第三章傅立叶变换 傅里叶生平 139世纪初叶,法国著名的数学家 1768年生于法国 1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示” 1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件
第三章 傅立叶变换 傅里叶生平 １９世纪初叶，法国著名的数学家 • 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示” • 1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件
傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和 一傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” —傅里叶的第二个主要论点 本章主要讨论从频域的角度分析信号
傅立叶的两个最主要的贡献—— v “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”— —傅里叶的第一个主要论点 v “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 本章主要讨论从频域的角度分析信号
§3.1引言 一.信号的肘频分析 2 A: f(t)=2sin(wt)+sin (2wt 从射城分析 其波形 从频城分析 其频谱图: 二.信号频谱分析:把信号表示成各个不同频率的谐波,分析其所包含 的频率分量
§3.1 引言 例: f(t)=2sin(wt)+sin(2wt) 从时域分析 其波形: 2 1 从频域分析 其频谱图: 0 w 2w 2 1 一.信号的时频分析 二.信号频谱分析:把信号表示成各个不同频率的谐波,分析其所包含 的频率分量 t t w
付里叶换:即建立起信号肘蜮波形与频堿频谱的 内在联糸,f(t)F(W) 由此本章内容: 速续周期倍号一傅里叶级款分析)建立起信号时城皎形 连殃非周期信号傅里叶变换分析}与频城频谱的内在 连周期信号一傅里叶变换分析」联条f()F(0)
连续周期信号 傅里叶级数分析 连续非周期信号 傅里叶变换分析 连续周期信号 傅里叶变换分析 建立起信号时域波形 与频域频谱的内在 联系.f(t) F(w) 三、付里叶变换：即建立起信号时域波形与频域频谱的 内在联系.f(t) F(w) 由此本章内容:
§3.2周期信号的傅立叶级教分析 信号的正交分解 1、正交矢量 两个矢量正交:1-ν2=0或标量系数C2 0 2、正交函数 若(2()在区间(1,已2)正交:f1(t)厂2(t) f(1)不包含f2()的分量 fi(tf,(t)dt 或 12 0 复变函教的正交特性 f2(t)dt 1 f1(t)f2(n)t=[f()/2(t)h=0 f(tf2(tdt 12 t2 f,(t)f2(t)dt
§3.2 周期信号的傅立叶级数分析 一 信号的正交分解 1、正交矢量 两个矢量正交： v1 v2 0或标量系数 0 . 2 2 1 2 12 V V V c 2、正交函数 若f1(t),f2(t) 在区间（t1, t2）正交： ( ) ( ) 0 2 1 1 2 t t f t f t dt 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 12 t t t t f t dt f t f t dt 或c f 1 ( t ) 不包含 f 2 ( t ) 的分量 复变函数的正交特性 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 2 1 2 * 1 * 1 2 t t t t f t f t dt f t f t dt 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 2 * 1 2 12 t t t t f t f t dt f t f t dt c
信号的正交分解 3、正交函数集 n个函数{8(),g2(0)…g1()}构成一函数擦 如在区间(t1,12)内满足正交特性,即 g i(t)dt = K (=0(≠) 则此函数篡称为正交函数集 另一种定义(完备性):在正灾集{g(1)}之外再汲有 一有限能量的x(t)满足以下条件 x(t)g(t)dt =0
一 信号的正交分解 3、正交函数集 n个函数 构成一函数集， 如在区间 ( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即 ( ) ( ) 0 ( ) 2 1 g t g t dt i j t t i j 2 1 ( ) 2 t t i K i g t dt 则此函数集称为正交函数集 g1(t),g2 (t),gn (t) 另一种定义（完备性）：在正交集 之外再没有 一有限能量的x(t)满足以下条件 gi(t) 2 1 ( ) ( ) 0 t t x t g i t dt
32周期信号的傅立叶级数分析 任意函教由n个正交的函教的线性组合所近似 g1(1)+c2g2(t)+…+cngn(t) gr(t) 原函数 f(tg (t) dt f(t)g,(t)dt 2 gi(t)dt K 4、常用正交完备集 「角品数集{ cos no;t}ng sin no t n→ 复指教函数集 e Jn oit n→c 二周期信号付里叶级数 周期信号可畏开成正交函数线性组合的无穷级数: 三角函数式的傅立里叶级数{ conopt, sinnott 复指数函数式的傅里叶级数{en
§3.2 周期信号的傅立叶级数分析 .周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn1t, sinn1t} . 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n 1 t } 二 周期信号付里叶级数 任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 c g t f t c g t c g t c g t n r r r n n 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 t t t i i t t i t i i f t g t dt g t dt K f t g t dt c 原函数 三角函数集 n n t 1 cos n n t 1 sin 复指数函数集 n jn t e 1 4、常用正交完备集
角函数的傅里叶级数 1、三角函教是正交函数 &cosmo,t,sin na +T coS nQ,tsin m@,t dt=0 (3.2) 1o+71 (m=n) sinnot sinmatdt 10(m≠n) (33) 0+1 cosnatcosmatat 33) 0(m≠n)
1、三角函数是正交函数 cos .sin . 0 (3.2) 1 1 0 1 0 n t m t dt t T t 1 0 1 0 2 1 1 ( ) sin sin (3.3) 0 ( ) T t T t m n n t m tdt m n 1 0 1 0 2 1 1 ( ) cos cos (3.3) 0 ( ) T t T t m n n t m tdt m n 一 、三角函数的傅里叶级数 1 1 {cos n t,sin n t}
2、周期函数f()分解为三角函数的傅里叶级数: f (t)=a0+>(an cos na,t+b, sin n@, t) 直流 基波分量 谐波分量 分量 n=1 2丌 >1 周期信号分解的条件: A在一周期内,如果有间断点存在,则间断点是有限个 B在一周期内,极大值,极小值的教目是有限个 C在一周期内,信号是绝对可积的即D|f1(1)d<o
2、周期函数f(t)分解为三角函数的傅里叶级数: 1 1 2 T ( ) ( cos sin ) 1 1 1 1 0 f t a a n t b n t n n n 直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1 周期信号分解的条件: A在一周期内,如果有间断点存在,则间断 点是有限个 B在一周期内,极大值,极小值的数目是有限个 C在一周期内,信号是绝对可积的.即 2 1 | ( ) | 1 t t f t dt
2 f(t)g (t)dt 由 有 2 8i(t)dt 直流 条数 0 f(t).dt T 余孩分量 rto+li f(tcosn@, tdt 条数 正孩分量 +T1 bn f(t).sinn@, tdt 条数
0 1 0 ( ). 1 1 0 t T t f t dt T a 0 1 0 ( ).cos . 2 1 1 t T t n f t n t dt T a f t n t dt T b t T t n ( ).sin . 2 0 1 0 1 1 直流 系数 余弦分量 系数 正弦分量 系数 由 有： 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 t t i t i i g t dt f t g t dt c t
