《通信原理》第四十讲 §7.2二进制数字调制系统的抗噪声性能 分析二进制数字调制系统的抗噪声性能,也就是分析在信道等效加性高斯白 噪声的干扰下系统的误码性能,得出误码率与信噪比之间的数学关系。 在二进制数字调制系统抗噪声性能分析中,假设信道特性是恒参信道,在信 号的频带范围内其具有理想矩形的传输特性(可取传输系数为K)。噪声为等效加 性高斯白噪声,其均值为零,方差为σ 进制振幅键控(2ASK)系统的抗噪声性能 a)同步检测法的系统性能 带通 抽样 输出 发送端 信道 滤波器 相乘器 判决器」P Sr(1) 2 cos0 t 定时 脉冲 图7-222ASK信号同步检测法的系统性能分析模型 在一个码元的时间间隔T内,发送端输出的信号波形sr(1)为 5)=1(,发送“"”符号 发送“0”符号 (72-1) 其中 「 A cos o.,0<t<Ts l()= 0,其它t (72-2) 式中ω为载波角频率,T为码元时间间隔。在(O,T)时间间隔,接收端带通滤波 器输入合成波形y(1)为 )={4()+n(),发送“”符号 n1(),发送“0”符号 (7.2-3) 7-1
7-1 《通信原理》 第四十讲 §7．2 二进制数字调制系统的抗噪声性能 分析二进制数字调制系统的抗噪声性能，也就是分析在信道等效加性高斯白 噪声的干扰下系统的误码性能，得出误码率与信噪比之间的数学关系。 在二进制数字调制系统抗噪声性能分析中，假设信道特性是恒参信道，在信 号的频带范围内其具有理想矩形的传输特性(可取传输系数为 K)。噪声为等效加 性高斯白噪声，其均值为零，方差为 2 σ 。 一、 二进制振幅键控(2ASK)系统的抗噪声性能 a) 同步检测法的系统性能 带通 滤波器 相乘器 低通 滤波器 抽样 判决器 定时 脉冲 输出 t ωc 2cos 发送端 信道 s (t) T n (t) i y (t) i y(t) x(t) Pe 图 7-22 2ASK 信号同步检测法的系统性能分析模型 在一个码元的时间间隔Ts 内，发送端输出的信号波形s (t) T 为 ⎩ ⎨ ⎧ = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 0 0 ( ), 1 ( ) u t s t T T (7.2-1) 其中 ⎩ ⎨ ⎧ < < = t A t t T u t c S T 0， 其它 cos , 0 ( ) ω (7.2-2) 式中ωc为载波角频率，Ts 为码元时间间隔。在(0, ) Ts 时间间隔，接收端带通滤波 器输入合成波形 y (t) i 为 ⎩ ⎨ ⎧ + = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) 0 ( ) ( ), 1 ( ) n t u t n t y t i i i i (7.2-3)
式中 l()= AK cost, 0<t<Ts 其它t a cos@L, O<I<TS 0,其它t (72-4) 为发送信号经信道传输后的输出。n()为加性高斯白噪声,其均值为零,方差 为a2 设接收端带通滤波器具有理想矩形传输特性,带通滤波器的输出波形υ)为 y(1)=a()+m(,发送“”符号 m(,发送“0符号 (7.2-5) n(t)为窄带高斯噪声,其均值为零,方差为Gn,且可表示为 n(0=n(ocos@t-n,(o)sin @t (72-6) y(1) Jacos,/+n(n)cos@I-n, (I)sin@! I ne(O)coso,I-n,(O)sin o)./ ∫[a+n.()loso1-n,()ina,发送“”符号 n() coso t-n,(t) )sin@ t,发送“0”符号 (7.2-7) 与相干载波2 cOS t相乘后的波形x()为 (0=2y(cos o t J2(a+.(D]coso. [-2n, ()sin o, cos O,! 2n (o)cos@ I-2n, (Osin@ I coso.t ∫a+n:()+[a+n(l)cos2-n,()sin2o1,发送“”符号 n(1)+n(1)cos2o1-n,()sino,发送“0”符号 (7.2-8) 理想低通滤波器的输出波形x(1)为 x(a+n:()发送“1”符号 n(),发送“0”符号 (7.2-9) 式中,a为信号成分,n()为低通型高斯噪声,其均值为零,方差为σ2 7-2
7-2 式中 ⎩ ⎨ ⎧ < < = t AK t t T u t c S i 0， 其它 cos , 0 ( ) ω ⎩ ⎨ ⎧ < < = t a ct t TS 0， 其它 cosω , 0 (7.2-4) 为发送信号经信道传输后的输出。n (t) i 为加性高斯白噪声，其均值为零，方差 为 2 σ 。 设接收端带通滤波器具有理想矩形传输特性，带通滤波器的输出波形 y(t)为 ⎩ ⎨ ⎧ + = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) 0 ( ) ( ), 1 ( ) n t u t n t y t i (7.2-5) n(t)为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为 2 σ n ，且可表示为 n t n t t n t t c ωc s ωc ( ) = ( ) cos − ( )sin (7.2-6) ⎩ ⎨ ⎧ − + − = n t t n t t a t n t t n t t y t c c s c c c c s c ω ω ω ω ω ( ) cos ( )sin cos ( ) cos ( )sin ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − + − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) cos ( )sin 0 [ ( )]cos ( )sin , 1 n t t n t t a n t t n t t c c s c c c s c ω ω ω ω (7.2-7) 与相干载波 t ωc 2cos 相乘后的波形 z(t) 为 z t y t t ωc ( ) = 2 ( ) cos ⎩ ⎨ ⎧ − + − = n t t n t t t a n t t n t t t c c s c c c c s c c ω ω ω ω ω ω 2 ( ) cos 2 ( )sin cos 2[ ( )]cos 2 ( )sin cos 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ + − + + + − = 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) ( ) cos 2 ( )sin 2 , 0 [ ( )] [ ( )]cos 2 ( )sin 2 , 1 n t n t t n t t a n t a n t t n t t c c c s c c c c s c ω ω ω ω (7.2-8) 理想低通滤波器的输出波形 x(t) 为 ⎩ ⎨ ⎧ + = 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ), 0 ( ), 1 ( ) n t a n t x t c c (7.2-9) 式中，a 为信号成分，n (t) c 为低通型高斯噪声，其均值为零，方差为 2 σ n
设对第k个符号的抽样时刻为kT,则x(1)在kT时刻的抽样值x为 a+n2(k7)Ja+n,发送“"符号 In,(kT 发送“”符号 (72-10) 式中,n是均值为零,方差为σ的高斯随机变量。发送“1”符号时的抽样值 x=a+n的一维概率密度函数f(x)为 f(x) (x-a) (7.2-11) 2To 发送“0”符号时的抽样值x=n2的一维概率密度函数∫6(x)为 exp fo(r) (a) 图7-23抽样值x的一维概率密度函数 假设抽样判决器的判决门限为b,则抽样值x>b时判为“1”符号输出,若 抽样值x≤b时判为“0”符号输出 若发送的第k个符号为 P0/1)=P(x≤b)=f(x)dt exp- (7.2-13) 式中 erfc(x)= xp(-y 同理,当发送的第k个符号为“0”时, 7-3
7-3 设对第k 个符号的抽样时刻为 s kT ，则 x(t) 在 s kT 时刻的抽样值 x 为 ⎩ ⎨ ⎧ + = ⎩ ⎨ ⎧ + = 发送“”符号 发送“”符号 , , 1 ( ) ( ) c c c s c s n a n n kT a n kT x (7.2-10) 式中， nc 是均值为零，方差为 2 σ n 的高斯随机变量。发送“1”符号时的抽样值 a nc x = + 的一维概率密度函数 ( ) 1f x 为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − 2 2 1 2 ( ) exp 2 1 ( ) n n x a f x πσ σ (7.2-11) 发送“0”符号时的抽样值 nc x = 的一维概率密度函数 ( ) 0f x 为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − 2 2 0 2 exp 2 1 ( ) n n x f x πσ σ (7.2-12) 图 7-23 抽样值 x 的一维概率密度函数 假设抽样判决器的判决门限为b ，则抽样值 x > b 时判为“1”符号输出，若 抽样值 x ≤ b 时判为“0”符号输出。 若发送的第 k 个 符 号 为 “ 1 ” ， dx x a P P x b f x dx b n n b ∫−∞ ∫−∞ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = ≤ = = − 2 2 1 2 ( ) exp 2 1 (0 /1) ( ) ( ) πσ σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − n b a erfc 2 2σ 1 1 (7.2-13) 式中 ( ) ∫ ∞ = − x erfc x exp( y )dy 2 2 π 同理，当发送的第k 个符号为“0”时
P(/O)=Px>b)=(x) 2丌o 2a2 (7.2-14) P=P(l)P(0/1)+P(O)P(0/1) P(D)I f(x)dx+ P(o)Lfo(x)a 式(7.2-15)表明,当符号的发送概率P(1)、P(0)及概率密度函数f(x)、f0(x) 定时,系统总的误码率P将与判决门限b有关,其几何表示如图7-24所示 F(0)(x) P(1)f( 0 bai 图7-24同步检测时误码率的几何表示 误码率P等于图中阴影的面积。当判决门限b取P)f(x)与P(O)f(x)两条曲线 相交点b时,阴影的面积最小。这个门限就称为最佳判决门限。 最佳判决门限也可通过求误码率P关于判决门限b的最小值的方法得到,令 可得 P(1)f(b)-P(0)f0(b)=0 即 P(1)f(b')=P(0)f6(b’) (7 将式(72-11)和(72-12)代入(72-17可得
7-4 dx x P P x b f x dx b n n ∫b ∫ ∞ ∞ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = > = = − 2 2 0 2 exp 2 1 (1/ 0) ( ) ( ) πσ σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n b erfc 2 2σ 1 (7.2-14) P P(1)P(0 /1) P(0)P(0 /1) e = + ∫ ∫ ∞ −∞ = + b b P(1) f (x)dx P(0) f (x)dx 1 0 (7.2-15) 式(7.2-15)表明，当符号的发送概率 P(1) 、P(0)及概率密度函数 ( ) 1f x 、 ( ) 0f x 一定时，系统总的误码率 Pe 将与判决门限b 有关，其几何表示如图 7-24 所示。 图 7-24 同步检测时误码率的几何表示 误码率 Pe 等于图中阴影的面积。当判决门限b 取 (1) ( ) 1 P f x 与 (0) ( ) 0 P f x 两条曲线 相交点 * b 时，阴影的面积最小。这个门限就称为最佳判决门限。 最佳判决门限也可通过求误码率 Pe 关于判决门限b 的最小值的方法得到，令 = 0 ∂ ∂ b Pe (7.2-16) 可得 (1) ( ) (0) ( ) 0 * 0 * P f1 b − P f b = 即 (1) ( ) (0) ( ) * 0 * P f1 b = P f b (7.2-17) 将式(7.2-11)和(7.2-12)代入(7.2-17)可得
nIn P( P(1) 当P(1)=P(0)时,最佳判决门限b为 当发送二进制符号“1”和“0”等概,且判决门限取b=时,对2ASK信 2 号采用同步检测法进行解调时的误码率P为 P (7.2-20) 2 式中r 为信噪比 当r (72-21) b)包络检波法的系统性能 发送端 信道 带通 滤波器 包络检波器 抽样输出 判决器 P Sr(1) y(1) 定时 脉冲 图7-25包络检波法的系统性能分析模型 a1()+n1(1) () s|a+n,(l)eoso1-n,()sina,发送“”符号 n2(0) coso t-n,() Sin@.,发送“0”符号 ()=va+n(O)+n:()oso+q(),发送“"符号 (7.2-22) yn()+n:() coso t+q(l)发送“0”符号 当发送“1”符号时 7-5
7-5 (1) (0) ln 2 2 * P P a a b σ n = − (7.2-18) 当 P(1) = P(0)时，最佳判决门限 * b 为 2 * a b = (7.2-19) 当发送二进制符号“1”和“0”等概，且判决门限取 2 * a b = 时，对 2ASK 信 号采用同步检测法进行解调时的误码率 Pe 为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 4 1 r P erfc e (7.2-20) 式中 2 2 2 n a r σ = 为信噪比。 当r >> 0 ， 4 1 r e e r P − ≈ π (7.2-21) b) 包络检波法的系统性能 带通 滤波器 包络检波器 抽样 判决器 定时 脉冲 输出 发送端 信道 s (t) T n (t) i y (t) i y(t) V (t) Pe 图 7-25 包络检波法的系统性能分析模型 ⎩ ⎨ ⎧ + = ( ) ( ) ( ) ( ) n t u t n t y t i i i ⎩ ⎨ ⎧ − + − = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) cos ( )sin 0 [ ( )]cos ( )sin , 1 n t t n t t a n t t n t t c c s c c c s c ω ω ω ω ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + + = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 ( ) ( ) cos[ ( )] 0 [ ( )] ( ) cos[ ( )], 1 ( ) 0 2 2 1 2 2 n t n t t t a n t n t t t y t c s c c s c ω ϕ ω ϕ (7.2-22) 当发送“1”符号时
()=a+n2()+n2() (72-23) 当发送“0”符号时 ()=Vn2(1)+n2(t) (7.2-24) 在k时刻包络检波器输出波形的抽样值为 F=Van+n2,发送“”符号 (72-25) 12+n3 发送“0”符号 发送“1”符号时的抽样值是广义瑞利型随机变量;发送“0”符号时的抽样 值是瑞利型随机变量,它们的一维概率密度函数分别为 fC a|。-(V2+a2)/2a2 (7.2-27) 式中,σ2为窄带高斯噪声n(1)的方差 抽样判决器对抽样值作出判决,若抽样值大于判决门限,即V>b时判为“1” 符号输出;若抽样值小于等于判决门限,即V≤b时判为“0”符号输出 P0)=Psb)=CM=1-( 式(72-28)中的积分值可以用 Marcum Q函数计算,Q函数定义为 C(a,B)=uo(ae-r*'dr 将Q函数代入式(72-28)可得 P(0/1)=1- (72-29) 式中一可看为归一化门限值,用b表示 P(O/1)=1-Q(√2r,b) (72-30)
7-6 ( ) [ ( )] ( ) 2 2 V t a n t n t = + c + s (7.2-23) 当发送“0”符号时， ( ) ( ) ( ) 2 2 V t n t n t = c + s (7.2-24) 在 s kT 时刻包络检波器输出波形的抽样值为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = ， 发送“ ”符号 发送“”符号 0 [ ] , 1 2 2 2 2 c s c s n n a n n V (7.2-25) 发送“1”符号时的抽样值是广义瑞利型随机变量；发送“0”符号时的抽样 值是瑞利型随机变量，它们的一维概率密度函数分别为 2 2 2 ( )/ 2 1 2 0 2 ( ) n V a n n e aV I V f V σ σ σ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (7.2-26) 2 2 / 2 0 2 ( ) V n n e V f V σ σ − = (7.2-27) 式中， 2 σ n 为窄带高斯噪声n(t)的方差。 抽样判决器对抽样值作出判决，若抽样值大于判决门限，即V > b时判为“1” 符号输出；若抽样值小于等于判决门限，即V ≤ b 时判为“0”符号输出。 ∫ ∫ ∞ = ≤ = = − b b P(0 /1) P(V b) f (V )dV 1 f1(V )dV 0 1 ∫ ∞ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − b V a n n e dV aV I V n 2 2 2 ( )/ 2 2 0 2 1 σ σ σ (7.2-28) 式(7.2-28)中的积分值可以用 Marcum Q 函数计算，Q 函数定义为 ( ) ∫ ∞ − + = β α Q α β tI αt e dt (t )/ 2 0 2 2 ( , ) 将 Q 函数代入式(7.2-28)可得 (0 /1) 1 ( , ) n n a b P Q σ σ = − (7.2-29) 式中 n b σ 可看为归一化门限值，用b0 表示， (0 /1) 1 ( 2 , ) 0 P = − Q r b (7.2-30)
式中,r 为信噪比 同理 P/0)=P(>b)=G()d (72-31) 若发送“1”符号的概率为P(1),发送“0”符号的概率为P(O),则系统 的总误码率P为 P=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0) =PU-2,小POe=2 (7.2-32) 在系统输入信噪比一定的情况下,系统误码率将与归一化门限值b有关。误 码率P的几何表示如图7-26所示。当归一化判决门限值b处于P(1)f()和 P(0)J6()两条曲线的相交点b时,图中阴影部分的面积最小,即此时系统的总 误码率最小。b为最佳归一化判决门限。 fcV P(0)f() 0 图7-26误码率P的几何表示 最佳归一化判决门限b也可通过求极值的方法得到,令 0 b 7-7
7-7 式中， 2 2 2 n a r σ = 为信噪比。 同理 ∫ ∞ = > = b P(1/ 0) P(V b) f0 (V )dV / 2 / 2 / 2 2 2 0 2 2 2 2 b b b V n e dV e e V n − n − ∞ − = = = ∫ σ σ σ (7.2-31) 若发送“１”符号的概率为 P(1) ，发送“０”符号的概率为 P(0) ，则系统 的总误码率 Pe 为 P P(1)P(0 /1) P(0)P(1/ 0) e = + [ ] / 2 0 2 0 (1) 1 ( 2 , ) (0) b P Q r b P e− = − + (7.2-32) 在系统输入信噪比一定的情况下，系统误码率将与归一化门限值b0 有关。误 码率 Pe 的几何表示如图 7-26 所示。当归一化判决门限值 b0 处于 (1) ( ) P f1 V 和 (0) ( ) P f0 V 两条曲线的相交点 * b0 时，图中阴影部分的面积最小，即此时系统的总 误码率最小。 * b0 为最佳归一化判决门限。 图 7-26 误码率 Pe的几何表示 最佳归一化判决门限 * b0 也可通过求极值的方法得到，令 = 0 ∂ ∂ b Pe
可得 P(1)f(b)=P(0)f后(b) 当P(1)=P(0)时有 f(b)=f0(b) (7.2-34) 此时,最佳判决门限b为 (72-36) 最佳归一化判决门限b为 b b 在小信噪比(r∞式,上式的下界为 P 在相同的信噪比条件下,同步检测法的误码性能优于包络检波法的性能;在 大信噪比条件下,包络检波法的误码性能将接近同步检测法的性能。另外,包络 检波法存在门限效应,同步检测法无门限效应
7-8 可得 (1) ( ) (0) ( ) * 0 * P f1 b = P f b (7.2-33) 当 P(1) = P(0)时有 ( ) ( ) * 0 * f1 b = f b (7.2-34) 此时，最佳判决门限 * b 为 2 * a b = (7.2-36) 最佳归一化判决门限 * b0 为 2 * * 0 r b b n = = σ (7.2-37) 在小信噪比( r << 1)的条件下，式(7.2-35)可近似为 此时，最佳判决门限 * b 为 * 2 2 n b = σ (7.2-38) 最佳归一化判决门限 * b0 为 2 * * 0 = = n b b σ (7.2-39) 在实际工作中，系统总是工作在大信噪比的情况下，因此最佳归一化判决门 限应取 2 * 0 b = r 。此时系统的总误码率 Pe为 4 2 1 4 4 1 r e e r P erfc − +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (7.2-40) 当r → ∞式，上式的下界为 4 2 1 r e P e − = (7.2-41) 在相同的信噪比条件下，同步检测法的误码性能优于包络检波法的性能；在 大信噪比条件下，包络检波法的误码性能将接近同步检测法的性能。另外，包络 检波法存在门限效应，同步检测法无门限效应