D0I:10.13374/i.issn1001053x.1990.05.011 北京科技大学学报 第12卷第5期 Vol.12 No.5 1990年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1990 M-a-B三元系中a组元的扩散方程 及两种特定条件下的解 秦子强·余宗森* 摘要:根据扩散理论及组元间的交互作用,登立了M-口~三元系,B组元的分 布变化时,α组元的扩散方程。并且给出了“初始阶段”和“平衡状态”两种特定条件下的 解析解。 关键词:扩散,组元间交互作用,三元系 Diffusion Equation and Its Solutions under Two Specified Conditions for a Component in a M-a-B Ternary System Qin Zigiang'Yu Zongsen' ABSTRACT:The distribution of a component will change with the diffusion of B component in a M-a-B ternary system,as the result of the interactions between the two components.The diffusion equation of such process for a com- ponent has been set up,and the solutions under two specified conditions,the 4ih- itial stage”and“equilibrium stage”,have been obtained. KEY WORDS:diffusion,interaction,ternary system 三元系或多元系中的扩散现象具有二元系所不具有的新的性质,例如“上坡扩散”现 象,起初在扩散偶中,以后在熔渣扩散以及液态扩散3)中都观察到这一现象。这反 映了其他溶质组元的存在对扩散组元的扩散过程有彩响。这一问题在某些工业过程中,例如 1989-03-08收稿 ·材料物理系(Department of Materials physies). ·467·
如、 第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 马 。 一 一 日三元 系中 。 组元的扩散方程 及两种特定条件下的解 ‘ 阮 秦子强 ‘ 余宗森 “ 摘 要 根据扩散 理论 及组 元 间的 交互 作 用 , 建立 了 一 一 刀三 元 系 中 , 刀组 元 的分 布 变化时 , 组元 的 扩散 方程 。 并且给 出了 “ 初始阶段 ” 和 “ 平衡状 态 ” 两 种特定 条件下 的 解析解 。 关键词 扩散 , 组无 间交 互 作 用 , 三元 系 、 、 一 一日 ” ’ , ” , 、 声 一 一 刀 , , , , , ” “ ,,, 、 · , , , 丁 三 元 系或多元系 中的扩散现象具有二 元系所不 具 有 的 新 的性 质 , 例如 “ 上坡 扩散 ” 现 象 , 起初在 扩 散偶 中 〔 ‘ 〕 , 以后在熔渣扩散 〔 〕 以 及液 态 扩散 〔 “ 〕 中都 观察到这一现象 。 这 反 映了其他溶质 组元的存在对扩散组元的 扩散过程有影 响 。 这一问题在某些工业过程 中 , 例如 一 一 收 稿 材料 物理 系 , 。 。 , ” ” 五 “ · DOI :10.13374/j .issn1001-053x.1990.05.011
铸铁的孕疗处理中,行着重要的意义,内为它直接影响到相变过程。本文试图根据扩理散论 及组元间的交红作用,建立M-a-B三元系中,组元的分布变化时,a组元的扩散方程; 进一步讨论了在两种特定条件下其解的形式。 1扩散方程 Fick定律的基本形式为: J=-Dac/ax (1) 上式表示物质扩散的方向与其浓度梯度相反。FCk定律虽然可以解释许多扩散现象,但是并 不严格。严格地讲,扩散的真正驱动力是化学位梯度或活度梯度。因此从理论观点来看,采 用化学位梯度来描述扩散现象,更方便些。即: Ja=-BC.aua10x (2) 其中B,为a组元的迁移率。 4.为a组元的化学位。它可以表示为, h。=ug+RT(lnC。+K.C。+KgCa) (3) 式中:K。一a-a相互作用系数;K一f-a相互.作用系数。 所以(2)式可以表示为, 1=-B,Rr〔1+k.c)股+K,C.9股〕 (4) 代入Fick第二定律,得到: a9-3(-0=a,R7〔1+K.C)+K.(2S9)2 +K,(29)(2)+K,c.9-) (5) 指设B组元的浓度与a组元的浓度无关,则组元的扩散系数与其迁移率之间存在如下关 系: D.=B.RT(1+K.C.) (6) 将(6)式代入(5)式即得到M-a-f三元系中a组元的扩散方程: p9-1±R.c〔1+K.c)9:+.(9)'+,(29)(29) aC。_ KC (7) 北式表明、a组元的扩散不仅取决于其本以的浓度梯度、还可能与组元的分布有关。 ·468·
铸 铁 的孕育 处 理 「,, 有着 重 要 的 意 义 , 川为它 直接影响到相 变过程 。 水 文试 图根据扩理 散论 及组元 间的交互作 用 , 建 立 一 一 刀三元系 中 , 刀组元 的分布 变化时 , 组元的扩散方 程 少卜 进 一 步 讨论 了在两种 特定条件 下其解 的形式 。 扩 散 方 程 定律的基本形式 为 二 一 上式 表示 物质扩散 的方 向 一 与其浓 度 梯度相 反 。 定 律虽然可 以解释 许 多扩散 现象 , 但是并 不严格 。 严 格地讲 , 扩散 的真正 驱 动 力是化 学位梯度或活 度梯 度 。 因此从理 论观点来看 , 采 用化学位 梯度来描述扩散现象 , 更方 便些 。 即 。 一 。 。 产 。 其 中 。 为 组元的迁移率 。 声 。 为 “ 组元的化学位 。 它 可 以表示 为 , 。 二 户 。 一卜 口 。 , , 式中 。 - 一 相互 作 用系数 , , - 刀 一 “ 相互 作 用 系数 。 所 以 式可 以表示 为 , , 口 一 。 口 〔 、 、 。 会 、 , · 会〕 代 人 第二 定律 , 得 到 一 。 。 〔 、 。 。 豁 · 。 一 ︵一 鲁 一︵ 矛一一 ,一奋咨 、 , 鲁 赞 一 · 、 , , 票介〕 若设 刀组元的浓 度 一 与 组 元 的浓 度无 关 , 则耐 元 的扩 散系数 与其 迁移率之 间存 在 如 下关 。 。 。 。 将 式 代 入 式即 得到 一 一 刀三 元 系 中 组元的 扩散方程 。 。 百了一 二 。 。 〔 卜 、 。 。 万 · 。 争 、 , 鄂 争 · ‘ 口 · 令〕 卜式表 明 , 组元的扩 散不 仅 取决 于其本 身的浓 度梯 度 , 还可能 与刀组元的分布有 关 。 · ·
本文以后的讨论,设定K>0,亦即组元可以提高:组元的化学位。对于那些降低组 元的化学位的组元系统(K0,t=0; Cn=0、x>0,1=0: C。=C9、x=o,t>0: Ca=C8x=0,t>0。 由于已经假定B组元的扩散是一个独立的过程,因此它将具有如(9)式和图1所示的分 布【4)。 (9) 当B组元在系统中扩散时,由于B组元和组元相互作用的结果,a组元的分布也会发生 相应的变化,而不再保持均匀。本节讨论在上述过程的初始阶段,α组元的扩散方程的解的 形式。 1t23 DaD3 Da<DB 13 13 DaDs Distanee from boundary Distanee from boundary 图1不同时刻B组元的分布曲线 图2初始阶段a组元的分布 Fig.1 Distributions of B component at Fig.2 Distributions of a component at varions times initia】stage ·469
本文 以后 的讨论 , 设 定尤 , , 亦 即 刀组元可 以提 高 组 元 的化 学位 。 对于那 些降 低 组 元的化学位的组元系 统 , , 分布 趋势刚好相 反 。 显 然 , 如果 万二 , 则由于 组元和声 组 元 间没 有交互作用 , 组元 的扩散也不受 夕组 元分布 的影响 。 严 格说来 , 关于 刀组元 也可 以建立起一个类似 的方 程 , 然后联立求解 。 但是这样一来 , 问 题过于复杂 。 作为 一个初步 的近似 , 假定刀组元 的 扩散是 一个独 立 的过程 , 与 组元 无 关 , 并且它 的 扩散系数也与本身浓 度无关 。 在 此 条件下 , 刀组元 的扩散方程 的形 式 比较简单 溉 几 “ 刀 ” , 由 下而的讨论 , 可 以知道 以 上 近似 在 刀 。 时是 可 以 成 立的 。 初始阶段 的解 考 虑 一 个半无 限长 的系 统 , 初始条件和边界条件如 下 , 旦 , 义 , 二 , 火 。 色 , 义 的 , , 已 二 , 。 由 于 已经 假定 声组元 的扩散是 一 个独立 的过 程 , 因此它将具有如 式 和 图 所示 的分 布 〔 ’ 。 , ‘ 二‘ 命箭 二 当 刀组 元 在系统 中扩散 时 , 由 于 夕组 元 和 组元相 互 作 用 的 结果 , 组元的分布也会发 生 相应 的变化 , 而 不 再保持 均匀 。 本节讨论在 上述过程 的初始阶 段 , 组元 的 扩散 方程的解 的 形 式 。 、 、 ‘几‘ 气 只 士丫 图 不 同时刻 刀组元 的 分布曲线 刀 七 迫 冬 丫 二 卜“ 父又 反 刀” ︸︸俐︸。尸‘产门亡。 图 初始 阶 段 组元 的分布 元
作B组元刚刚开始广散时.《组元的分布变化不大.近似地有: aC/ax=0 (10) 于是方程(7)简化为: C。 a*C 9=D.K0+KC)ax” (11) 或 aC。D,KC。aCa t=D。1+K.C)a1 (12) 方程(12)的解为: InC.Ccon (13) 共中待定常数由边界条件确定。 由图2可以看到,如果组元的扩散系数小于B组元的扩散系数的话,a组元的分布曲线 趋于平缓。这是因为如果B相元的扩散快的话,B组元的分布会迅速地变化,而a组元由于扩 散慢的缘故来不及充分地响戍。在极端的情况下,如果D。Dm,可以设想B组元在系统中迅 速地扩散,很快达到均匀、而在此过程中,组元的分布几乎不发生任何明显的变化,而仍 保持其原始的均匀状态。 由此可知,前述关于组元的扩散是一个独立的过程,不受《组元的影响的假设,当 D,>D是可行的。 3平衡状态的解 如果B组元的扩散足够级慢,以至于系统中的B玑元呈某一定分布时,组元能够通过 扩散达到一种哲时的“动态平衡”,即如果B 组元的分布可以认为不变的话,组元也不再 1…<i… 有宏观的物质还移进行,我们称之为“衡状 态”。事实上,这种“平衡状态”只是设想的 一种状态。因为,在系统中B组元始终作广 散,其分布不断在变化,心口组元通过本的 散正向“平衡状态”过渡时、阝组元的分布又 改变了,因此原有的平衡关系遭到破坏,又 Di‘.1:,from boundary 要重新建立新的关系。贝有出两个组元都元全 均匀化以后,才有可能达到一种真正的平衡。 图3平衡状态?组元的分布 Fig.3 Distributions of component at “平衡状态”的条件是没有α组元的宏观 equilibrium stage 流动产生,因此令()式等于零,即可得到作 ·170·
当 刀组元 刚 刚开 始扩 散时 组元 的分 布 变化不 大 近似 地有 。 二 于是 方 程 简化为 二一 ’ 一 八 。 丫丁一一一,获不一 二 ’ ‘ ’ ‘ 八 。 七 。 “ , 竺 刁 。 。 尤 。 。 刁 , 一 十 。 。 方程 的解 为 ‘ · 二 · 一 男 刀 。 。 一 , 共 中待定常 数 由边界 条件确定 。 由图 可 以着 到 , 如 果 组元 的扩 散 系数小 于 刀组元的扩散 系数 的话 , 组元 的分布曲线 趋于平缓 。 这是 因为如果 刀相 元的扩 散快 的 话 , 刀组元 的分布会迅 速地 变化 , 而 组元由于扩 散慢的缘故来不 及充 分地 响 应 。 在极端 的情况 下 , 如果 。 崔 万 , 可以设 想 刀组元在 系统 中迅 速地 扩散 , 很快 达 到 均 匀 , 而 在此 过程 ,卜 , 组元 的 分布几 乎不发 生 任 何明 显 的变化 , 而仍 保持 其原始的均匀状 态 。 由此可知 , 前述 关 干 刀组 元 的扩 散是 一个独 立 的 过 程 , 不 受 。 组 元 的影 响的假设 , 当 。 ,,时是 可行 的 。 弓 平衡状态 的解 如 果 刀组元 的扩 故足够缓 慢 , 以 王 于当 系统 中的 刀组 元 呈 某一定 分 布时 , 组 元能够通 过 扩 散达 到 一 种暂时 的 “ 动态 平衡 ” , 即 如 果 刀 组元 的分 布 可 以 认 为不 变的 话 , “ 组元 也不 再 有 宏 观 的物 质 迁 移进 行 , 我 们 称之 为 “ 、 卜衡 状 态 ” 。 事 实 上 , 这种 “ 平衡状态 ” 只是 设想 的 一种 状 态 。 因 为 , 在系统 , , 刀组 元始 终 在 扩 散 , 其分 布不断 在 变化 , 、 场 组 元 通 过 本 身的 扩 ‘ 散正 向 “ 乎衡状 态 ” 过 渡时 , 刀组 元 的分 布又 改 变 了 , 因此原 有 的平衡 关 系逍到 破坏 , 又 需 要 重 新建 立新 的 关 系 。 只 有 当两 个 组 元 都完 个 均匀化 以 后 , 才有 可 能 达 到一种 真 正 的平衡 。 “ 平衡状态 ” 的 条件是 没 有 组元的 宏 观 流动 产 生 , 因此 令 式 等于 零 , 且口可得到 在 口 ‘ , 葱应, 全‘ 、 丫 之 、 一 污 , 。二飞 。 生之飞 图 平衡 状 态 组 元 的 分布 幻 门 、 , 礴
“平衡状态”下组元所应满足的方程: 1+K.c,9+K,c.9 =0 (14) 它的解为, InC+KC+K ACa=const (15) 其分布曲线的形式如图3所示。 将(15)式与(3)式对照,可以看出,“平衡状态”解的形式相片于。=常数。这说明了, 达到“平衡状态”的条件是系统中α组元的化学位处处相等。 4结 论 在一个M--B三元系统中,由于组元之间存在着交互作用,因此当B组元的分布变化 时,《组元也会发生相应的扩散。本文针对这一过程、建立了“组元的扩散方程,并且给出 了“初始阶段”和“平衡状态”两种特定条件下的解的形式。对于一般情况下的解,尚待进 一步研究。 参考文献 1 Darken L S.Trans.AIME 1949;180:430 2 Goto K S.Physical Chemistry of Oxides at High Temperature for Metallu- rgists 1979:95 3 Qin Ziqiang,Yu Zongsen.Acta Metall.Sinica (English Edition)1988; 1B(1):67 4 Crank J.The Mathematics of Diffusion,Oxford.1956:18 471·
、 “ 平衡状态 ” 下 组元所应 满足 的方程 。 。 。 兰升 , 。 、 上 岑二 一 “ 一 “ ‘ 一 办 一 “ 它的解为 , 。 干 。 。 , , 其分布曲线 的形式如 图 所示 。 将 式 与 式 对照 , 可以看 出 , “ 平衡状态 ” 解 的形 式 相 当于八 。 常 数 。 这说明 了 , 达 到 “ 平衡状态 ” 的 条件是 系统 中 组元的化 学位 处 处相 等 。 结 论 在一个 一 一 刀三元系统 中 , 由于组元之 间存 在 着 交 互 作 用 , 因此 当 刀组元 的分 布变化 时 , 组元也会发 生相 应的扩散 。 本文针对这 一过程 , 建 立 了 组元的扩散方程 , 并且给 出 了 “ 初始阶 段 ” 和 “ 平衡状 态 ” 两 种 特定 条件 下的 解的形式 。 对 干一 般情况 下的解 , 尚待进 一 步研究 。 参 考 文 献 。 峨 , 入 , 井 , 、 冷