第四章拉普拉斯变换连续时间系 统的S域分析 本章研究信号、糸统的复频城分析(拉氏变换法) 糸统函教H(S)以及零极点的分析 §41引言 一、拉氏变换的来源 拉氏变换的优点 1、简化求解步骠 同肘给出微分议程通解和特解,且初始条件旬动计入。 2、将傲分、积分转化为乘法、除法,简化运算。 同时将微分方程转化为代数方程
第四章 拉普拉斯变换 连续时间系 统的S域分析 本章研究信号、系统的复频域分析（拉氏变换法） 系统函数H（S）以及零极点的分析 §4.1 引言 一、拉氏变换的来源 二、拉氏变换的优点 1、简化求解步骤 同时给出微分议程通解和特解，且初始条件自动计入。 2、将微分、积分转化为乘法、除法，简化 运算。 同时将微分方程转化为代数方程
S41言 3、指教函教,超越函教和有不连点的函教转化为初等函教。 4、拉氏变换化附城卷积为乘法,减小运算难度。 5、利用無统函数的零极点分布来直观表征糸统的肘城和频城特性 拉氏变换油应用范圄 拉氏变换依赖于糸统的叠加性与齐次性, 用于连续线性肘不变糸统,对于离散糸统,井线性糸统, 时变糸统,拉氏变换无能为力。 对拉氏变换的恿体狸解 可理解为求解线性微分方程的工具,类似算子法。 2、可狸解为广义的傳立叶吏换。即对肘间函教进行复频城分解 但此肘不是正交分解
§4.1 引言 3、指数函数，超越函数和有不连续点的函数转化为初等函数。 4、拉氏变换化时域卷积为乘法，减小运算难度。 5、利用系统函数的零极点分布来直观表征系统的时域和频域特性 三、拉氏变换法应用范围 拉氏变换依赖于系统的叠加性与齐次性， 用于连续线性时不变系统，对于离散系统，非线性系统， 时变系统，拉氏变换无能为力。 四、对拉氏变换的总体理解 1、可理解为求解线性微分方程的工具，类似算子法。 2、可理解为广义的傅立叶变换。即对时间函数进行复频域分解， 但此时不是正交分解
42拉氐换的定义收敛城 从傅氏变换到拉氏变换 有几种情况不满足狄里赫‖若乘一衰减因子e 利条件: O为任意实数,则 f(4)·e收敛,于满 足狄里赫利条件 ulte 增长信号e“(a>0) at 冷周期信号cOSO,t (a>a) coso
§4.2 拉氏变换的定义、收敛域 有几种情况不满足狄里赫 利条件： ❖ u(t) ❖ 增长信号 ❖ 周期信号 e (a 0) at ❖ 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于满 足狄里赫利条件 t e − t f t e − ( ) t u t e − ( ) e .e ( a) at t − e t t 1 cos − t cos1 一、从傅氏变换到拉氏变换
因果 f (t=f(t)e s=0+J0 拉普拉斯正变换 F(a)=f(t)e loto)dt F(s)=lf(t)esat 单边拉氏正变换 FT:实频率O是振荡频率 LT:复频率SO堤是振荡频率,σ控制衰减速度
t f t f t e − ( ) = ( ) 1 F f t e dt j t − + = 0 ( ) 1 ( ) ( ) 因果 − = 0 F(s) f (t)e dt st s = + j FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度 单边拉氏正变换 拉 普 拉 斯 正 变 换
f(te=l F(s)edn 拉 2兀 普两边同时乘以e有 拉 斯 反 F(se 2兀 变 换S=0+j→ds=dσ+ du 于是上式写为: 反变换式 O+10 f(t F(se ds
拉 普 拉 斯 反 变 换 f t e F s e dw t jwt − − = ( ) 2 1 ( ) f t F s e dw e j w t t − + = ( ) ( ) 2 1 ( ) 两边同时乘以 有： ds j s j w ds d djw dw 1 = + = + = 于是上式写为： 反变换式 F s e ds j f t j j s t + − = ( ) 2 1 ( )
、拉氏变换与傅氏变换的区别 傅氏:FT[f(t]=F)t,W为实数,W表示频率 拉氏:LT(t]=F(s)t为实数,S为复数,S.示复频率 2、傳氏:建立肘城与频蜮的关糸。将肘城信号分解成正孩和 的形式。 拉氐:建立肘堿与S城(复频城)的关糸。将肘城信号分解 成e或 e cow的和的形式。 三、复频蜮与复频率 1、s=σ+jw称复频率 2、以σ为横轴,j为纵轴建立起来的坐标系, 称复平面(s平面
二、拉氏变换与傅氏变换的区别 1、傅氏：FT[f(t)]=F(w) t,w为实数，w表示频率 拉氏：LT[f(t)]=F(s) t为实数，s为复数，s表示复频率 2、傅氏：建立时域与频域的关系。将时域信号分解成正弦和 的形式。 拉氏：建立时域与s域（复频域）的关系。将时域信号分解 成 的和的形式。 三、复频域与复频率 1、s = + jw称复频率 称复平面（ 平面）。 、以 为横轴， 为纵轴建立起来的坐标系， s 2 j w e e wt st t cos 或
3复平面上任意一点对应一个值,s值决定 e=e"e"的值. 4、由5平面上点的位置,易分析e”=e·e"的变化规律 (见下页图) A:o反应幅度变化规律,w反应频率 B:σ大e幅度变化快;大,频率高。 C:一对共轭复频率σ±j对应一个正弦振荡 或指数为包络线的正弦振荡 e(atw)t te(o-n)t=2eot. coswt 、傅立叶变换是拉氏变换的特殊情况: 即:G=0时,s=i
4、由 s平面上点的位置，易分析 的变化规律 (见下页图 ) st t jwt e = e e A：反应幅度变化规律， w反应频率。 B： 大,e st幅度变化快； w大，频率高。 即： = 时，s = j w 、傅立叶变换是拉氏变换的特殊情况： 0 5 . 3. , 的值 复平面上任意一点对应一个 值 值决定 s t t jwt e e e s s = e e e wt C j w j w t j w t t 2 cos ( ) ( ) + = + − 或指数为包络线的正弦振荡 ：一对共轭复频率 对应一个正弦振荡
S=O+10 e/w 00 ★ O 阶极点
一阶极点 j s = + j st t jwt e = e e
四拉氏变换的收敛域 1收敛区:使f()e满足纯对可积的O的取值范圆, σ=Re{S},收敛区内拉氏叟换存在,收敛区外拉氏变 换不存在。(收敛区可记为ROC 2、收敛条件: 对f()e而言,取t→∞,若当σ>σ时p其极 限为0,则f()e在σ>σ内是收敛的。即: lim f(t)e O(O>∞0) > σ>σ0为f(t)的收敛条件,a0与函数f(t)性质有关 根据收敛条件σ>σ。→单边拉氏变换的收敛域为S平面中 垂直于实轴的直线σ=C之右的右半平面
四、拉氏变换的收敛域 1、收敛区：使 满足绝对可积的 的取值范围， =Re{s} ， 收敛区内拉氏变换存在，收敛区外拉氏变 换不存在。( 收敛区可记为ROC.) t f t e − ( ) 限为 ，则 在 内是收敛的。即： 对 而言，取 若当 时，其极 、收敛条件： 0 0 0 ( ) ( ) , 2 → − − t t f t e f t e t lim ( ) 0 ( ) 0 = − → t t f t e 0 ( ) ( ) , 0 为f t 的收敛条件， 0 与函数f t 性质有关 垂直于实轴的直线 之右的右半平面 根据收敛条件 单边拉氏变换的收敛域为 平面中 C S = 0
4求右边信号的f(O)=e()拉氏变换及收敛域 -(s+a) e F(s)=LTTealu(t) u(te dt o e(s+atdt s+a 上式积分只有在(Re{S}+a>0),Re{s}>-a,即O>a时收敛,此时有 e-u(t)<> s+a 例2求左边信号的f(t)=-e"lv(-t)的拉氏变换及收敛域 e F(S=LT[-elu(1)]=eu(t)esat (s+a)t s+a 上式积分只有在(Res}+a<0),Re{s}<-a,即o<=a时收敛,此时有 s+a 结论:只有拉氏变换式和收敛域一起才能与信号建立建立一一对应 关糸,必须指明收斂城
例1 求右边信号的f (t) = e −a t u(t)的拉氏变换及收敛域 上式积分只有在(Re{s}+a>0), Re{s}>-a , 即 >-a时收敛,此时有 a s a e u t at − + − , 1 ( ) 例2.求左边信号的f (t) = −e −a t u(−t)的拉氏变换及收敛域( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] ( ) | s a t at at st s a t e F s LT e u t e u t e dt e dt s a − + − − − − + − − − = − − = − − = − = + 上式积分只有在(Re{s}+a<0), Re{s}<-a , 即 <-a时收敛,此时有 结论:只有拉氏变换式和收敛域一起才能与信号建立建立一一对应 关系,必须指明收敛域. − + − + − − − + = = = = − 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] ( ) | s a e F s LT e u t e u t e dt e dt s a t a t a t s t s a t a s a e u t at − + − − , 1 ( )