《通信原理》第五讲 §21平稳随机过程 平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程,在通信领域中占有重要 地位 定义 设随机过程{5(),t∈T},若对于任意n和任意选定的 1<12<…<ln,l4∈T,k=1,2…,n,以及h为任意值,且x1x2…xn∈R,有 (2.2-1) (x1,x 1+h,12+h 则称ξ()是狭义平稳随机过程或严平稳随机过程。具体到它的一维分布,则与时 间t无关,而二维分布只与时间间隔r有关,即有 f(x1,1)=f(x1) (2.2-2) f2(x1x2;1,12)=f2(x1,x2;z) 2.2-3) 设有一个二阶矩随机过程ξ(),它的均值为常数,自相关函数仅是r的函 数,则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。一个严平稳随机过程只要它 的均方值E2()有界,则它必定是广义平稳随机过程,但反过来一般不成立。 通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程。 各态历经性
《通信原理》 第五讲 §2.1 平稳随机过程 平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程，在通信领域中占有重要 地位。 一、 定义 设随机过程{ ξ (t) ， t ∈T }, 若 对 于 任 意 n 和 任 意 选 定 的 , , 1,2, , , t1 < t2 < L < tn t k ∈T k = L n 以及 h 为任意值，且 x1 , x2 ,L, xn ∈ R ，有 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 f x x x t h t h t h f x x x t t t n n n n n n = L + + L + L L （2.2-1） 则称ξ (t) 是狭义平稳随机过程或严平稳随机过程。具体到它的一维分布,则与时 间 t 无关，而二维分布只与时间间隔τ 有关，即有 ( , ) ( ) 1 1 1 1 1 f x t = f x （2.2-2） 和 ( , ; , ) ( , ; ) 2 1 2 1 2 2 1 2 f x x t t = f x x τ （2.2-3） 设有一个二阶矩随机过程ξ (t) ，它的均值为常数，自相关函数仅是τ 的函 数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。一个严平稳随机过程只要它 的均方值 [ ( )] 2 E ξ t 有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 二、 各态历经性
假设x()是平稳随机过程ξ()的任意一个实现,它的时间均值和时间相关函 数分别为 a=x(0=lim (dr (2.2-6) R() (t+r)=lim x(o)x(t+r)dr 如果平稳随机过程依概率1使下式成立 (2.2-7 R(r)=R(T) 则称该平稳随机过程具有各态历经性 “各态历经”的含义:随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能 状态。因此,我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数 字特征,从而使“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大为 简化 注意:具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程,但平稳随机过程不 定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均能满足各态 历经条件。 三、平稳随机过程自相关函数的性质 设5(1)为实平稳随机过程,则它的自相关函数 R(r)=E[(()5(t+r) (2.2-8) 具有下列主要性质: (1)R(0)=E[52()=S[5()的平均功率] (2.2-9) (2)R(∞)=E2[() [(1)的直流功率] (2.2-10) (3)R(z)=R(-r) [r的偶函数] (2.2-11)
假设 x(t)是平稳随机过程ξ (t) 的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函 数分别为 ∫ ∫ →∞ − →∞ − = + = + = = / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) 1 ( ) lim T T T T T T x t x t dt T R x t x t x t dt T a x t τ τ τ （2.2-6） 如果平稳随机过程依概率 1 使下式成立 ⎩ ⎨ ⎧ = = R(τ ) R(τ ) a a （2.2-7） 则称该平稳随机过程具有各态历经性。 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能 状态。因此，我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数 字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为 简化。 注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不 一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态 历经条件。 三、 平稳随机过程自相关函数的性质 设ξ (t) 为实平稳随机过程，则它的自相关函数 R(τ ) = E[(ξ (t)ξ (t + τ )] （2.2-8） 具有下列主要性质： （1） R(0) = E[ (t)] = S 2 ξ [ξ (t) 的平均功率] （2.2-9） （2） ( ) [ ( )] 2 R ∞ = E ξ t [ξ (t) 的直流功率] （2.2-10） （3） R(τ ) = R(−τ ) [τ 的偶函数] （2.2-11）
(4)R(r)≤R(O) [R(r)的上界 (2.2-12) (5)R(0)-R(∞)=a2[方差,(t)的交流功率] 当均值为0时,有R(O)=a2。 四、平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程的功率谱密度P(m)与其自相关函数R(z)是一对傅里叶变换关 系,即 P(o)= R(r)e -edr (2.2-18) r(r)=P(O)lerdo 或 P()=R(r)e"/2dr (2.2-19) R(T)= P(edf 简记为 R()分P(o) 关系式(2.2-18)称为维纳一辛钦关系, 功率谱密度P(o)有如下性质 (1)P()≥0,非负性 (2.2-20) (2)P(-)=P(m),偶函数。 (2.2-21) 因此,可定义单边谱密度P(o)为
（4） R(τ ) ≤ R(0) [R(τ )的上界] （2.2-12） （5） (0) ( ) [ ( ) ] R − R ∞ = σ2 方差，ξ t 的交流功率 （2.2-13） 当均值为 0 时，有 2 R(0) = σ 。 四、 平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程的功率谱密度 (ω) Pξ 与其自相关函数 R(τ )是一对傅里叶变换关 系,即 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ − ω ω π τ ω τ τ ωτ ξ ωτ ξ R P e d P R e d j j ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) （2.2-18） 或 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ − R P f e df P f R e d j f j f π τ ξ π τ ξ τ τ τ 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) （2.2-19） 简记为 (τ ) (ω) R ⇔ Pξ 关系式（2.2-18）称为维纳-辛钦关系， 功率谱密度 (ω) Pξ 有如下性质： （1） Pξ (ω) ≥ 0 ，非负性； （2.2-20） （2） ( ω) (ω) Pξ − = Pξ ，偶函数。 （2.2-21） 因此，可定义单边谱密度 (ω) Pξ 为