第三章傅立叶变换 (3)
第三章 傅立叶变换（3）
§3.9周期信号的傅立叶变换 目的:使周期信号与非周期信号的分析方法统一。 周期信号不满足绝对可积条件,但引入冲激表示频 cos wtI 谱的条件下,其傅立叶变换存在。 正、余弦信号的傅立叶变换 1(ojt te m) jFf[sn w, t cOW,t=-(e 由欧拉公式: 2 jsin w, t=(e/l-e h 1<>2z() C0wt<>[O(w+w1)+6(v-w1) sin w,t<>j[S(w+w-S(w-wD)
§3.9 周期信号的傅立叶变换 目的：使周期信号与非周期信号的分析方法统一。 周期信号不满足绝对可积条件，但引入冲激表示频 谱的条件下，其傅立叶变换存在。 一：正、余弦信号的傅立叶变换 = − = + − − ( ) 2 1 sin ( ) 2 1 cos 1 1 1 1 1 1 j w t j w t j w t j w t j w t e e w t e e 由欧拉公式： 1 2 (w) sin [ ( ) ( )] cos [ ( ) ( )] 1 1 1 1 1 1 w t j w w w w w t w w w w + − − + + − [cos ] 1 FT w t [sin ] 1 jFT w t
§3.9周期信号的傅立叶变换 二 般周期信号的傅立叶变换 2丌 A:设周期信号的周期为71角频率w1(1=),f(4)展开 成傅立叶级数形式则:f(1)=∑Fnem 两边取傳立叶变换,则: FTL()=FT∑Fem =∑F7(Fnem)=2z∑F2(w-mw) F(w)=FTIf(t]=2>Fn S(w-nwi) 其中:F 2f(1)e jnwit dt
§3.9 周期信号的傅立叶变换 二：一般周期信号的傅立叶变换 ：设周期信号的周期为 角频率 ), ( )展开 2 , ( 1 1 1 1 f t T A T w w = − = jnwt n f t F e 1 成傅立叶级数形式则： ( ) 两边取傅立叶变换，则： − − = ( ) = 2 ( − )1 1 FT F e Fn w nw jnwt n [ ( )] [ ] 1 − = jnwt n FT f t FT F e − ( ) = [ ( )] = 2 ( − ) F w nw1 F w FT f t n − − = 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 T T jnwt n f t e dt T 其中：F
§3.9周期倌号的傅立叶变换 B:周期性矩形脉冲与单脉冲的傅立叶变换的关糸 周期信号傅立叶级数:f(1)=∑F2em 其中:F=1 若从f(t)中取一个周期,记为f0(t),记其傅立叶 变换为5(m)则:F(m)=/Omh() 对比(1),(2)式,显然有: Fn=Fo(w)
§3.9 周期信号的傅立叶变换 B:周期性矩形脉冲与单脉冲的傅立叶变换的关系 其中： ( ) （1） 1 2 2 1 1 1 1 − − = T T jnwt n f t e dt T F 1 1 0 2 0 0 2 ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) (2) T jwt T f t f t F w F w f t e dt − − = 若从 中取一个周期，记为 记其傅立叶 变换为 则： − = jnwt n f t F e 1 周期信号傅立叶级数： ( ) 对比(1),(2)式，显然有： 1 0 1 1 ( ) n w nw F F w T = =
§3.9周期信号的傅立叶变换 例1:若草位冲激函数的间隔为T,用δ7(1)表示单位冲激 序列,即:61()=∑(-n)求其傳立叶级数与侮立 叶变换。 解:δn(1)为周期函数,展开成傅立叶级数可写为: 6()=∑ Nwt 2元 or(te nwt dt ,6( nwt dt T S T S F(1)=FT6(O)=2n∑F26(m-m)=2(-m) Fn另解:F0() W=nw
§3.9 周期信号的傅立叶变换 例1：若单位冲激函数的间隔为T，用 表示单位冲激 序列，即： 求其傅立叶级数与傅立 叶变换。 (t) T 解： T (t)为周期函数，展开成傅立叶级数可写为： s jnwt T n T t F e w 2 ( ) ; 1 1 = = − s T T jnwt T T jnwt n T T t e dt T t e dt T F 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 = = = − − − − − = jnwt s T e T t 1 1 ( ) − − ( ) = [ ( )] = 2 [ ( − )] = ( − ) F w nw1 w1 w nw1 F w FT t T n s n w n w T F w T F 1 ( ) 1 * 1 0 = 另解： = ( ) ( ) =− = − n T s t t nT
FT O 0 6()=∑6(t-mn7 F()=0∑0(a0-no
(1) 0 t 0 ( ) 1 −1 1 Ts FT ( ) ( ) =− = − n T s t t nT =− = − n F( ) ( n ) 1 1 (t) T
§3.9周期信号的傳立叶变换 例2、求下图周期矩形脉冲的傳立叶变换与傅立叶级数。 f0(t) 解:如图取f0(),则: Fo(w)=EtSa() 2 Ez。H1 ∵,F F0(w) C W=nw 2 F()=2n∑F26(-mn)=En"∑Sa("-)6(-mn) E f()=∑F Nwt ∑Sa( nw,T e Inwit
§3.9 周期信号的傅立叶变换 例2、求下图周期矩形脉冲的傅立叶变换与傅立叶级数。 … … ( ) 0 f t 解：如图取f 0 (t),则： E 2 − 2 ) 2 ( ) ( 0 w F w = E Sa ) 2 ( ) ( 1 1 1 0 1 1 nw Sa T E F w T Fn w nw = = = jnwt n jnwt n n e nw Sa T E f t F e 1 1 ) 2 ( ) ( 1 1 =− =− = = ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1 1 1 1 w nw nw F w F w nw E w Sa n n = n − = − =− =−
ET F(a) E 2丌 6丌 2 n T1 2丌 E 2丌
t 0 F ( ) 2 6 2 2 − E E F n T1 E T1 2 2 1 E F() ( ) 0f t … …
§3.10时域抽样信号的傅立叶 变换 时域抽样的傅立叶变换 哈理想抽样 矩形抽样 哈时域抽样等效频域周期重复 频域抽样等效为时域周期重 复
§3.10时域抽样信号的傅立叶 变换 ❖时域抽样的傅立叶变换 理想抽样 矩形抽样 时域抽样等效频域周期重复 ❖频域抽样等效为时域周期重 复
抽样(采样取样): 刑用抽样脉冲序列P()从连縯信号∫(1)中“抽取“一糸列的 离散样值;这种离散枰值信号称为抽样信号f(t) 连续信号 f()1拗样量化编码数字信号 P(t) 抽样脉冲 抽样方框图 ()r(t)·F(0)F(a) 肘蜮抽样等效频城周期重复 -抽样定理画演示
抽样（采样 取样）： 利用抽样脉冲序列 从连续信号 中“抽取“一系列的 离散样值；这种离散样值信号称为抽样信号 P(t) f (t) f (t) s 抽样 量化编码 连续信号 f (t) 抽样脉冲 P(t) 抽样信号 f (t) s 数字信号 抽样方框图 (1) () Fs F() –时域抽样等效频域周期重复 (2)f (t) s f (t) ---抽样定理 动画演示