积，得到系统的输出响应（零状态 响应）。它是时间域与变换域分析线性系统的纽带。（0_ ） §2.1 引言
系统 建立系统的微分方程求转移算子H(p) 求特征根}求零输入响应 求冲激响应h(上求零状态响应 y()=f(1)*(t 求全响应y()=y(0)+y:( ◆时域经典法和时域卷积法
系 统 建立系统的微分方程 求转移算子H(p) 求特征根 求冲激响应h(t) 求零输入响应 y (t) x 求零状态响应 y (t) f (t)*h(t) f = y(t) y (t) y (t) 求全响应 = x + f 时域经典法和时域卷积法
2,2微分方程的建立与求解 构筑微分方程的基本依据 1、元件特性:即表征元件的特性的关系式。 2、网络拓扑结构:KCL、KVL。 a电阻1R=2(Q)p=m b电容:C9()1sR R i(tdI u(t) c电感:14t1()i() dt u ( o)at d耦合电感vI的关系
§2.2微分方程的建立与求解 a.电阻： b.电容: c.电感: ( ) ( ) i t u t R = ( ) ( ) u t q t C = R p ui R u i 2 2 = = = − = t c i d c u ( ) 1 i l = dt di t u t l l ( ) ( ) = d l t il ul ( ) 1 − = d.耦合电感v—I 的关系 dt du t i t c ( ) ( ) = 一、构筑微分方程的基本依据 1、元件特性：即表征元件的特性的关系式。 2、网络拓扑结构：KCL、KVL
1()s 土m 办 12±m di lt dt 1
dt di m dt di l dt d v t 2 1 2 2 2 ( ) = = dt di m dt di l dt d v t 1 2 1 1 1 ( ) = = V 1 V 2 I 1 M I2 L1 L2
例:电路如图所示激励信号 e(t)=Eeu(t,求输出信号v() R2 (t) dvo( e C R,+vo (t) R dv(t r,+ r 0 elt r Rc R,C 即此系统模型用输入-输出的微分程来描述
R1 e(t) C R2 ( ) 0 v t ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 0 R v t dt dv t c R v t e t + = + ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 1 2 0 1 2 e t R c v t R R c R R dt dv t = + + ( ) ( ), ( ) 0 e t Ee u t v t = −t 求输出信号 例:电路如图所示,激励信号 即此系统模型用输入-输出的微分程来描述
、一般线性系统的数学描述 l:将上例推广到一般:e(t)-—激励,r(t)——响应,系统描述为: + an-1 ..+ +aor=6 dme ..+ 6,+ boe dt 、求解问题: Δ:由时域经典法:r(t)=齐次解(通解)+特解。 ()=∑c M, !+yp 其中齐次解通解:描述方程式左边=0的解,对应于自由响应 系数ci由边界条件求得,指数系数由如下求得 其特征方程:2+an-1+…+a1+ao=0 特征方程的根,2.为微分方程的特征根,称为 系统的固有频率或自然频率,对应于自由响应 特解:对应于强迫响应 B:指卷积法。(求解零状态响应及零输入响应)
二、一般线性系统的数学描述 b e dt de b dt d e a r b dt dr a dt d r a dt d r e t r t m m n m n n n n 1 1 0 1 0 1 1 ... ... 1 ( ) ( ) + + + + = + + + − − − ：将上例推广到一般： — —激励， — —响应，系统描述为： 三、求解问题： A：由时域经典法：r(t)=齐次解（通解）+特解。 ... 1 0 0 1 + 1 + + + = − a − a a n n n 其特征方程： 特解：对应于强迫响应 B：指卷积法。（求解零状态响应及零输入响应） ( ) ( ) 1 r t c e y t p t i n i = i + = 系数ci由边界条件求得, 指数系数由如下求得 系统的固有频率或自然频率 对应于自由响应。 特征方程的根 ， 为微分方程的特征根，称为 , ... 1 2 n 其中齐次解/通解：描述方程式左边=0的解， 对应于自由响应
§28系统模型的算子表示法 算子符号表示的基本规则: l:定义算子:p d x d t x xd 如: +2“+5r+ r(TaT +3e t 用算子表示成:p2r+2p+5+-r=pe+3e 即(p2+2p+5+-)r=(p+3)e
§2.8 系统模型的算子表示法 一、算子符号表示的基本规则： dt d 1：定义算子：p = d p t − = () 1 dt dx 则：px = n n n dt d x p x = − = t x x d p 1 e dt de r r d dt dr dt d r t 2 5 ( ) 3 2 2 + + + = + − 如： r pe e p p r pr r 3 1 2 5 2 用算子表示成： + + + = + r p e p p p ) ( 3) 1 ( 2 5 2 即： + + + = + ~
算子运算规则: 其一:对算子多项式可以进行因式分解,但不可以公因子相消 由nx=py不可以得出x=y 由D(p)x=D(p)y不可以得出x=y (p+a)(P+b)x=(+a)(+b)x +a)(,x+bx) x+bx)+a x+bx)=x+b-x+a-x+abx dt dt Lp- +(a+bp+ab 其二:算子乘除运算不可以颠倒PDx2p xdr=x(t);p xlaz=x(1)-x(-∞) P aT 当且仅当x(-∞)=O时,px=px2:px≠px
二、算子运算规则： px p x p p 1 1 由px = py不可以得出x = y 由D(p)x = D(p)y不可以得出x = y [ p (a b) p ab]x 2 = + + + 其一：对算子多项式可以进行因式分解，但不可以公因子相消 其二：算子乘除运算不可以颠倒 px p x p px p p x p x p x d x t x d d p p x d x t dt d x p p t t 1 1 ; 1 1 ( ) 0 [ ] ( ) ( ) 1 ( ); 1 − = = = = = = − − − − 当且仅当 时， 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) d d d d p a p b x a b x a x bx dt dt dt dt d d d d d d x bx a x bx x b x a x abx dt dt dt dt dt dt + + = + + = + + = + + + = + + +
系统描述为: d dr de +a ++a,-+ar=b +.+6,+be 转移算子 用算子表示为 (P"+an1pn+…+a1p+ay=(bnpn+bnP"+…+b) D(p) N(p) 即:D(p)r(t)=N(p)e(t) r(o() e(t) D(p(o H(p N(p) 定义转移算子:H(p)=D(P)(又称传输算子)
三、转移算子 b e dt de b dt d e a r b dt dr a dt d r a dt d r m m n m n n n n 1 1 0 1 0 1 1 + + ... + + = + ... + + − − − 系统描述为： p a p a p a r b p b p b e m m m m n n n ( ... ) ( ... ) 0 1 1 0 1 1 + 1 + + + = + + + − − − − 用算子表示为： N( p) 即：D(p)r(t)=N(p)e(t) ( ) ( ) ( ) ( ) e t D p N p r t = ( ) ( ) ( ) D p N p 定义转移算子：H p = （又称传输算子） H( p) e(t) r(t) D( p)
§2。8系统方程的算子表示法 例:下图中e()为激励,l2为响应,求转移算子。 解:用KVL: 2 dt +3i,=0 dt dt (3p+1)-pi2=e(t) →(2p2+10p+3)i2=pe( p1+(p+3)i2=0 H(p)=,2 p2+10p+3 运用算子运算与代数符号运算的近似性,配合有关规则, 使解微分方程变得相对简单
§2。8 系统方程的算子表示法 例：下图中e(t)为激励， i 2 为响应，求转移算子 。 1 1 2 1 i 1 i 2 2 解 ：用KVL： − + + = + − = 3 0 3 ( ) 2 1 2 2 1 1 i dt di dt di e t dt di i dt di (2 10 3) ( ) ( 3) 0 (3 1) ( ) 2 2 1 2 1 2 p p i pe t pi p i p i pi e t + + = − + + = + − = 即： 2 10 3 ( ) 2 + + = p p p H p 运用算子运算与代数符号运算的近似性，配合有关规则， 使解微分方程变得相对简单