《通信原理》第四十二讲 ˉ进制移相键控αPSK)和二进制差分相位键控(2DPSK)系统的抗噪声性 能 a)2PSK相干解调系统性能 发送端 信道 抽样7输出 滤波器 相乘器 滤波器 判决器 S()↑y() y(o 2 cost 时 脉冲 图7-292PSK信号相干解调系统性能分析模型 在码元时间宽度T区间,发送端产生的2PSK信号可表示为 s()=4n() 发送“1”符号 lr(1)=-a17(),发送“0”符号 2-68) 其中 l17(1)= Acos@L, 0<I<Is 0,其它t 接收端带通滤波器输出波形y(1)为 [a+n2(m)] coSO t-n,()sino,发送“1”符号 y(1)= 1-a+n(O)oso-n(O)smab,发送“0”符号 低通滤波器输出波形x(1)为 x(1)= a+n2(m),发送“1”符号 -a+n(),发送“0”符号 (7.2-69) 在k7时刻抽样值的一维概率密度函数f(x)和f0(x)分别为 f(x)= (x-a) 发送“1”符号 (72-70) 7-1
7-1 《通信原理》 第四十二讲 一、 二进制移相键控(2PSK)和二进制差分相位键控(2DPSK)系统的抗噪声性 能 a) 2PSK 相干解调系统性能 带通 滤波器 相乘器 低通 滤波器 抽样 判决器 定时 脉冲 输出 t ωc 2cos 发送端 信道 s (t) T n (t) i y (t) i y(t) x(t) Pe 图 7-29 2PSK 信号相干解调系统性能分析模型 在码元时间宽度Ts 区间，发送端产生的 2PSK 信号可表示为 ⎩ ⎨ ⎧ = − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) ( ) 0 ( ), 1 ( ) 0 1 1 u t u t u t s t T T T T (7.2-68) 其中 ⎩ ⎨ ⎧ < < = t A t t T u t c S T 0， 其它 cos , 0 ( ) 1 ω 接收端带通滤波器输出波形 y(t)为 ⎩ ⎨ ⎧ − + − + − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 [ ( )]cos ( )sin 0 [ ( )]cos ( )sin , 1 ( ) a n t t n t t a n t t n t t y t c c s c c c s c ω ω ω ω 低通滤波器输出波形 x(t) 为 ⎩ ⎨ ⎧ − + + = 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ), 0 ( ), 1 ( ) a n t a n t x t c c (7.2-69) 在 s kT 时刻抽样值的一维概率密度函数 ( ) 1f x 和 ( ) 0f x 分别为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − 2 2 1 2 ( ) exp 2 1 ( ) n n x a f x πσ σ ，发送“1”符号 (7.2-70)
(x)=-1 2o2},发送“0”符号 (7.2-71) 2 由最佳判决门限分析可知,在发送“1”符号和发送“0”符号概率相等时 最佳判决门限b=0。此时,发送“1”符号而错判为“0”符号的概率P(0/1)为 P(O/1)=P(x s0)=f(x)dx (x-a) 2丌o =-e (G) (7.2-72) 式中 P(O)=P(x>0)=1a(G) P=P(1)P(0/1)+P(0)P(0/1) (7.2-73) 在大信噪比(r>>1)条件下,式(72-73)可近似表示为 P (7.2-74) b)2DPSK信号相干解调系统性能 2DPSK信号采用相干解调加码反变换器方式解调时,码反变换器输入端的 误码率既是2PSK信号采用相干解调时的误码率,因此,此时只需要再分析码反 变换器对误码率的影响即可。 带通 相乘器 低通 抽样 码反输出 滤波器 滤波器 判决器 变换器P y() y(1) 2 c0s0 t 定时 图7-302DPSK信号相干解调系统性能分析模型 图7-31(a)所示波形是解调出的相对码信号序列没有错码,因此通过码反变 7-2
7-2 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = − 2 2 0 2 ( ) exp 2 1 ( ) n n x a f x πσ σ ，发送“0”符号 (7.2-71) 由最佳判决门限分析可知，在发送“1”符号和发送“0”符号概率相等时， 最佳判决门限 0 * b = 。此时，发送“1”符号而错判为“0”符号的概率 P(0 /1)为 dx x a P P x f x dx n n ∫−∞ ∫−∞ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = ≤ = = − 0 2 2 0 1 2 ( ) exp 2 1 (0 /1) ( 0) ( ) πσ σ erfc( ) r 2 1 = (7.2-72) 式中 2 2 2 n a r σ = 。 P P x erfc( ) r 2 1 (1/ 0) = ( > 0) = P P(1)P(0 /1) P(0)P(0 /1) e = + erfc( ) r 2 1 = (7.2-73) 在大信噪比( ) r >> 1 条件下，式(7.2-73)可近似表示为 r e e r P − ≈ 2 π 1 (7.2-74) b) 2DPSK 信号相干解调系统性能 2DPSK 信号采用相干解调加码反变换器方式解调时，码反变换器输入端的 误码率既是 2PSK 信号采用相干解调时的误码率，因此，此时只需要再分析码反 变换器对误码率的影响即可。 带通 滤波器 相乘器 低通 滤波器 抽样 判决器 定时 脉冲 输出 t ωc 2cos y (t) i y(t) x(t) Pe 码反 变换器 Pe ′ 图 7-30 2DPSK 信号相干解调系统性能分析模型 图 7-31(a)所示波形是解调出的相对码信号序列没有错码，因此通过码反变
换器变成绝对码信号序列输出也没有错码。若码反变换器输入相对码信号序列中 出现连续n错码,则输出绝对码信号序列中也只有两个错码。 发送绝对码0010110111 发送相对码00011011010 无错:接收相对码0011011010 绝对码 010110111 错1:接收相对码0010011010 绝对码 10101 错2:接收相对码0010111010 绝对码 011100111 错5:接收相对码0010100110 绝对码 011110101 图7-31码反变换器对错码的影响 设P为码反变换器输入端相对码序列的误码率,并假设每个码出错概率相等 且统计独立,P为码反变换器输出端绝对码序列的误码率, P=2P1+2P2+…+2P+ (7.2-75) 式中P为码反变换器输入端相对码序列连续出现n个错码的概率, P=(1-P)P(1-P)=(1-P)P P2=(1-P)P2(-P)=(1-P)2P2 B=(1-P)P"(1-P)=(1-P)P P=2(1-P)2(P+P2+…+P+…) =2(1-P)P(1+P+P2+…+P+…) 因为误码率P小于1,所以下式成立 P=2(1-P)P (7.2-77) P (7.2-78) 7-3
7-3 换器变成绝对码信号序列输出也没有错码。若码反变换器输入相对码信号序列中 出现连续n 错码，则输出绝对码信号序列中也只有两个错码。 发送绝对码 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 发送相对码 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 无错：接收相对码 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 绝对码 0 1 0 1 1 0 1 1 1 错 1：接收相对码 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 绝对码 0 1 1 0 1 0 1 1 1 错 2：接收相对码 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 绝对码 0 1 1 1 0 0 1 1 1 错 5：接收相对码 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 绝对码 0 1 1 1 1 0 1 0 1 图 7-31 码反变换器对错码的影响 设 Pe为码反变换器输入端相对码序列的误码率，并假设每个码出错概率相等 且统计独立， ' Pe 为 码 反 变 换 器 输 出 端 绝 对 码 序 列 的 误 码 率 ， = + +L+ +L ′ Pe P P Pn 2 2 2 1 2 (7.2-75) 式 中 Pn 为码反变换器输入端相对码序列连续出现 n 个错码的概率， P Pe Pe Pe Pe Pe 2 1 = (1− ) (1− ) = (1− ) 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) P = − Pe Pe − Pe = − Pe Pe n e e e n Pn Pe Pe P P P2 = (1− ) (1− ) = (1− ) (7.2-76) 2(1 ) ( ) = − 2 + 2 +L+ +L ′ n Pe Pe Pe Pe Pe 2(1 ) (1 ) = − Pe 2 Pe + Pe + Pe 2 +L+ Pe n +L 因为误码率 Pe小于 1，所以下式成立 Pe Pe Pe = 2(1 − ) ′ (7.2-77) [ ] 2 1 ( ) 2 1 P erf r e = − ′ (7.2-78)
当相对码的误码率P。〈(1时,式(72-77)可近似表示为 P=2P (7.2-79) 即此时码反变换器输出端绝对码序列的误码率是码反变换器输入端相对码序列 误码率的两倍。可见,码反变换器的影响是使输岀误码率增大。 c)2DPSK信号差分相干解调系统性能 y(t) 发送端 信道 带通 相乘器 低通 抽样输出 滤波器 滤波器 判决器 P y2(1) 脉冲 图7-322DPSK信号差分相干解调误码率分析模型 假设当前发送的是“1”符号,并且前 一个时刻发送的也是“1”符号,则带通滤波器输出y1(1)和延迟器输出y2(1)分别 为 y,(0)=acos@tn,(O) a+n12()]c n((sin@t (7.2-80) y2()=acoso t+n,(t) la+n2(t)]cos@ t-n2,(O)sin@ t (72-81) 其中n1(1)和n2(1)分别为无延迟支路的窄带高斯噪声和有延迟支路的窄带高斯噪 声,并且n1(1)和n2(1)相互独立。低通滤波器的输出x(1)为 x()={a+n2(m)[a+n2(O]+n1()n2,(m)} 抽样时刻的样值为 (a+n1)(a+n2)+n1,n2 12-82) 若x>0,则判决为“1”符号正确判决 若x<0,则判决为“0”符号-错误判决
7-4 当相对码的误码率 Pe 〈〈1 时，式(7.2-77)可近似表示为 Pe Pe = 2 ′ (7.2-79) 即此时码反变换器输出端绝对码序列的误码率是码反变换器输入端相对码序列 误码率的两倍。可见，码反变换器的影响是使输出误码率增大。 c) 2DPSK 信号差分相干解调系统性能 带通 滤波器 相乘器 低通 滤波器 抽样 判决器 定时 脉冲 输出 发送端 信道 s (t) T n (t) i y (t) i ( ) 1 y t x(t) Pe 延迟Ts ( ) 2 y t 图 7-32 2DPSK 信号差分相干解调误码率分析模型 假设当前发送的是“1”符号，并且前 一个时刻发送的也是“1”符号，则带通滤波器输出 ( ) 1 y t 和延迟器输出 ( ) 2 y t 分别 为 ( ) cos ( ) 1 1 y t a t n t = ωc + a n t t n t t c ωc s ωc = [ + 1 ( )]cos − 1 ( )sin (7.2-80) ( ) cos ( ) 2 2 y t a t n t = ωc + a n t t n t t c ωc s ωc = [ + 2 ( )]cos − 2 ( )sin (7.2-81) 其中 ( ) 1 n t 和 ( ) 2 n t 分别为无延迟支路的窄带高斯噪声和有延迟支路的窄带高斯噪 声，并且 ( ) 1 n t 和 ( ) 2 n t 相互独立。低通滤波器的输出 x(t) 为 {[ ( )][ ( )] ( ) ( )} 2 1 ( ) 1 2 1 2 x t a n t a n t n t n t = + c + c + s s 抽样时刻的样值为 [( )( ) ] 2 1 a n1c a n2c n1sn2s x = + + + (7.2-82) 若 x > 0，则判决为“1”符号----正确判决 若 x < 0，则判决为“0”符号----错误判决
“1”符号判为“0”符号的概率为 P(0/1)=P{x<0}=P{[(a+n12(a+n2)+n1n2,]<0}(72-83) 利用恒等式 x2+y2=1x+x2)+(+y2]-[x-x)2+(x1-y2)(72.84 若判为“0”符号则有 )2+(mn1+n2)2<(n1-n2)2-(nn+n2)2 (7.2-86) 令 R=V(2a+n1+n2)2+(mn+n2) R2=√n-n2)2+(n1-n2,) P(0/1)=P{x<0}=P{R1<R2} 因为n。、n2。、n1、n2是相互独立的高斯随机变量,且均值为0,方差相等 为σ2。则n1+n2是零均值,方差为2σ2 的高斯随机变量。同理,n1,+n2、n1-n2、nn-n2,都是零均值,方差为2a2 的高斯随机变量。 fR)=1(aR\-(时+)4t (72-87) f(R )=r2 R/4a2 2a2 (72-88) P(0/1)=P{x<0}=P{R1<R2} f(r f(R)drdR Ra iRds 2 ,aR, 2 7-5
7-5 “1”符号判为“0”符号的概率为 [( )( ) ] 0} 2 1 (0 /1) { 0} { P = P x < = P a + n1c a + n2c + n1sn2s < (7.2-83) 利用恒等式 { } [ ] [ ] 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 x x + y y = x + x + y + y − x − x + y − y (7.2-84) (7.2-85) 若判为“0”符号则有 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 (2 ) ( ) ( ) ( ) a + n c + n c + n s + n s < n c − n c − n s + n s (7.2-86) 令 2 1 2 2 1 1 2 (2 ) ( ) c c s s R = a + n + n + n + n 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) c c s s R = n − n + n − n (0 /1) { 0} { } P R1 R2 P = P x < = < 因为n1c 、 是相互独立的高斯随机变量，且均值为 0，方差相等 n2c 、n1s 、n2s 为 2 σ n 。则n1c + n2c 是零均值，方差为 2 2 σ n 的高斯随机变量。同理，n1s + n2s 、n1c − n2c 、n1s − n2s 都是零均值，方差为 2 2 σ n 的高斯随机变量。 2 2 2 1 ( 4 )/ 4 2 1 2 0 1 1 2 ( ) n R a n n e aR I R f R σ σ σ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (7.2-87) 2 2 2 / 4 2 2 2 2 ( ) R n n e R f R σ σ − = (7.2-88) P(0 /1) = P{x < 0} { } = P R1 < R2 1 0 1 2 2 2 1 f (R ) f (R )dR dR ∫ ∫R R ∞ ∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 1 0 2 / 2 2 ( 4 )/ 4 2 2 1 2 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 e dR dR R e aR I R R R R n R a n n n n ∫ ∫ ∞ ∞ = − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = σ σ σ σ σ 1 0 (2 4 )/ 4 2 1 2 0 1 2 2 2 1 2 e dR aR I R R a n n n ∫ ∞ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = σ σ σ
式中,r= P(1/0)= P (72-89) 例题7.22 若采用2DPSK方式传送二进制数字信息,已知发送端发出的信号振幅为5V, 输入接收端解调器的高斯噪声功率σ=3×10-2W,今要求误码率P=10-3。试求: (1)采用差分相干接收时,由发送端到解调器输入端的衰减为多少? (2)采用相干解调一码反变换接收时,由发送端到解调器输入端的衰减为多 解 (1)2DPSK方式传输,采用差分相干接收,其误码率为 P 可得 又因为 2 可得 a=√2a2r=y6492×10 衰减分贝数为 k=201g-=201g =1159dB 8.06×10 (2)采用相干解调一码反变换接收时误码率为 1 P≈2P=erf(√r) 可得
7-6 r e− = 2 1 式中， 2 2 2 n a r σ = 。 r P e− = 2 1 (1/ 0) r e P e− = 2 1 (7.2-89) 例题 7.2.2 若采用 2DPSK 方式传送二进制数字信息，已知发送端发出的信号振幅为 5V， 输入接收端解调器的高斯噪声功率 2 12 3 10− σ n = × W，今要求误码率 5 10− Pe = 。试求： (1)采用差分相干接收时，由发送端到解调器输入端的衰减为多少？ (2)采用相干解调—码反变换接收时，由发送端到解调器输入端的衰减为多 少？ 解： (1) 2DPSK 方式传输，采用差分相干接收，其误码率为 5 10 2 1 − − = =r e P e 可得 r = 10.82 又因为 2 2 2 n a r σ = 可得 2 11 6 2 6.492 10 8.06 10 − − a = σ n r = × = × 衰减分贝数为 k 115.9dB 8.06 10 5 20lg a 5 20lg 6 = × = = − （2）采用相干解调—码反变换接收时误码率为 5 10 1 2 ( ) − − ≈ = ≈ =r e e r P P erfc r π 可得
98 a=√2a2r588×10=767×10-6 衰减分贝数为 k=20lg=20l 116.3dB 7.67×10 由分析结果可以看出,当系统误码率较小时,2DPSK系统采用差分相干方式 接收与采用相干解调一码反变换方式接收的性能很接近。 7-7
7-7 r = 9.8 2 11 6 2 5.88 10 7.67 10 − − a = σ n r × = × 衰减分贝数为 116.3dB 7.67 10 5 20lg a 5 k 20lg 6 = × = = − 由分析结果可以看出，当系统误码率较小时，2DPSK 系统采用差分相干方式 接收与采用相干解调—码反变换方式接收的性能很接近
