《通信原理》第四十八讲 二进制确知信号最佳接收机误码性能 相关器形式的最佳接收机与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的。下面从 相关器形式的最佳接收机角度来分析这个问题。 输出误码率 总的误码率为 P=P(s1)P2(S2)+P(s2)P2(s) 83-15) 分析P(S2)与P(S)的方法相同,我们以分析P(s2)为例。 设发送信号为s1(1),接收机输入端合成波为 y(D)=s1(1)+n(D) (8.3-16) 其中n()是高斯白噪声,其均值为零,方差为σ2。若 U+Ly(os, (ndt>U2+Ly(os,(odr (83-17) 判为s(1)出现,则是正确判决。若 U1+[y(1)s()d<U2+[nv()5()t (83-18) 判为s2(1)出现,则是错误判决。 将y()=s1(1)+m(1)代入式(8.3-18)可得 U1+[(O-mo(<U2+[-n(l 代入 no U1=lnP(Ss)和U2=lnP(S2)可得 Ps)+0-mok0"2Ps)+()-(8320) 利用s1(1)和s2(1)能量相等的条件,式(83-20)可简化为 In(ols,(0)-s2(o]dt P(S2) [{()-so)e
8-1 《通信原理》 第四十八讲 一、 二进制确知信号最佳接收机误码性能 相关器形式的最佳接收机与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的。下面从 相关器形式的最佳接收机角度来分析这个问题。 a) 输出误码率 总的误码率为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 P P s P s P s P s e = s + s (8.3-15) 分析 ( ) 1 2 P s s 与 ( ) 2 1 P s s 的方法相同，我们以分析 ( ) 1 2 P s s 为例。 设发送信号为 ( ) 1s t ，接收机输入端合成波为 ( ) ( ) ( ) 1 y t = s t + n t (8.3-16) 其中n(t)是高斯白噪声，其均值为零，方差为 2 σ n 。若 ∫ ∫ + > + T T U y t s t dt U y t s t dt 0 2 2 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (8.3-17) 判为 ( ) 1s t 出现，则是正确判决。若 ∫ ∫ + < + T T U y t s t dt U y t s t dt 0 2 2 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (8.3-18) 判为 ( ) 2 s t 出现，则是错误判决。 将 ( ) ( ) ( ) 1 y t = s t + n t 代入式(8.3-18)可得 [] [] ∫ ∫ + − < + − T T U s t n t s t dt U s t n t s t dt 0 2 1 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.3-19) 代入 ln ( ) 2 1 0 1 P s n U = 和 ln ( ) 2 2 0 2 P s n U = 可得 [ ] [ ] ∫ ∫ + − < + − T T P s s t n t s t dt n P s s t n t s t dt n 0 2 1 2 0 0 1 1 1 0 ln ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ln ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (8.3-20) 利用 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 能量相等的条件，式(8.3-20)可简化为 [ ] [ ] ∫ ∫ − < − − T T s t s t dt P s n P s n t s t s t dt 0 2 1 2 1 0 2 0 1 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ln 2 ( (8.3-21) ) ( ) ( )
式(83-21)左边是随机变量,令为5 5=mo)5(0)-s:(o】at (8.3-22) 式(83-21)右边是常数,令为a mo in Pisl-55s,(0-s, ( F dr (8.3-23) S 式(83-21)可简化为 <a (83-24) 判为s2()出现,产生错误判决。相应的错误概率为 P,(S2)=P(<a) (8.3-25) 只要求出随机变量ξ的概率密度函数,即可计算出式(8.3-25)的数值。 高斯型随机过程的积分是一个高斯型随机变量。所以ξ是一个高斯随机变量。 5的数学期望为 EIS]=En([s (0-s2(o]dr =EmO)ls()-s:()小a (83-26) 由于 E[n(t)=0 所以有 E[5]=0 5的方差为 S TEn(on(o)lIs, (0-s(0[s, ([)-s,(r)]didn (83-27) 式中E[(m(r)为高斯白噪声n(1)的自相关函数。 Euc=;a(-)={200=r (8.3-28 t≠T
8-2 式(8.3-21)左边是随机变量，令为ξ [ ] ∫ = − T n t s t s t dt 0 1 2 ξ ( ) ( ) ( ) (8.3-22) 式(8.3-21)右边是常数，令为a [ ] ∫ = − − T s t s t dt P s n P s a 0 2 1 2 1 0 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ln 2 (8.3-23) 式(8.3-21)可简化为 ξ < a (8.3-24) 判为 ( ) 2 s t 出现，产生错误判决。相应的错误概率为 ( ) ( ) Ps1 s2 = P ξ < a (8.3-25) 只要求出随机变量ξ 的概率密度函数，即可计算出式(8.3-25)的数值。 高斯型随机过程的积分是一个高斯型随机变量。所以ξ 是一个高斯随机变量。 ξ 的数学期望为 = {∫ [ ] − } T E E n t s t s t dt 0 1 2 [ξ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ∫ = − T E n t s t s t dt 0 1 2 [ ( )] ( ) ( ) (8.3-26) 由于 E[n(t)] = 0 所以有 E[ξ ] = 0 ξ 的方差为 = = = {∫ ∫ [ ][ ] − − } T T D E E n t s t s t n s s dtd 0 1 2 1 2 0 2 2 σ [ξ ] [ξ ] ( ) ( ) ( ) (τ ) (τ ) (τ ) τ ξ [ ][ ][ ] ∫ ∫ = − − T T E n t n s t s t s s dtd 0 1 2 1 2 0 ( ) (τ ) ( ) ( ) (τ ) (τ ) τ (8.3-27) 式中 E[ ] n(t)n(τ ) 为高斯白噪声n(t)的自相关函数。 [ ] ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = = − = τ δ τ τ δ τ t t n t n E n t n 0, (0), 2 ( ) 2 ( ) ( ) 0 0 (8.3-28)
将上式代入式(83-27可得 [()-s(l]3 (8.3-29) 于是可以写出ξ的概率密度函数为 f(2)= exp (8.3-30) O 2 至此可得发送s(1)将其错误判决为s2()的概率为 (s2)=P(5<a)=1 x ex (8.3-31) 利用相同的分析方法可以得到发送s2(1)将其错误判决为s1(1)的概率为 P.(S1) dx (8.3-32) 系统总的误码率为 P=P(S1)P4(s2)+P(s2)P(S1) =P(S1) dx+P(s2) dx (83-33) 式中b和b分别为 P(S1) b=12(0)+ (8.3-34) t) P(S2) 120(0-o) (8.3-35) f[s(0-s(0] dt 由式(83-33)、式(8.3-34)和式(83-35)可以看出,最佳接收机的误码性能与先 验概率P(S)和P(s2)、噪声功率谱密度n及S(1)s2(1)之差的能量有关,而与s1(1) 和s2(1)本身的具体结构无关
8-3 将上式代入式(8.3-27)可得 [ ] ∫ = − T s t s t dt n 0 2 1 2 2 0 ( ) ( ) 2 σ ξ (8.3-29) 于是可以写出ξ 的概率密度函数为 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − 2 2 2 exp 2 1 ( ) ξ σ ξ ξ πσ f ξ (8.3-30) 至此可得发送 ( ) 1s t 将其错误判决为 ( ) 2 s t 的概率为 dx x P s P a b s ∫ ∞ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < = − 2 exp 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 π ξ (8.3-31) 利用相同的分析方法可以得到发送 ( ) 2 s t 将其错误判决为 ( ) 1s t 的概率为 dx x P s b s ∫ ∞ ′ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − 2 exp 2 1 ( ) 2 2 1 π (8.3-32) 系统总的误码率为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 P P s P s P s P s e = s + s ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ ∫ ∞ ′ ∞ dx x dx P s x P s b b 2 exp 2 1 ( ) 2 exp 2 1 ( ) 2 2 2 1 π π (8.3-33) 式中b 和b′分别为 [ ] [ ] ∫ ∫ − = − + T T s t s t dt n P s P s s t s t dt n b 0 2 1 2 0 2 1 0 2 1 2 0 ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ln ( ) ( ) 2 1 (8.3-34) [ ] [ ] ∫ ∫ − ′ = − + T T s t s t dt n P s P s s t s t dt n b 0 2 1 2 0 1 2 0 2 1 2 0 ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ln ( ) ( ) 2 1 (8.3-35) 由式(8.3-33)、式(8.3-34)和式(8.3-35)可以看出，最佳接收机的误码性能与先 验概率 ( )1 P s 和 ( ) 2 P s 、噪声功率谱密度n0 及 ( ) 1s t ( ) 2 s t 之差的能量有关，而与 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 本身的具体结构无关
b)最佳信号形式 一般情况下先验概率不容易确定,通常选择先验等概的假设设计最佳接收 比较式(83-34)和式(83-35)可以看出,当发送信号先验概率相等时,b=b', 此时误码率可表示为 P (8.3-36) 式中 ;()-s2()]2dr (8.3-37) 2 为了分析方便,我们定义s1(1)和S2(1)之间的互相关系数为 S(Os,(0)dt (8.3-38 E 式中E是信号s1(1)和s:()在0≤t≤T期间的平均能量。当s(1)和s2(1)具有相等 的能量时 E=E=E= Eb 将E和p代入式(83-37)可得 E (8.3-40) no 此时,式(83-36)可表示为 P E6(-p) (83-41) 上式即为二进制确知信号最佳接收机误码率一般表示式。它与信噪比竺及发送 信号之间的互相关系数p有关。 由互补误差函数ef(x)的性质,为了得到最小的误码率P,就要使E(-p) 最大化当信号能量E和噪声功率谱密度n。一定时,误码率P就是互相关系数ρ
8-4 b) 最佳信号形式 一般情况下先验概率不容易确定，通常选择先验等概的假设设计最佳接收 机。 比较式(8.3-34)和式(8.3-35)可以看出，当发送信号先验概率相等时，b = b′， 此时误码率可表示为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ∫ ∞ 2 2 1 2 exp 2 1 2 A dx erfc x P A e π (8.3-36) 式中 [ ] ∫ = − T s t s t dt n A 0 2 1 2 0 ( ) ( ) 2 1 (8.3-37) 为了分析方便，我们定义 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 之间的互相关系数为 E s t s t dt T ∫ = 0 1 2 ( ) ( ) ρ (8.3-38) 式中 E 是信号 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 在0 ≤ t ≤ T 期间的平均能量。当 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 具有相等 的能量时 E = E1 = E2 = Eb (8.3-39) 将 Eb 和 ρ 代入式(8.3-37)可得 ( ) 0 1 n E A b − ρ = (8.3-40) 此时，式(8.3-36)可表示为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 0 (1 ) 2 1 n E P erfc b e ρ (8.3-41) 上式即为二进制确知信号最佳接收机误码率一般表示式。它与信噪比 n0 Eb 及发送 信号之间的互相关系数 ρ 有关。 由互补误差函数erfc(x) 的性质，为了得到最小的误码率 Pe，就要使 2 0 (1 ) n Eb − ρ 最大化。当信号能量 Eb 和噪声功率谱密度n0 一定时，误码率 Pe就是互相关系数 ρ
的函数。互相关系数ρ愈小,误码率P也愈小,要获得最小的误码率P,就要 求出最小的互相关系数p。 根据互相关系数p的性质,p的取值范围为 1≤p≤1 当p取最小值p=-1时,误码率P将达到最小,此时误码率为 (8.3-42) 上式即为发送信号先验概率相等时二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小 误码率,此时相应的发送信号s1(1)和s2()之间的互相关系数p=-1。也就是说, 当发送二进制信号S1(1)和(1)之间的互相关系数p=-1时的波形就称为是最佳 波形 当互相关系数p=0时,误码率为 P=÷enrc (8.3-43) 若互相关系数p=1,则误码率为 P 若发送信号s()和s2(t)是不等能量信号,如E1=0,E2=E,p=0,发送 信号s1(1)和s2()的平均能量为E=一,在这种情况下误码率表示式(83-43)变为 P (83-44) 在第五章数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道,双极性信号的误码 率低于单极性信号,其原因之一就是双极性信号之间的互相关系数p=-1,而单 极性信号之间的互相关系数ρ=0。在第七章数字频带传输系统误码性能分析中, 2PSK信号能使互相关系数p=-1,因此2PSK信号是最佳信号波形;2FSK和
8-5 的函数。互相关系数 ρ 愈小，误码率 Pe 也愈小，要获得最小的误码率 Pe ，就要 求出最小的互相关系数 ρ 。 根据互相关系数 ρ 的性质， ρ 的取值范围为 −1 ≤ ρ ≤ 1 当 ρ 取最小值 ρ = −1时，误码率 Pe将达到最小，此时误码率为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 0 1 n E P erfc b e (8.3-42) 上式即为发送信号先验概率相等时二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小 误码率，此时相应的发送信号 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 之间的互相关系数 ρ = −1。也就是说， 当发送二进制信号 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 之间的互相关系数 ρ = −1时的波形就称为是最佳 波形。 当互相关系数 ρ = 0 时，误码率为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 2 0 1 n E P erfc b e (8.3-43) 若互相关系数 ρ = 1，则误码率为 2 1 Pe = 若发送信号 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 是不等能量信号，如 0 E1 = ，E2 = Eb ，ρ = 0 ，发送 信号 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 的平均能量为 2 Eb E = ，在这种情况下误码率表示式(8.3-43)变为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 4 0 1 n E P erfc b e (8.3-44) 在第五章数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道，双极性信号的误码 率低于单极性信号，其原因之一就是双极性信号之间的互相关系数 ρ = −1，而单 极性信号之间的互相关系数 ρ = 0 。在第七章数字频带传输系统误码性能分析中， 2PSK 信号能使互相关系数 ρ = −1，因此 2PSK 信号是最佳信号波形；2FSK 和
2ASK信号对应的互相关系数p=0。因此2PSK系统的误码率性能优于2FSK和 2ASK系统;2FSK信号是等能量信号,而2ASK信号是不等能量信号,因此2FSK 系统的误码率性能优于2ASK系统
8-6 2ASK 信号对应的互相关系数 ρ = 0 。因此 2PSK 系统的误码率性能优于 2FSK 和 2ASK 系统；2FSK 信号是等能量信号，而 2ASK 信号是不等能量信号，因此 2FSK 系统的误码率性能优于 2ASK 系统