《通信原理》第七讲 §2.4随机过程通过线性系统 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论中我们必然会 遇到这样的问题:随机过程通过系统(或网络)后,输出过程将是什么样的过程 线性系统的响应vo()等于输入信号v,()与系统的单位冲击响应h(1)的卷 积,即 0()=v(1)*h0)=v(r)h(t-r)dr (24-1) 若vo(1)V(o),v(1)台V(o),h(1)H(),则有 V(o)=H(o)形2(o) (24-2) 若线性系统是物理可实现的,则 a()=⊥_v((-r)dr (243) vo(0)=l h(r)y (t-r)dr 如果把v(t)看作是输入随机过程的一个样本,则v0(1)可看作是输出随机过 程的一个样本。显然,输入过程(1)的每个样本与输出过程50(1)的相应样本之 间都满足式(244)的关系。这样,就整个过程而言,便有 50(1)=()(t-)dr (2.4-5) 假定输入ξ;(t)是平稳随机过程,现在来分析系统的输出过程0(1)的统计特
《通信原理》 第七讲 §2．4 随机过程通过线性系统 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会 遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？ 线性系统的响应 ( ) 0 v t 等于输入信号v (t) i 与系统的单位冲击响应h(t)的卷 积，即 v t v t h t v τ h t τ dτ i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = ∗ = − ∫ ∞ −∞ （2.4-1） 若 ( ) ( ) v0 t ⇔ V0 ω ， ( ) (ω) i Vi v t ⇔ ，h(t) ⇔ H(ω) ，则有 ( ) ( ) ( ) V0 ω = H ω Vi ω （2.4-2） 若线性系统是物理可实现的，则 v t v τ h t τ dτ t i ( ) ( ) ( ) 0 = − ∫−∞ （2.4-3） 或 ∫ ∞ = − 0 0 v (t) h(τ )v (t τ )dτ i （2.4-4） 如果把v (t) i 看作是输入随机过程的一个样本，则 ( ) 0 v t 可看作是输出随机过 程的一个样本。显然，输入过程 (t) ξ i 的每个样本与输出过程 ( ) 0 ξ t 的相应样本之 间都满足式（2.4-4）的关系。这样，就整个过程而言，便有 ∫ ∞ = − 0 0 ξ (t) h(τ )ξ (t τ )dτ i （2.4-5） 假定输入 (t) ξ i 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程 ( ) 0 ξ t 的统计特
一、输出过程5)0的数学期望 ELSo(=EL(T)5, (-rdr ]h(T)EIS, (-D)ldr=a.She)dr 因为 H(o)= h(tejo dr 求得 H(0 所以 E 由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0) 的乘积,且E[50()与t无关。 二、输出过程0()0的自相关函数 R0(1,1+)=EL50(1)50(1+t) EI Sh(a)s ( -a)dal h(B)5,(4,+T-B)dB 1 h(a)h(B)E[5(1-a)5(1+-B)adB 根据平稳性 E[(t1-a)(1+t-B)=R(r+a-B) 于是
性。 一、 输出过程 ( ) 0 ξ t 的数学期望 [ ] ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ = − = − = ⋅ 0 0 0 0 E[ξ (t)] E h(τ )ξ (t τ )dτ h(τ )E[ξ (t τ )]dτ a h(τ )dτ i i 因为 ∫ ∞ = 0 H( ) h(t)e dt jωt ω 求得 ∫ ∞ = 0 H(0) h(t)dt 所以 [ ( )] (0) E ξ 0 t = a ⋅ H （2.4-6） 由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数 H(0) 的乘积，且 E[ ( ) 0 ξ t ]与 t 无关。 二、 输出过程 ( ) 0 ξ t 的自相关函数 [ ] α β ξ α ξ τ β α β α ξ α α β ξ τ β β τ ξ ξ τ h h E t t d d E h t d h t d R t t E t t i i i i ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 = − + − = − + − + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ 根据平稳性 [ ( ) ( )] ( ) E ξ i t1 −α ξ i t1 +τ − β = Ri τ +α − β 于是
R(44+)=h(a()R(x+a-0d=R() (2.4-7) 可见,50(1)的自相关函数只依赖时间间隔r而与时间起点1无关。由以上(1) 及(2)证明,若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平稳。 、输出过程50()的功率谱密度 B()=」R0(r)eod ∫∫ha)h(B)R(z+a-) )dadB le - e dr a-B,则有 Po(o)= h(aje/od da n(B)e"jo dBR,(r)e"jordr P(o)=H(o). H(o).P(o)=H(o)P(o) (2.48) 可见,系统输出功率谱密度是输入功率谱密度P(o)与系统功率传输函数H(o) 的乘积。 例2-2带限白噪声。试求功率谱密度为n/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波 器后的功率谱密度,自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为 H(a)= Koe jer ≤OH 其他 解由上式得|H()=K63, o sOH Po(o)=H(o) P(o)=K0. also, 可见,输出噪声的功率谱密度在l≤on内是均匀的,在此范围外则为零, 如图2-5(a)所示,通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 R t t τ h α h β R τ α β dαdβ R τ + = i + − = ∫ ∫ ∞ ∞ （2.4-7） 可见, ( ) 0 ξ t 的自相关函数只依赖时间间隔τ 而与时间起点 1t 无关。由以上（1） 及（2）证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳。 三、 输出过程 ( ) 0 ξ t 的功率谱密度 ∫ ∫∫ ∫ ∞ −∞ ∞ ∞ − ∞ −∞ − = + − = 0 0 0 0 [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) α β τ α β α β τ ω τ τ ωτ ωτ h h R d d e d P R e d j i j 令 τ = τ +α − β ' ，则有 ∫∫ ∫ ∞∞ ∞ −∞ − − = 0 0 ' ' 0 ' (ω) (α) α (β ) β (τ ) τ ωα ωβ ωτ P h e d h e d R e d j i j j 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P0 ω = H ω ⋅ H ω ⋅ Pi ω = H ω Pi ω ∗ （2.4-8） 可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 (ω) Pi 与系统功率传输函数 2 H(ω) 的乘积。 例 2-2 带限白噪声。试求功率谱密度为n0 / 2的白噪声通过理想矩形的低通滤波 器后的功率谱密度，自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ = − 0 其他 ( ) 0 H j t K e H ω ω ω ω 解 由上式得 H ω = K ω ≤ ω H ( ) , 2 0 2 。 i H n P ω = H ω P ω = K ⋅ ω ≤ ω 2 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 可见，输出噪声的功率谱密度在 ω ≤ ω H 内是均匀的，在此范围外则为零， 如图 2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为
Ro()=)Poo do Known sIn Out 式中on=2n。由此可见,带限白噪声只有在r=k/2f(k=1,2,3,…)上得到 的随机变量才不相关。它告诉我们,如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话,则 各抽样值是互不相关的随机变量。 Ko 图2-5带限白噪声的功率谱和自相关函数 如图2-5(b)所示,带限白噪声的自相关函数R()在r=0处有最大值 这就是带限白噪声的平均功率 R0(0) 四、输出过程0(1)的概率分布 在已知输入过程分布的情况下,可以确定输出过程的分布 从积分原理来看, 50(1)=lim∑51(t-k)h(x) 如果5(1)是高斯型的,所以,在任一时刻上的每项5(-4)h(x)r都是一个 高斯随机变量。因此,输出过程在任一时刻上得到的每一随机变量,都是无限多
ω τ ω τ ω ω π τ π τ ωτ H H H j f f f j K n f e df n K R P e d H H sin 2 ( ) 2 1 ( ) 0 2 0 2 0 2 0 0 0 = = = ∫ ∫ − ∞ −∞ 式中 H H ω = 2πf 。由此可见，带限白噪声只有在 = k / 2 f (k =1,2,3,L) H τ 上得到 的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则 各抽样值是互不相关的随机变量。 图 2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数 如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数 ( ) 0 R τ 在τ = 0处有最大值， 这就是带限白噪声的平均功率 H R K n f 0 2 0 0 (0) = 四、 输出过程 ( ) 0 ξ t 的概率分布 在已知输入过程分布的情况下，可以确定输出过程的分布。 从积分原理来看， k k k k t i t h k ξ ξ τ τ τ τ = ∑ − ∆ ∞ = ∆ → ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 如果 (t) ξ i 是高斯型的，所以，在任一时刻上的每项 i k h k k ξ (t −τ ) (τ )∆τ 都是一个 高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的每一随机变量，都是无限多
个高斯随机变量之和。由概率论得知,这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。 这就证明,高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程
个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。 这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程