《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 应力应变分析及强度理论 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria §7-4 三向应力状态分析（analysis of three-dimensional stress-state）

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state$7-4三向应力状态分析analysis of three-dimensional stress-state)空间应力状态下的最大正应力和最大切应力(the maximum normal stress and shear stress in threedimensional stress-state)02O已知受力物体内某一点处三个主应力1,02,3OO利用应力圆确定该点的最大正应a3力和最大切应力02

(Analysis of stress-state and strain-state) 已知受力物体内某一点处三个主 应力1 , 2 , 3 利用应力圆确定该点的最大正应 力和最大切应力. 一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 (the maximum normal stress and shear stress in three￾dimensional stress-state) §7-4 三向应力状态分析 （analysis of three-dimensional stress-state） 3 1 2 2 3 1

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state首先研究与其中一个主平面（例如主应力所在的平面）垂直的斜截面上的应力2用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分取左下部分为研究对象ai0

(Analysis of stress-state and strain-state) 1 3 首先研究与其中一个主平 面 （例如主应力3 所在的平 面）垂直的斜截面上的应力 1 2 2 用截面法,沿求应力的 截面将单元体截为两部分, 取左下部分为研究对象   2 1

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state主应力所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力,与无关,只由主应力i，の决定与垂直的斜截面上的应力可由，の作出的应力圆上的点来表ai示0

(Analysis of stress-state and strain-state) 主应力 3 所在的两平面上是一 对自相平衡的力,因而该斜面上的应 力  ,  与3 无关, 只由主应力1 , 2 决定 与3 垂直的斜截面上的应力可 由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表 示 1 2 3 3   2 1

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-stateT该应力圆上的点对应于与垂直的所有斜截面上的应力与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由i,作出的应力CAB圆上的点来表示CC03与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力の,T可用由2,作出的应ai力圆上的点来表示

(Analysis of stress-state and strain-state) 该应力圆上的点对应 于与3 垂直的所有斜截面 上的应力  A 1  O 2 B 与主应力 2 所在主平 面垂直的斜截面上的应力,  可用由1 ,3作出的应力 圆上的点来表示 C 3 与主应力１所在主平 面垂直的斜截面上的应力 ,  可用由2 ,3作出的应 力圆上的点来表示

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state02abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面di91+该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内

(Analysis of stress-state and strain-state) 该截面上应力和 对应 的D点必位于上述三个应力圆 所围成的阴影内 abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面 a b c 1 2 1 2 3

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state结论T三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力aABC该点处的最大正应力C（指代数值）应等于最大03应力圆上A点的横坐标q62O=Q1maxi

(Analysis of stress-state and strain-state)  A 1  O 2 C B 3 结论 三个应力圆圆周上的 点及由它们围成的阴影部 分上的点的坐标代表了空 间应力状态下所有截面上 的应力 该点处的最大正应力 （指代数值）应等于最大 应力圆上A点的横坐标1  max =  1

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state最大切应力则等于最T大的应力圆的半径(qi -03)Cmax最大切应力所在的C截面与所在的主平面ABC垂直并与和所在的03主平面成45°角Oi

(Analysis of stress-state and strain-state)  A 1  O 2 C B 3 最大切应力则等于最 大的应力圆的半径 最大切应力所在的 截面与 2 所在的主平面 垂直,并与1和3所在的 主平面成45°角. ( ) 2 1 max  1  3  = −

应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)例题9单元体的应力如图所示，作应力圆，并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位解：该单元体有一个已知主应力20MPao,=20MPa20Pa因此与该主平面正交的各截40MPa面上的应力与主应力无关，依据x20MPax截面和截面上的应力画出应力圆.求另外两个主应力

(Analysis of stress-state and strain-state) 例题9 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位. 解: 该单元体有一个已知主应力  z = 20MPa 因此与该主平面正交的各截 面上的应力与主应力z无关, 依据 x截面和y 截面上的应力画出应力 圆. 求另外两个主应力 40MPa x y z 20MPa 20MPa 20MPa

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state, = 40MPa= -20MPa由定出D点Txy由,Tw定出D点α, =-20MPa= 20MPaT:yx以DD为直径作应力圆LA1,A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力，和。DC,=46MPa,=-26MPaAA2该单元体的三个主应力aCC,=46MPaQ,=20MPa,=-26MPa1根据上述主应力，作出三个应力圆0301=36MPaCmax

(Analysis of stress-state and strain-state) MPa MPa MPa MPa 20 20 40 20 = − = = = − y yx x xy     由 x , xy 定出 D 点 由 y , yx 定出 D′ 点 以 DD′为直径作应力圆 A1 ,A2 两点的横坐标分别代 表另外两个主应力 1 和  3 A A1 2 D′  O  D 3 1  1 =46MPa  3 =-26MPa 该单元体的三个主应力  1 =46MPa  2 =20MPa  3 =-26MPa 根据上述主应力，作出三个应 力圆  max = 36MPa