《通信原理》第二十八讲 设在基带系统接收滤波器与判决电路之间插入一个具有2N+1个抽头的横向 滤波器,如图5-21(a所示。它的输入为x(t),并设它不附加噪声 来自接收滤波器 团一地团一 ○Q○ N-2 去判决电路 x 1 图5-21有限长横向滤波器及其输入、输出单脉冲响应波形 若设有限长横向滤波器的单位冲激响应为e(t),相应的频率特性为E(ω), e()=∑C6(t-i7) i=-N E(o)=∑Ce/o (5.8-11) y()=x(1)*e()=∑Cx(-/i) (5.8-12) 于是,在抽样时刻kT+t有 y(kTs+to)=∑Cx(k7s+10-i)=∑Cxk-)7+1 或者简写为
5-1 《通信原理》 第二十八讲 设在基带系统接收滤波器与判决电路之间插入一个具有 2N+1 个抽头的横向 滤波器,如图 5-21(a)所示。它的输入为 x(t)，并设它不附加噪声。 图 5-21 有限长横向滤波器及其输入、输出单脉冲响应波形 若设有限长横向滤波器的单位冲激响应为 e(t)，相应的频率特性为 E(ω)， ∑=− = − N i N i s e(t) C δ (t iT ) (5.8-10) ∑=− − = N i N j T i s E C e ω (ω) (5.8-11) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) =− = ∗ = − N i N i S y t x t e t C x t iT (5.8-12) 于是，在抽样时刻 kT S +t 0有 y(kT S +t 0 )= ∑ ∑ = − − = + − = − + N i N N i N i S S i S C x(kT t iT ) C x[(k i)T t ] 0 0 或者简写为
C xA 上式说明,均衡器在第K抽样时刻上得到的样值yk将由 2N+1个C与x,乘积之和来确定。 利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的,但完全消除是不可能的。 均衡效果的衡量 在抽头数有限情况下,均衡器的输出将有剩余失真,为了反映这些失真的大 小,一般采用峰值失真准则和均方失真准则作为衡量标准。 峰值失真准则定义为 式中,符号∑表示∑,其中除k=0以外的各样值绝对值之和反映了码间串 扰的最大值,υy是有用信号样值,所以峰值失真D就是码间串扰最大值与有用 信号样值之比。显然,对于完全消除码间干扰的均衡器而言,应有D=0;对于码 间干扰不为零的场合,希望D有最小值。 均方失真准则定义为 (58-15) 0k=-∞ 其物理意义与峰值失真准则相似。 按这两个准则来确定均衡器的抽头系数均可使失真最小,获得最佳的均衡效 果 注意:这两种准则都是根据均衡器输出的单脉冲响应来规定的。 下面我们以最小峰值失真准则为基础,指出在该准则意义下时域均衡器的工 作原理。 可将未均衡前的输入峰值失真(称为初始失真)表示为 -2
5-2 ∑=− = − N i N k i k i y C x (5.8-13) 上式说明，均衡器在第 K 抽样时刻上得到的样值 y k 将由 2N+1 个Ci 与 k i x − 乘积之和来确定。 利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的，但完全消除是不可能的。 一、 均衡效果的衡量 在抽头数有限情况下，均衡器的输出将有剩余失真，为了反映这些失真的大 小，一般采用峰值失真准则和均方失真准则作为衡量标准。 峰值失真准则定义为 k k y y D ∑ ∞ =−∞ = ' 0 1 (5.8-14) 式中，符号 ∑ ∞ k=−∞ ' 表示 ∑ ∞ ≠ =−∞ k 0 k ，其中除 k=0 以外的各样值绝对值之和反映了码间串 扰的最大值， 0 y 是有用信号样值，所以峰值失真 D 就是码间串扰最大值与有用 信号样值之比。显然，对于完全消除码间干扰的均衡器而言，应有 D=0；对于码 间干扰不为零的场合，希望 D 有最小值。 均方失真准则定义为 ∑ ∞ =−∞ = k k y y e ' 2 2 0 2 1 (5.8-15) 其物理意义与峰值失真准则相似。 按这两个准则来确定均衡器的抽头系数均可使失真最小，获得最佳的均衡效 果。 注意：这两种准则都是根据均衡器输出的单脉冲响应来规定的。 下面我们以最小峰值失真准则为基础,指出在该准则意义下时域均衡器的工 作原理。 可将未均衡前的输入峰值失真（称为初始失真）表示为
D (5.8-16) Mo k=- 若x是归一化的,且令x0=1,则上式变为 为方便计,将样值y也归一化,且令y=1,则根据式(58-13)可得 (58-18) 或有 Cox.+ c 于是 C=1-∑Cx (58-19 将上式代入式(58-13,则可得 C(xki-xr x-i)+x, (58-20) 再将上式代入式(58-14)则有 (58-21) ie-N 可见,在输入序列{xk}给定的情况下,峰值畸变D是各抽头增益C(除C。外)的 函数。 Lucky曾证明:如果初始失真D<1,则D的最小值必然发生在y前后的y4 (k≤N,k≠0)都等于零的情况下。这一定理的数学意义是,所求的各抽头系 数{C,}应该是 (5.8-22) k=0 时的2N+1个联立方程的解。由条件(58-22)和式(58-13)可列出抽头系数必须满
5-3 k k x x D ∑ ∞ =−∞ = ' 0 0 1 (5.8-16) 若 k x 是归一化的，且令 0 x =1，则上式变为 D0 = k k ∑ x ∞ =−∞ ' (5.8-17) 为方便计，将样值 k y 也归一化，且令 0 y =1，则根据式(5.8-13)可得 0 y = ∑=− − = N i N i i C x 1 (5.8-18) 或有 0 0 C x + i i N i N C x− =− ∑ ' =1 于是 C0 =1- i i N i N C x− =− ∑ ' (5.8-19) 将上式代入式(5.8-13),则可得 k y = i k i k i k N i N C x − x x + x − − =− ∑ ( ) ' (5.8-20) 再将上式代入式(5.8-14),则有 D= ∑ ∞ k=−∞ ' │ i k i k i k N i N C x − x x + x − − =− ∑ ( ) ' │ (5.8-21) 可见，在输入序列{x k }给定的情况下，峰值畸变 D 是各抽头增益Ci (除C0 外)的 函数。Lucky 曾证明： 如果初始失真 D 0 <1,则 D 的最小值必然发生在 0 y 前后的 k y （( k ≤ N, k ≠ 0) 都等于零的情况下。这一定理的数学意义是，所求的各抽头系 数{Ci }应该是 ⎩ ⎨ ⎧ = ≤ ≤ = 1 0 0 1 k k N yk (5.8-22) 时的 2N+1 个联立方程的解。由条件(5.8-22)和式(5.8-13)可列出抽头系数必须满
足的这2N+1个线性方程,它们是 C 0,k=±1,±2 (58-23) ∑Cx-=1 写成矩阵形式,有 N+1 C (58-24) 这就是说,在输入序列{xk}给定时,如果按上式方程组调整或设计各抽头系数 C,可迫使υ前后各有N个取样点上的零值。这种调整叫做“迫零”调整,所 设计的均衡器称为“迫零”均衡器。它能保证在D<1(这个条件等效于在均衡 之前有一个睁开的眼图,即码间串扰不足以严重到闭合眼图)时,调整出C0外 的2N个抽头增益,并迫使y前后各有N个取样点上无码间串扰,此时D取最 小值,均衡效果达到最佳。 例5-2设计3个抽头的迫零均衡器,以减小码间串扰。已知 x2=0,x=0.1,x0=1,x1=-0.2,x2=0.1,求3个抽头的系数,并计算均衡前后 的峰值失真。 解根据式(58-24)和2N+1=3,列出矩阵方程为 xc xI 将样值代入上式,可列出方程组 C1+0.1C=0 0.1C-02C0+C1=0
5-4 足的这 2N+1 个线性方程，它们是 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ± ± ± ∑ ∑ =− − =− − N i N i i N i N i k i C x k C x k N 1, 0 0, 1, 2,L, (5.8-23) 写成矩阵形式，有 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − − − − − 0 0 1 0 0 1 0 1 2 2 1 0 1 0 1 2 M M M M L M M M M L M M L M L N N N N N N N N N N C C C C C x x x x x x x x x (5.8-24) 这就是说，在输入序列{x k }给定时，如果按上式方程组调整或设计各抽头系数 Ci ，可迫使 0 y 前后各有 N 个取样点上的零值。这种调整叫做“迫零”调整，所 设计的均衡器称为“迫零”均衡器。它能保证在 D 0<1（这个条件等效于在均衡 之前有一个睁开的眼图，即码间串扰不足以严重到闭合眼图）时，调整出 C0外 的 2N 个抽头增益，并迫使 0 y 前后各有 N 个取样点上无码间串扰，此时 D 取最 小值，均衡效果达到最佳。 例 5-2 设计 3 个抽头的迫零均衡器，以减小码间串扰。已知 0 x−2 = ,x −1 =0.1,x 0 =1, 0.2 0.1 x1 = − ，x2 = ,求 3 个抽头的系数，并计算均衡前后 的峰值失真。 解 根据式(5.8-24)和 2N+1=3，列出矩阵方程为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 C C C x x x x x x x x x 将样值代入上式，可列出方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − + + = + = − − − 0.1 0.2 0 0.2 0.1 1 0.1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 C C C C C C C C
解联立方程可得 C1=-0.09606,C0=0.9606,C1=0.2017 然后通过式(5.8-13)可算出 0,y=1,y1=0 y3=0,y2=00096,y2=0.0557,y3=0.02016 输入峰值失真为 Dn=04 输出峰值失真为 D=0.0869 均衡后的峰值失真减小4.6倍。 可见,3抽头均衡器可以使y0两侧各有一个零点,但在远离y0的一些抽样点 上仍会有码间串扰。这就是说抽头有限时,总不能完全消除码间串扰,但适当增 加抽头数可以将码间串扰减小到相当小的程度。 均衡器的实现与调整 均衡器按照调整方式,可分为手动均衡器和自动均衡器。自动均衡器又可分 为预置式均衡器和自适应均衡器。预置式均衡,是在实际数据传输之前,发送 种预先规定的测试脉冲序列,如频率很低的周期脉冲序列,然后按照“迫零”调 整原理,根据测试脉冲得到的样值序列{xA}自动或手动调整各抽头系数,直至 误差小于某一允许范围。调整好后,再传送数据,在数据传输过程中不再调整。 自适应均衡可在数据传输过程根据某种算法不断调整抽头系数,因而能适应信道 的随机变化。 a)预置式均衡器
5-5 解联立方程可得 0.09606, 0.9606, 0.2017 C−1 = − C0 = C1 = 然后通过式(5.8 -13)可算出 0, 0.0096, 0.0557, 0.02016 0, 1, 0 3 2 2 3 1 0 1 = = = = = = = − − − y y y y y y y 输入峰值失真为 D0 = 0.4 输出峰值失真为 D = 0.0869 均衡后的峰值失真减小 4.6 倍。 可见，3 抽头均衡器可以使 0 y 两侧各有一个零点，但在远离 0 y 的一些抽样点 上仍会有码间串扰。这就是说抽头有限时，总不能完全消除码间串扰，但适当增 加抽头数可以将码间串扰减小到相当小的程度。 二、 均衡器的实现与调整 均衡器按照调整方式，可分为手动均衡器和自动均衡器。自动均衡器又可分 为预置式均衡器和自适应均衡器。预置式均衡，是在实际数据传输之前，发送一 种预先规定的测试脉冲序列,如频率很低的周期脉冲序列，然后按照“迫零”调 整原理，根据测试脉冲得到的样值序列{x k }自动或手动调整各抽头系数，直至 误差小于某一允许范围。调整好后，再传送数据，在数据传输过程中不再调整。 自适应均衡可在数据传输过程根据某种算法不断调整抽头系数，因而能适应信道 的随机变化。 a) 预置式均衡器
控制电路 抽样与峰值 极性判决器 图5-22预置式自动均衡器的原理方框图 b)自适应均衡器 图5-23给出了一个按最小均方误差算法调整的3抽头自适应均衡器原理框 图 抽样与 误差形成 统计平均器 相乘器 图5-23自适应均衡器示例 由于自适应均衡器的各抽头系数可随信道特性的时变而自适应调节,故调整 精度高,不需预调时间。在高速数传系统中,普遍采用自适应均衡器来克服码间 串扰 自适应均衡器还有多种实现方案,经典的自适应均衡器算法有:迫零算法 (ZF)、随机梯度算法(LMS)、递推最小二乘算法(RS)、卡尔曼算法等
5-6 图 5-22 预置式自动均衡器的原理方框图 b) 自适应均衡器 图 5-23 给出了一个按最小均方误差算法调整的 3 抽头自适应均衡器原理框 图。 图 5-23 自适应均衡器示例 由于自适应均衡器的各抽头系数可随信道特性的时变而自适应调节，故调整 精度高，不需预调时间。在高速数传系统中，普遍采用自适应均衡器来克服码间 串扰。 自适应均衡器还有多种实现方案,经典的自适应均衡器算法有：迫零算法 （ZF）、随机梯度算法（LMS）、递推最小二乘算法（RLS）、卡尔曼算法等