《通信原理》第二十二讲 、基带信号的频谱特性 研究基带信号的频谱结构是十分必要的,通过谱分析,我们可以了解信号需 要占据的频带宽度,所包含的频谱分量,有无直流分量,有无定时分量等 设二进制的随机脉冲序列如图5-4(a)所示,其中g1(t)表示“0”码,g2(t) 表示“1”码,g1(t)和g2(t)在实际中可以是任意的脉冲。 +27) g(s;(0 -27 +4)g(+3 图5-4随机脉冲序列示意波形 假设g1(t)和g2(t)出现的概率分别为P和1-P,且统计独立,则 S (5.2-3 其中 8;(t-nTs),以概率P出现 s( (5.2-4) g2(t-n7),以概率(1-P)出现 把s(t)分解成稳态波v(t)和交变波u(t)。所谓稳态波,即是随机序列s(t) 的统计平均分量
《通信原理》 第二十二讲 一、 基带信号的频谱特性 研究基带信号的频谱结构是十分必要的，通过谱分析，我们可以了解信号需 要占据的频带宽度，所包含的频谱分量，有无直流分量，有无定时分量等。 设二进制的随机脉冲序列如图 5-4（a）所示，其中 g1 (t) 表示“0”码，g 2 (t) 表示“1”码，g1 (t)和 g 2 (t)在实际中可以是任意的脉冲。 图 5-4 随机脉冲序列示意波形 假设 g1 (t)和 g 2 (t)出现的概率分别为 P 和 1-P，且统计独立，则 ∑ ∞ =−∞ = n n s(t) s (t) (5.2-3) 其中 ⎩ ⎨ ⎧ − − − = （ ），以概率 出现 以概率 出现 (1 ) ( ), ( ) 2 1 g t nT P g t nT P s t S S n (5.2-4) 把 s(t)分解成稳态波 v(t)和交变波 u(t)。所谓稳态波，即是随机序列 s(t) 的统计平均分量
()=∑Pg1(t-m)+(1-P)g2(-m7,=∑v() (5.2-5) 其波形如图5-4(b)所示,显然v(t)是一个以T为周期的周期函数 交变波u(t)是s(t)与v(t)之差,即 l()=s(1)-v(1) 其中第n个码元为 于是 其中un()可根据式(5.2-4)和(5.2-5)表示为 g,(t-nT5)-Pg(t-nT)-(1-P)82(t-nTy (1-P8(t-nT,)-g2(t-nT),以概率P 82(-nT)-Pg1(-nT,)-(-P)g2(-nT,) -P[g1(t-n7)-82(t-nT)],以概率(1-P) 或者写成 u, (1)=a,g(t-nT,)-g2([-nT) 其中 P,以概率P -P,以概率(1-P (5.2-10) 显然,u(t)是随机脉冲序列,图5-4(c)画出了u(t)的一个实现。 1.v(t)的功率谱密度P(/) 由于v(t)是以为周期的周期信号,故 C 式中
( ) [ ( ) (1 ) ( )] ( ) 1 2 v t Pg t nT P g t nT v t n n n ∑ s s ∑ ∞ =−∞ ∞ =−∞ = − + − − = (5.2-5) 其波形如图 5-4(b)所示，显然 v(t)是一个以Ts 为周期的周期函数。 交变波 u(t)是 s(t)与 v(t)之差，即 u(t) = s(t) − v(t) (5.2-6) 其中第 n 个码元为 u (t) s (t) v (t) n = n − n (5.2-7) 于是 ∑ ∞ =−∞ = n n u(t) u (t) (5.2-8) 其中 u (t) n 可根据式(5.2-4) 和(5.2-5)表示为 u (t) n = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − [ ( ) ( )], (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 )[ ( ) ( )], ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 P g t nT g t nT P g t nT Pg t nT P g t nT P g t nT g t nT P g t nT Pg t nT P g t nT s s s s s s s s s s 以概率 以概率 或者写成 ( ) [ ( ) ( )] n n 1 s 2 nTs u t = a g t − nT − g t − (5.2-9) 其中 ⎩ ⎨ ⎧ − − − = , (1 ) 1 , P P P P an 以概率 以概率 (5.2-10) 显然，u(t)是随机脉冲序列 ，图 5-4（c）画出了 u(t)的一个实现。 1．v(t)的功率谱密度 P ( f ) v 由于 v(t)是以TS 为周期的周期信号，故 ∑ ∞ =−∞ = m j m f t m S v t C e 2π ( ) (5.2-11) 式中
入3ve2rmdt (5.2-12) 由于在(-7/2,T/2)范围内,v(t)=Pg1(1)+(1-P)82(t),所以 [Pg,(1)+(1-P)g, (t]e- /2xmys'dr T 又由于Pg1(1)+(1-P)g2()只存在(-7,/2,T,/2)范围内,所以 Cn=r上D0)+(-P)g)k2m =f[PG1(m,)+(1-PG2(mf, (5.2-13) 式中 G, (mfs)=g1(0)e sdr G2 (mf, )=[82 ()e-/2mls'dr ∫ 再根据周期信号功率谱密度与付氏系数C的关系式,有 P()=∑Cm6(-m,) =∑|/s[PG(mfs)+(1-P)G2(m)(-m/,) N=-o0 可见稳态波的功率谱P()是冲击强度取决|Cn的离散线谱。 2.u(t)的功率谱密度P() e)=im2()门 (5.2-15) N→(2N+1)T 其中Ur()是u(t)的截短函数u(1)的频谱函数;截取时间T是(2N+1)个码元 的长度,即 T=(2N+1)T (5.2-16) 式中,N为一个足够大的数值,且当T→∞时,意味着N→∞
∫− − = 2 2 2 ( ) 1 s s S T T j m f t s m v t e dt T C π (5.2-12) 由于在（-Ts /2，Ts /2）范围内, ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 v t = Pg t + − P g t ，所以 ∫− − = + − 2 2 2 1 2 [ ( ) (1 ) ( )] 1 s s S T T j m f t s m Pg t P g t e dt T C π 又由于 ( ) (1 ) ( ) 1 2 Pg t + − P g t 只存在（-Ts /2，Ts /2）范围内，所以 ∫ ∞ −∞ − = Pg t + − P g t e dt T C j m f t s m 2π S 1 2 [ ( ) (1 ) ( )] 1 [ ( ) (1 ) ( )] s PG1 mfs P G2 mfs = f + − (5.2-13) 式中 ( ) G1 mfs = g t e dt j mf t 2π S 1 ( ) − ∞ ∫−∞ ( ) G2 mfs = g t e dt j mf t 2π S 2 ( ) − ∞ ∫−∞ s s T f 1 = 再根据周期信号功率谱密度与付氏系数Cm的关系式，有 ∑ ∑ ∞ =−∞ ∞ =−∞ = + − − = − m S S S s m v m s f PG mf P G mf f mf P f C f mf [ ( ) (1 ) ( )] ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 δ δ (5.2-14) 可见稳态波的功率谱 P ( f ) v 是冲击强度取决 2 Cm 的离散线谱。 2． u(t)的功率谱密度 P ( f ) u s T N u N T E U f P f (2 1) [ ( ) ] ( ) lim 2 + = →∞ (5.2-15) 其中U ( f ) T 是 u(t)的截短函数u (t) T 的频谱函数；截取时间 T 是（2N+1）个码元 的长度，即 T=(2N+1)Ts (5.2-16) 式中，N 为一个足够大的数值，且当 T→ ∞ 时，意味着 N→ ∞
由式(5.2-8) n(0)=∑u1()=∑an[81(t-nT)-g2(t-nT, (5.2-17 1()-1Oed an[81(t-n13)-82(t-ns)e =∑ane2fmG1()-G2(/ (5.2-18) 式中 ()=g1(le 2(0)+g2()e2oat 于是 U=U,(UU) ∑∑ana,e"2mm[G()-G2(O)lG()-G2(O 其统计平均为 E()]=∑∑E(anan)e2mG()-G2O川G()-G2( (5.2-20) 当m=n时 (1-P)2,以概率P 以概率(1-P) 所以 Ea2]=P(1-P)2+(1-P)P2=P(1-P) (5.2-21) 当m≠n时
由式（5.2-8） ∑=− = N n N T n u ( )] t) u (t) [ ( ) ( n 1 s 2 s N n N = ∑ a g t − nT − g t − nT =− (5.2-17) 则 U ( f ) T = ∫ ∞ −∞ − u t e dt j f t T 2π ( ) = ∑ ∫ =− ∞ −∞ − − − − N n N j f t an g t nTS g t nTS e dt 2π 1 2 [ ( ) ( )] ∑=− − = − N n N j f nT n a e G f G f s [ ( ) ( )] 1 2 2 π (5.2-18) 式中 ( ) 1 G f = ∫ ∞ −∞ − g t e dt j 2πft 1 ( ) ( ) 2 G f = ∫ ∞ −∞ − g t e dt j 2πft 2 ( ) 于是 ( ) ( ) ( ) 2 U f U f U f T T T ∗ = ∗ = − − = − = ∑ ∑ [ ( ) − ( )][ ( ) − ( )] 1 2 1 2 2 ( ) a a e G f G f G f G f N m N N n N j f n m T m n π S (5.2-19) 其统计平均为 [ ( ) ] ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] 1 2 1 2 2 2 ( ) E U f E a a e G f G f G f G f N m N N n N j f n m T T m n S ∗ ∗ = − − = − = ∑ ∑ − − π (5.2-20) 当 m=n 时 2 am an = an = ⎩ ⎨ ⎧ − − , (1 ) (1 ) 2 2 P P P P 以概率 ，以概率 所以 E[an 2 ] = P（1− P）2 +（1− P）P2 = P（1− P） (5.2-21) 当 m≠n 时
(1-P)2,以概率 以概率(1-P)2 P(1-P),以概率2P(1-P) 所以 ela,a]=P2(1-P)2+(1-P)2P2+2P(1-P(P-1)P=0(5.2-22) 地Ur()]=∑印2]k()-G2() (5.2-23) =(2N+1)P(1-PG1(O)-G2() 根据式(5.2-15),可求得交变波的功率谱 PC)=lim (2N+1)P(1-P|G()-G2( (2N+1)T (5.2-24) SS P(I-P)G,()-G2( 可见,交变波的的功率谱P()是连续谱,它与g1(t)和g2(t)的频谱以及 出现概率P有关 3.s(t)=u(t)+v(t)的功率谱密度Ps(∫) Ps()=PO)+PO) =fP(-PG()=G2() +∑JIPG(m)+(1-P)G2(m)(-mfs)(5.2-25) 如果写成单边的,则有 P()=fP(1-P|G()-G2(O) +/2PG(O)+(1-PG2(0)() +2/3∑PG1(m)+(1-PG(mfs)26(-mf),f20(5.226 由式(5.2-25)可知,随机脉冲序列的功率谱密度可能包含连续谱P()和离 散谱P(∫)。对于连续谱而言,由于G()≠G2(),因而P(a)总是存在的;而 离散谱是否存在,取决g(t)和g2(t)的波形及其出现的概率P,下面举例说明
am an ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − = （ ），以概率 （ ） ， 以概率（ ） （ ）， 以概率 P P P P P P P P 1 2 1 1 1 2 2 2 2 所以 [ ] (1 ) (1 ) 2 (1 )( 1) 0 2 2 2 2 E am an = P − P + − P P + P − P P − P = (5.2-22) 2 1 2 2 1 2 2 2 (2 1) (1 ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ] ( ) ( ) N P P G f G f E U f E a G f G f N n N T n = + − − = ∑ − =− (5.2-23) 根据式(5.2—15)，可求得交变波的功率谱 2 1 2 2 1 2 (1 ) ( ) ( ) (2 1) (2 1) (1 ) ( ) ( ) ( ) lim f P P G f G f N T N P P G f G f P f S s N u = − − + + − − = →∞ (5.2-24) 可见，交变波的的功率谱 P ( f ) u 是连续谱，它与 g1 (t)和 g 2 (t)的频谱以及 出现概率 P 有关。 3．s(t)=u(t)+v(t)的功率谱密度 P ( f ) S P ( f ) S = P ( f ) u + P ( f ) v 2 1 2 f P(1 P)G ( f ) G ( f ) = S − − + ∑ ∞ =−∞ + − − m S S S mf S f [PG (mf ) (1 P)G (mf )] ( f ) 2 1 2 δ (5.2-25) 如果写成单边的，则有 2 1 2 P ( f ) f P(1 P)G ( f ) G ( f ) S = S − − + (0) (1 ) (0) ( ) 2 1 2 2 f PG P G f s + − δ 2 ( ) (1 ) ( ) ( ) , 0 1 2 1 2 2 + ∑ + − − ≥ ∞ = f PG mf P G mf f mf f m S S S δ S (5.2-26) 由式(5.2-25)可知，随机脉冲序列的功率谱密度可能包含连续谱 P ( f ) u 和离 散谱 P ( f ) v 。对于连续谱而言，由于 ( ) 1 G f ≠ ( ) 2 G f ，因而 (ω) Pu 总是存在的；而 离散谱是否存在，取决 g1 (t)和 g 2 (t)的波形及其出现的概率 P，下面举例说明
例5-1对于单极性波形:若设g1(t)=0,g2(t)=g(t),则随机脉冲序列的双 边功率谱密度为 P:()=fP(1-P)G()2+∑/(-PG(ms26(-m)(5.2=27) 等概(P=1/2)时,上式简化为 PO=/G)+3∑(m(-m)(28) (1)若表示“1”码的波形g2(t)=g(t)为不归零矩形脉冲,即 Jips ts 0,其它t 其频谱函数为 G()=torsinal TsSa(nts) 当∫f=mfs,G(ms)的取值情况:m=0,G(mfs)=TsSa(O)≠0,因此离散谱 中有直流分量:m为不等于零的整数时,G(mfs)=TsSa(n)=0,离散谱均为零, 因而无定时信号。 这时, PO)=47s1+6(0 =Sa2(m/Ts)+6() (5.2-29) 随机序列的带宽取决于连续谱,该频谱的第一个零点在∫=fs,因此单极性 不归零信号的带宽为Bs=∫s (2)若g2(t)=g(t)为半占空归零矩形脉冲,即脉冲宽度r=7/2时, 其频谱函数为 T
例 5-1 对于单极性波形：若设 g1 (t)=0，g 2 (t)=g（t），则随机脉冲序列的双 边功率谱密度为 ∑ ∞ =−∞ = − + − − m S S S S mf S P ( f ) f P(1 P)G( f ) f (1 P)G(mf ) ( f ) 2 2 δ (5.2-27) 等概（P=1/2）时，上式简化为 ∑ ∞ =−∞ = + − m S S S S mf S P f f G f f G(mf ) ( f ) 4 1 ( ) 4 1 ( ) 2 2 2 δ (5.2-28) （1）若表示“1”码的波形 g 2 (t)=g（t）为不归零矩形脉冲，即 g(t)= ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ t T t S 0,其它 2 1, 其频谱函数为 ] ( ) sin ( ) [ S S S S S T Sa fT fT fT G f T π π π = = 当 , ( ) mf S G mf S f = 的取值情况：m = 0 , G(mf S ) = TS Sa(0) ≠ 0，因此离散谱 中有直流分量；m 为不等于零的整数时，G(mf S ) = TS Sa(nπ ) = 0 ，离散谱均为零， 因而无定时信号。 这时， P ( f ) S = ( ) 4 1 ] sin [ 4 1 2 f fT fT f T S S S S δ π π + ( ) 4 1 ( ) 4 2 Sa fT f T S S = π + δ (5.2-29) 随机序列的带宽取决于连续谱，该频谱的第一个零点在 S f = f ，因此单极性 不归零信号的带宽为 S S B = f 。 （2）若 g 2 (t)=g（t）为半占空归零矩形脉冲，即脉冲宽度 τ = TS / 2时， 其频谱函数为 ) 2 ( 2 ( ) S S fT Sa T G f π =
当∫=ms,G(m)的取值情况:m=0,G(ms)=TSa(0)≠0,因此离散谱 中有直流分量;m为奇数时,G(mf)=Sa(")≠0,此时有离散谱,因而有 定时信号;m为偶数时,G(mf)=SSa(mx)=0,此时无离散谱。 这时, P()=16S(2)+∑ Sa2()(-mfs)(5.2-30) Bs=25fs 归零码 不归零码 图5-5二进制基带信号的功率谱密度 例5-2对于双极性波形:若设g1(t)=g2(t)=g(t),则 P()=4P(-PG()2+∑:(2P-1)G(m)o(-m/)(⑤.2-31) 概(P=1/2)时,上式变为 Ps()=SSG() (5.2-32) 若g(t)为高为1,脉宽等于码元周期的矩形脉冲,那么上式可写成 Ps(=TSSa(Ts) (5.2-33) 从以上两例可以看出: (1)随机序列的带宽取G(刀)和G2()之中较大带宽的一个作为序列带宽。时间 波形的占空比越小,频带越宽。矩形脉冲脉宽τ,则Bs=l/r。 (2)单极性基带信号是否存在离散线谱取决于矩形脉冲的占空比,单极性归零
当 , ( ) mf S G mf S f = 的取值情况：m = 0 , G(mf S ) = TS Sa(0) ≠ 0，因此离散谱 中有直流分量；m 为奇数时， ) 0 2 ( 2 ( ) = ≠ mπ Sa T G mf S S ，此时有离散谱，因而有 定时信号；m 为偶数时， ) 0 2 ( 2 ( ) = = mπ Sa T G mf S S ，此时无离散谱。 这时， ) ( ) 2 ( 16 1 ) 2 ( 16 ( ) 2 2 S m S S S f mf m Sa fT Sa T P f = + ∑ − ∞ =−∞ δ π π (5.2-30) S S B = 2 f 。 图 5-5 二进制基带信号的功率谱密度 例 5-2 对于双极性波形：若设 g1 (t)=-g 2 (t)=g（t），则 ∑ ∞ =−∞ = − + − − m S S S S mf S P ( f ) 4 f P(1 P)G( f ) f (2P 1)G(mf ) ( f ) 2 2 δ (5.2-31) 等概（P=1/2）时，上式变为 2 P ( f ) f G( f ) S = S (5.2-32) 若 g（t）为高为 1，脉宽等于码元周期的矩形脉冲，那么上式可写成 ( ) ( ) 2 S S S P f = T Sa πfT (5.2-33) 从以上两例可以看出： （1）随机序列的带宽取 ( ) 1 G f 和 ( ) 2 G f 之中较大带宽的一个作为序列带宽。时间 波形的占空比越小，频带越宽。矩形脉冲脉宽τ ，则 = 1/τ BS 。 （2）单极性基带信号是否存在离散线谱取决于矩形脉冲的占空比，单极性归零
信号中有定时分量,单极性不归零信号中无定时分量,0、1等概的双极性信号 没有离散谱 综上分析,研究随机脉冲序列的功率谱是十分有意义的,一方面我们可以根 据连续谱来确定序列的带宽,另一方面根据离散谱,确定能否从脉冲序列中直接 提取定时分量
信号中有定时分量，单极性不归零信号中无定时分量， 0、1 等概的双极性信号 没有离散谱。 综上分析，研究随机脉冲序列的功率谱是十分有意义的，一方面我们可以根 据连续谱来确定序列的带宽，另一方面根据离散谱，确定能否从脉冲序列中直接 提取定时分量