《通信原理》第八讲 §2.5窄带随机过程 所谓窄带系统,是指其通带宽度Δ′〈∫’且∫远离零频率的系统。实际 中,大多数通信系统都是窄带型的,通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过 程。如用示波器观察其一个实现的波形,它是一个频率近似为f,包络和相位 随机缓变的正弦波。 I s(n 缓慢变化的包络a( 频率近似为∫ 图2-7窄带过程的频谱和波形示意 窄带随机过程5(1)可用下式表示 5()=a;()coso1+:(1),a2()20 (2.5-1) 等价式 5(=s(rcos@I-s(Osin@ t (2.5-2) 其中 5(1)=a2(1)cos4() (2.5-3) 5()=a()snq() (2.5-4) 式中a:(1)及q:(1)分别是5()的随机包络和随机相位,5(1)及5()分别称为 ξ()的同相分量和正交分量,它们也是随机过程,显然它们的变化相对于载波
《通信原理》 第八讲 §2.5 窄带随机过程 所谓窄带系统，是指其通带宽度 ∆f 〈〈 c f ，且 c f 远离零频率的系统。实际 中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过 程。如用示波器观察其一个实现的波形，它是一个频率近似为 c f ，包络和相位 随机缓变的正弦波。 图 2-7 窄带过程的频谱和波形示意 窄带随机过程ξ (t) 可用下式表示 ξ (t) = aξ (t) cos[ωct +ϕξ (t)] , aξ (t) ≥ 0 （2.5-1） 等价式 t t t t t ξ ξ c ω c ξ s ω c ( ) = ( ) cos − ( )sin （2.5-2） 其中 (t) a (t) cos (t) ξ c = ξ ϕξ （2.5-3） (t) a (t)sin (t) ξ s = ξ ϕξ （2.5-4） 式中 aξ (t)及ϕ（ξ t）分别是ξ (t) 的随机包络和随机相位， (t) (t) ξ c 及 分别称为 ξ s ξ (t) 的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波
cos o t的变化要缓慢得多。 、同相和正交分量的统计特性 设窄带过程5(1)是平稳高斯窄带过程,且均值为零,方差为a2。 1.数学期望 EL(J= ELS ()cos@ I-5(Osin@t] EL (O]coso I-E(D]sin o t (2.5-5) 已设ξ()平稳且均值为零,所以 E[()]=0 (2.5-6) E[52(O)=0 2.自相关函数 R2(1,+)=El5(1)(+r) =EL (Ocos@ t-5(Osin@ t [5(+r)cos2(t+r)-5(+)sino2(+t)]} R(t, t+ r)cos@ t@(t+r) R(t, t+r)coso tsin@(t+r) R(L, t+r)sin o t coso (t+r) +R(t, t+r)sin@ tsin@(t+r) (2.5-7) 式中 R2(1,t+t)=E[5(1)5(t+t) Ra(,+r)=E2()2(t+ R(t,t+z)=E[5,()52(t+t) R,(,t+)=EL5,()5,(+t) 因为()是平稳的,故有 R2(t,t+)=R(r) 这就要求式(2.5-7)的右边也应该与t无关,而仅与时间间隔有关。若取使
t ω c cos 的变化要缓慢得多。 一、 同相和正交分量的统计特性 设窄带过程ξ (t) 是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为 2 σ ξ 。 1．数学期望 E[ (t)] E[ (t) cos t (t)sin t] ξ = ξ c ωc −ξ s ωc = E t t E t t ξ c ω c ξ s ω c [ ( )]cos − [ ( )]sin （2.5-5） 已设ξ (t)平稳且均值为零，所以 ⎩ ⎨ ⎧ = = [ ( )] 0 [ ( )] 0 E t E t s c ξ ξ （2.5-6） 2．自相关函数 ( , τ ) [ξ ( )ξ ( τ )] Rξ t t + = E t t + = E{[ (t) cos t − (t)sin t]⋅ ξ c ω c ξ s ωc [ξ (t +τ ) cosω (t +τ ) −ξ (t +τ )sinω (t +τ )]} c c s c ( , )sin sin ( ) ( , )sin cos ( ) ( , ) cos sin ( ) ( , ) cos cos ( ) τ ω ω τ τ ω ω τ τ ω ω τ τ ω ω τ + + + − + + − + + = + + R t t t t R t t t t R t t t t R t t t t s c c sc c c cs c c c c c （2.5-7） 式中 ( , ) [ ( ) ( )] ( , ) [ ( ) ( )] ( , ) [ ( ) ( )] ( , ) [ ( ) ( )] τ ξ ξ τ τ ξ ξ τ τ ξ ξ τ τ ξ ξ τ + = + + = + + = + + = + R t t E t t R t t E t t R t t E t t R t t E t t s s s sc s c cs c s c c c 因为ξ (t)是平稳的，故有 ( , τ ) (τ ) Rξ t t + = R 这就要求式（2.5-7）的右边也应该与 t 无关，而仅与时间间隔τ 有关。若取使
sino t=0的所有t值,则式(2.5-7)应成立 R2(z)=R(,t+r)cosor-Ra(,t+r)snor (2.5-8) 这时,显然应有 R2(,t+)=R2(r) R(t, t+r)=R(r) 所以,式(2.5-8)变为 R:(r)=R(r)cos@ r-Ras(r)sinor (2.5-9) 再取使 coSo.=0的所有t值,同理有 R(r)=R(r)cost+rs(r)sin@T (2.5-10) 其中应有 R2(t,t+)=R2(r) R(, t+r)=r(r) 由以上分析可知,如果窄带过程5()是平稳的,则()与5(1)也必将是平稳的。 式(2.5-9)和式(2.5-10)应同时成立,故有 R2(r)=R,(r (2.5-11) R(t=r(r) (2.5-12) 可见,同相分量(1)和正交分量;()具有相同的自相关函数,而且根据互相关 函数的性质,应有 R(r)=r( 将上式代入式(2.5-13),可得 R(z)=-R(-r) (2.5-13) 同理可推得 R(t=-r(r (2.5-14) 式(2.5-13)、(2.5-14)说明,5(1)、5;()的互相关函数R2(r)、R(r)都是r 的奇函数,在=0时
sinω ct = 0的所有 t 值，则式（2.5-7）应成立 τ τ ω τ τ ω τ ξ c c cs c R ( ) = R (t,t + ) cos − R (t,t + )sin （2.5-8） 这时，显然应有 ( , ) ( ) ( , ) ( ) τ τ τ τ cs cs c c R t t R R t t R + = + = 所以，式（2.5-8）变为 τ τ ω τ τ ω τ Rξ Rc c Rcs c ( ) = ( ) cos − ( )sin （2.5-9） 再取使cosω ct = 0的所有 t 值，同理有 τ τ ω τ τ ω τ Rξ Rs c Rsc c ( ) = ( ) cos + ( )sin （2.5-10） 其中应有 ( , ) ( ) ( , ) ( ) τ τ τ τ sc sc s s R t t R R t t R + = + = 由以上分析可知，如果窄带过程ξ (t)是平稳的，则 (t) (t) ξ c 与 也必将是平稳的。 ξ s 式（2.5-9）和式（2.5-10）应同时成立，故有 (τ ) (τ ) Rc = Rs （2.5-11） (τ ) (τ ) Rcs = −Rsc （2.5-12） 可见，同相分量 (t) ξ c 和正交分量 (t) ξ s 具有相同的自相关函数，而且根据互相关 函数的性质，应有 (τ ) = (−τ ) Rcs Rsc 将上式代入式（2.5-13），可得 (τ ) = − (−τ ) Rsc Rsc （2.5-13） 同理可推得 (τ ) = − (−τ ) Rcs Rcs （2.5-14） 式（2.5-13）、（2.5-14）说明， (t) ξ c 、 (t) ξ s 的互相关函数 (τ ) Rsc 、 (τ ) Rcs 都是τ 的奇函数，在τ =0 时
R2(0)=R2(0)=0 (2.5-15) 于是,由式(2.5-9)及式(2.5-10)得到 R:(0)=R2(0)=R2(0) =:=O (2.5-17) 这表明5(1)、52(t)和,(t)具有相同的平均功率或方差(∵均值为0)。 另外,因为5()是平稳的,所以5(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的 随机变量,故在式(2.5-2)中有 取t=1=0时,(t1)=5(t1 取t=t2 时,5(2)=5,(12) 20 所以ξ(1),5(t2)也是高斯随机变量,从而ξ()、ξ(1)也是高斯随机过程。又 根据式(2.5-15)可知,5(1)、5,(m)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量, 因而它们还是统计独立的。 综上所述:一个均值为零的窄带平稳高斯过程5(1),它的同相分量(1)和 正交分量ξ;(ω)也是平稳高斯过程,而且均值都为零,方差也相同。此外,在同 一时刻上得到的和5,是互不相关的或统计独立的。 包络和相位的统计特性 和5的联合概率密度函数为 f(5,,)=f()·f(53)= 27e-5+i1 (2.5-18) 设a2q的联合概率密度函数为f(a2,q;),则利用概率论知识,有
Rsc (0) = Rcs (0) = 0 （2.5-15） 于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到 (0) (0) (0) Rξ = Rc = Rs （2.5-16） 即 2 2 2 σ ξ = σ c = σ s （2.5-17） 这表明ξ (t) 、 (t) ξ c 和 (t) ξ s 具有相同的平均功率或方差（Q均值为 0）。 另外，因为ξ (t) 是平稳的，所以ξ (t) 在任意时刻的取值都是服从高斯分布的 随机变量，故在式（2.5-2）中有 取 0 , ( ) ( ) 1 1 1 t t t t = = 时 ξ = ξ c 取 , ( ) ( ) 2 3 2 2 2 t t t t s c ξ ξ ω π = = 时 = 所以 ( )1t ξ c ， ( ) 2t ξ s 也是高斯随机变量，从而 (t) ξ c 、 (t) ξ s 也是高斯随机过程。又 根据式（2.5-15）可知， (t) ξ c 、 (t) ξ s 在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还是统计独立的。 综上所述：一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ (t) ，它的同相分量 (t) ξ c 和 正交分量 (t) ξ s 也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同 一时刻上得到的ξ c 和ξ s 是互不相关的或统计独立的。 二、 包络和相位的统计特性 ξ c 和ξ s 的联合概率密度函数为 ] 2 exp[ 2 1 ( , ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ξ σ ξ ξ ξ πσ ξ ξ ξ ξ c s c s c s f f f + = ⋅ = − （2.5-18） 设 ξ ϕξ a , 的联合概率密度函数为 ( , ) aξ ϕξ f ，则利用概率论知识，有
f(a4,9)=f(,5,)c(55) (2.5-19) a(a=,=) 根据式(2.5-3)和(2.5-4)在t时刻随机变量之间的关系 sinφ 得到 (5=.5) a o(a,9;) a Sin a:cos p 于是 f(a;,g)=a:(55,) (a: COsP:)"+(ag sin p:) p-n2] 2.5-18 注意,这里a≥0,而q在(O,2m)内取值。 再利用概率论中边际分布知识, fa;)=」f(a;,92) exp[-52] 可见,a服从瑞利分布 理 f(q2)=f(a2,9:M exp(-)da 2 0≤ (2.5-21) 可见,服从均匀分布
( , ) ( ) ( , ) ( , ) , ξ ξ ξ ξ ϕ ξ ξ ϕ ξ ξ a f a f c s c s ∂ ∂ = （2.5-19） 根据式（2.5-3）和（2.5-4）在 t 时刻随机变量之间的关系 ⎩ ⎨ ⎧ = = ξ ξ ξ ξ ξ ϕ ξ ϕ sin cos a a s c 得到 ( , ) ( ) , ξ ϕξ ξ ξ a c s ∂ ∂ = ξ ξ ξ ξ ϕ ξ ϕ ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ c s c s a a ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ϕ ϕ ϕ ϕ a a a = − = sin cos cos sin 于是 ] 2 exp[ 2 ] 2 ( cos ) ( sin ) exp[ 2 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ πσ σ σ ϕ ϕ πσ ϕ ξ ξ a a a a a f a a f c s = − + = = − 2.5-18） 注意，这里 0, ϕ 0 2π ) aξ ≥ 而 ξ在（ ， 内取值。 再利用概率论中边际分布知识， ] 0 (2.5 20) 2 exp[ ] 2 exp[ 2 ( ) ( , ) 2 2 2 2 0 2 2 2 = − ≥ − = = − ∫ ∫ ∞ −∞ ξ ξ ξ ξ ξ π ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ σ σ ϕ πσ σ ϕ ϕ a a a d a a f a f a d 可见，aξ服从瑞利分布。 同理， [ ϕ π π π σ σ ϕ ϕ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 0 2 2 1 ) 2 exp( 2 1 ( ) ( , ) 0 2 2 2 0 = ≤ ≤ = = − ∫ ∫ ∞ ∞ da a a f f a da （2.5-21） 可见，ϕξ服从均匀分布
综上所述:一个均值为零,方差为a2的窄带平稳高斯过程5(),其包络a2() 的一维分布是瑞利分布,相位q2(t)的一维分布是均匀分布,并且就一维分布而 言,a2(1)与q2(1)是统计独立的,即有下式成立 f(a2,p5)=f(a:)'f(o (2.5-22)
综上所述：一个均值为零，方差为 2 σ ξ 的窄带平稳高斯过程ξ (t) ，其包络a (t) ξ 的一维分布是瑞利分布，相位 (t) ϕ ξ 的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而 言，a (t) ξ 与 (t) ϕ ξ 是统计独立的，即有下式成立： ( , ) ( ) ( ) ξ ϕξ ξ ϕξ f a = f a ⋅ f （2.5-22）