《通信原理》第四十六讲 8.2最小差错概率接收准则 匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准,构造接收机结构。而在数字通 信中,人们更关心判决输出的数据正确率。因此,使输出总误码率最小的最小差 错概率准则,更适合于作为数字信号接收的准则。为了便于讨论最小差错概率最 佳接收机,我们需首先建立数字信号接收的统计模型。 数字信号接收的统计模型 数字通信系统的统计模型如图8-3所示。图中消息空间、信号空间、噪声空 间、观察空间、及判决空间分别代表消息、发送信号、噪声、接收信号波形及判 决结果的所有可能状态的集合。 消息空间信号空间 观察空间 判决空间 Ⅹ 规则 R 噪声空间(n 图8-3数字通信系统的统计模型 a)消息空间统计特性 在数字通信系统中,消息是离散的状态,设消息的状态集合为 X={x1 若消息集合中每一状态的发送是统计独立的,第i个状态x的出现概率为P(x), 则消息X的一维概率分布为 x P(x1)P(x2)…P(xn) P(x1)=1 (8.2-2)
8-1 《通信原理》 第四十六讲 §8．2 最小差错概率接收准则 匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准，构造接收机结构。而在数字通 信中，人们更关心判决输出的数据正确率。因此，使输出总误码率最小的最小差 错概率准则，更适合于作为数字信号接收的准则。为了便于讨论最小差错概率最 佳接收机，我们需首先建立数字信号接收的统计模型。 一、 数字信号接收的统计模型 数字通信系统的统计模型如图 8-3 所示。图中消息空间、信号空间、噪声空 间、观察空间、及判决空间分别代表消息、发送信号、噪声、接收信号波形及判 决结果的所有可能状态的集合。 判决 X S + 规则 n R 消息空间 信号空间 噪声空间 观察空间 判决空间 Y 图 8-3 数字通信系统的统计模型 a) 消息空间统计特性 在数字通信系统中，消息是离散的状态，设消息的状态集合为 { }m X x , x , , x = 1 2 L (8.2-1) 若消息集合中每一状态的发送是统计独立的，第i 个状态 i x 的出现概率为 ( )i P x ， 则消息 X 的一维概率分布为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 m m P x P x P x x x x L L ( ) 1 1 ∑ = = m i i P x (8.2-2)
若消息各状态x12x2…,x出现的概率相等,则有 P(x1)=P(x2) (8.2-3) b)信号空间统计特性 消息是各种物理量,需要将消息变换为相应的电信号s(η),用参数S来表示。 设消息x,与信号s(i=1,2,…,m)相对应。这样,信号集合S也由m个状态所组成, ,s2…,sn} (8.2-4) 并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等,即 P(S1)=P(x1) P(S2)=P(x2) P(Sm)=P(xm) 同时也有 P(s) (8.2-5) 若消息各状态出现的概率相等,则有 P(s)=P(s2)=…=P(m)=m (8.2 P(s)是描述信号发送概率的参数,通常称为先验概率,它是信号统计检测 的第一数据。 c)噪声空间统计特性 信道特性是加性高斯噪声信道,噪声空间n是加性高斯噪声 f(m)=f(mn1,n2,…,nk) (8.2-7) 式中,n1n2…nk为噪声n在各时刻的可能取值 若噪声是高斯白噪声,则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的
8-2 若消息各状态 m x , x , , x 1 2 L 出现的概率相等，则有 m P x P x P xm 1 ( ) ( ) ( ) 1 = 2 =L = = (8.2-3) b) 信号空间统计特性 消息是各种物理量，需要将消息变换为相应的电信号s(t)，用参数 S 来表示。 设消息 i x 与信号 i s (i = 1,2,L,m )相对应。这样，信号集合S 也由m 个状态所组成， 即 { }m S s ,s , ,s = 1 2 L (8.2-4) 并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即 ( ) ( ) 1 1 P s = P x ( ) ( ) 2 2 P s = P x …… ( ) ( ) m m P s = P x 同时也有 1 ( ) 1 ∑ = = m i i P s (8.2-5) 若消息各状态出现的概率相等，则有 m P s P s P sm 1 ( ) ( ) ( ) 1 = 2 =L = = (8.2-6) ( )i P s 是描述信号发送概率的参数，通常称为先验概率，它是信号统计检测 的第一数据。 c) 噪声空间统计特性 信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n 是加性高斯噪声。 ( ) ( , , , ) n1 n2 nk f n = f L (8.2-7) 式中，n n nk , , , 1 2 L 为噪声n 在各时刻的可能取值。 若噪声是高斯白噪声，则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的
同时也是统计独立的:若噪声是带限高斯型的,按抽样定理对其抽样,则它在抽 样时刻上的样值也是互不相关的,同时也是统计独立的。其k维联合概率密度函 数等于其k个一维概率密度函数的乘积,即 f(m,n2,…,n2)=f(n1)f(n2)…f(nk (82-8) 式中,∫(n)是噪声n在t时刻的取值n1的一维概率密度函数,若n1的均值为零, 方差为a2,则其一维概率密度函数为 1\2o (8.2-9) 2兀n 噪声n的k维联合概率密度函数为 (n)= exp 2on i= (8.2-10) 根据帕塞瓦尔定理,当k很大时有 2222= (1)dt (8.2-11) 式中,n=为噪声的单边功率谱密度。代入式(82-10)可得 f(n) n(odu 2-12 √2zon d)观察空间统计特性 观察空间的观察波形为 y=n+s 在观察期间T内观察波形为 y(1)=n(1)+s;()(i=1,2,…m (8.2-13) 当出现信号s,(t)时y(1)的概率密度函数f(y)可表示为 f4(y)= y()-s()2dt,(i=12…m) (8 f(y)称为似然函数,它是信号统计检测的第二数据
8-3 同时也是统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽 样时刻上的样值也是互不相关的，同时也是统计独立的。其k 维联合概率密度函 数等于其k 个一维概率密度函数的乘积，即 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k 1 2 nk f n n L n = f n f n L f (8.2-8) 式中， ( ) ni f 是噪声n 在 i t 时刻的取值ni 的一维概率密度函数，若ni 的均值为零， 方差为 2 σ n ，则其一维概率密度函数为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − 2 2 2 exp 2 1 ( ) n i n i n f n πσ σ (8.2-9) 噪声n 的k 维联合概率密度函数为 ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ∑= k i i n k n f n n 1 2 2 2 1 exp 2 1 ( ) πσ σ (8.2-10) 根据帕塞瓦尔定理，当k 很大时有 ∑ ∫ = = T k i i n n t dt n n 0 2 1 0 2 2 ( ) 1 2 1 σ (8.2-11) 式中， H n f n 2 0 σ = 为噪声的单边功率谱密度。代入式(8.2-10)可得 ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ∫ T k n n t dt n f n 0 2 0 ( ) 1 exp 2 1 ( ) πσ (8.2-12) d) 观察空间统计特性 观察空间的观察波形为 y = n + s 在观察期间T 内观察波形为 y(t) n(t) s (t) = + i (i = 1,2,Lm) (8.2-13) 当出现信号s (t) i 时 y(t)的概率密度函数 f ( y) is 可表示为 [ ( ) ( )] , ( 1,2, ) 1 exp ( 2 ) 1 ( ) 0 2 0 y t s t dt i m n f y T i k n si = L ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − ∫ πσ (8.2-14) f ( y) is 称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据
根据y()的统计,按照某种准则,即可对y(t)作出判决,判决空间中可能出 现的状态n1,F2…,与信号空间中的各状态,2…,Sn相对应。 最佳接收准则 在数字通信系统中,最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于 在传输过程中,信号会受到畸变和噪声的干扰,发送信号:(1)时不一定能判为r 出现 在二进制数字通信系统中发送信号只有两种状态,假设发送信号s1(1)和 s2(1)的先验概率分别为P(s1)和P(S2),S1(1)和2(1)在观察时刻的取值分别为a1 和a2,出现S(m)信号时y(1)的概率密度函数f(y)为 f,(y) (√2xon Ly( dt (8.2-15) 同理,出现s2(1)信号时y(1)的概率密度函数f(y)为 f2(y)= exp一 Ly(o-a,dt (√2σ, f(y)和f(y)的曲线如图84所示。 f2(y) 图8-4f2(y)和f2(y)的曲线图 若在观察时刻得到的观察值为y,可依概率将y判为r或n2。在y附近取 小区间Ma,y在区间△a内属于r的概率为 q1=fs (y)dy 8.2-17 y在相同区间△a内属于r2的概率为
8-4 根据 y(t)的统计，按照某种准则，即可对 y(t)作出判决，判决空间中可能出 现的状态 m r ,r , ,r 1 2 L 与信号空间中的各状态 m s ,s , ,s 1 2 L 相对应。 二、 最佳接收准则 在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于 在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号s (t) i 时不一定能判为 ir 出现。 在二进制数字通信系统中发送信号只有两种状态，假设发送信号 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 的先验概率分别为 ( )1 P s 和 ( ) 2 P s ， ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 在观察时刻的取值分别为 1 a 和 2 a ，出现 ( ) 1s t 信号时 y(t)的概率密度函数 ( ) 1 f y s 为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − ∫ T k n s y t a dt n f y 0 2 1 0 [ ( ) ] 1 exp ( 2 ) 1 ( ) 1 πσ (8.2-15) 同理，出现 ( ) 2 s t 信号时 y(t)的概率密度函数 ( ) 2 f y s 为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − ∫ T k n s y t a dt n f y 0 2 2 0 [ ( ) ] 1 exp ( 2 ) 1 ( ) 2 πσ (8.2-16) ( ) 1 f y s 和 ( ) 2 f y s 的曲线如图 8-4 所示。 ( ) 1 f y s ( ) 2 f y s y ∆a 2 a 1 a 图 8-4 ) ( 1 f y s 和 ( ) 2 f y s 的曲线图 若在观察时刻得到的观察值为 i y ，可依概率将 i y 判为 1 r 或 2r 。在 i y 附近取一 小区间∆a ， i y 在区间∆a 内属于 1r 的概率为 ∫ ∆ = a q fs ( y)dy 1 1 (8.2-17) i y 在相同区间∆a 内属于 2r 的概率为
q2=」f2(y (8.2-18) 可以看出, 4=∫()d>1=J2(y) 即y属于r的概率大于y属于n的概率。因此,依大概率应将y判为r出现。 由于f2(y)和/2(y)的单调性质,图84所示的判决过程可以简化为图85 所示的判决过程 -rI f() f2(y) P(S2) P2(S1) 图8-5判决过程示意图 当观察时刻得到的观察值y∈(-∞,y)时,判为r出现;若观察时刻得到的 观察值y∈(y,∞)时,判为z2出现 如果发送的是s(),但是观察时刻得到的观察值y落在(y,∞)区间被判为 ;出现,这时将造成错误判决,其错误概率为 P, (s2)=S,(dy (8.2-19) 同理,如果发送的是s(1),但是观察时刻得到的观察值y落在(-∞,y)区间被 判为η出现,这时也将造成错误判决,其错误概率为 P2(s)=f2(y) (8.2-20) P=P(S1)P1(S2)+P(s2)P2(S1) =Ps)「f1(y)+P(s2(0 (8.2-21) 由式(82-21)可以看出,系统总的误码率与先验概率、似然函数及划分点y有 关,在先验概率和似然函数一定的情况下,系统总的误码率P是划分点y的函
8-5 ∫ ∆ = a q fs ( y)dy 2 2 (8.2-18) 可以看出， ∫ ∆ = a q fs ( y)dy 1 1 > ∫ ∆ = a q fs ( y)dy 2 2 即 i y 属于 1r 的概率大于 i y 属于 2r 的概率。因此，依大概率应将 i y 判为 1r 出现。 由于 ( ) 1 f y s 和 ( ) 2 f y s 的单调性质，图 8-4 所示的判决过程可以简化为图 8-5 所示的判决过程。 ( ) 1 f y s ( ) 2 f y s y 2 a 1 a r1 r2 0 y′ ( )1 2 P s s ( ) 2 1 P s s 图 8-5 判决过程示意图 当观察时刻得到的观察值 ( , ) 0 y y i ∈ −∞ ′ 时，判为 1r 出现；若观察时刻得到的 观察值 ( , ) yi ∈ y0 ′ ∞ 时，判为 2r 出现。 如果发送的是 ( ) 1s t ，但是观察时刻得到的观察值 i y 落在( , ) y0 ′ ∞ 区间被判为 2r 出现，这时将造成错误判决，其错误概率为 ∫ ∞ ′ = 0 1 1 ( ) ( ) 2 y Ps s fs y dy (8.2-19) 同理，如果发送的是 ( ) 2 s t ，但是观察时刻得到的观察值 i y 落在( , ) 0 −∞ y′ 区间被 判为 1 r 出现，这时也将造成错误判决，其错误概率为 ∫ ′ −∞ = 0 2 2 ( ) ( ) 1 y Ps s fs y dy (8.2-20) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 P P s P s P s P s e = s + s ∫ ∫ ′ −∞ ∞ ′ = + 0 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y s y P s fs y dy P s f y dy (8.2-21) 由式(8.2-21)可以看出，系统总的误码率与先验概率、似然函数及划分点 0 y′ 有 关，在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的误码率 Pe 是划分点 0 y′ 的函
数。不同的y将有不同的P’我们希望选择一个划分点υ使误码率P达到最小。 使误码率P达到最小的划分点y称为最佳划分点。y可以通过求P的最小值得 到。即 (8.2-22) P(S1)(0)+P(S2)2(V0)=0 (8.2-23) 由此可得最佳划分点将满足如下方程 f4(y0)P(s2) (8.2-24) f2(y0)P(s) 式中ya即为最佳划分点 因此,为了达到最小差错概率,可以按以下规则进行判决 fn(y)、P(S2).判为r(即s) f, (y)P(S,) f(y)P(S2)判为r即s2) (8.2-25) f,(y)P(S1) 以上判决规则称为似然比准则。在加性高斯白噪声条件下,似然比准则和最小差 错概率准则是等价的。 当s1(1)和s(1)的发送概率相等时,即P(s1)=P(S2)时,则有 f(y)>f2(y),判为(即s) fn(y)f(y),判为s (8.2-27) i=1,2,…,m,j=1,2
8-6 数。不同的 0 y′ 将有不同的 Pe，我们希望选择一个划分点 0 y 使误码率 Pe达到最小。 使误码率 Pe达到最小的划分点 0 y 称为最佳划分点。 0 y 可以通过求 Pe的最小值得 到。即 0 0 = ∂ ′ ∂ y Pe (8.2-22) ( 1 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 0 ) 0 1 2 − P s fs y + P s fs y = (8.2-23) 由此可得最佳划分点将满足如下方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 2 1 P s P s f y f y s s = (8.2-24) 式中 0 y 即为最佳划分点。 因此，为了达到最小差错概率，可以按以下规则进行判决 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 r s P s P s f y f y r s P s P s f y f y s s s s 判为 即 判为 即 (8.2-25) 以上判决规则称为似然比准则。在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和最小差 错概率准则是等价的。 当 ( ) 1s t 和 ( ) 2 s t 的发送概率相等时，即 ( ) ( ) 1 2 P s = P s 时，则有 ⎩ ⎨ ⎧ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 f y f y r s f y f y r s s s s s 判为 即 判为 即 (8.2-26) 上式判决规则称为最大似然准则，其物理概念是，接收到的波形 y 中，哪个似然 函数大就判为哪个信号出现。 以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中，对于m 个可能发送的信 号，在先验概率相等时的最大似然准则为 i m j m i j f y f y s s s i i j = = ≠ > 1,2, , ; 1,2, , ; ( ) ( ), L L 判为 (8.2-27)